Kopu simboli ir kolektīvs termins, ko izmanto visiem simboliem, ko izmanto kopu teorijā, kas ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar objektu kolekciju un to dažādajām īpašībām. Kopa ir labi definēta objektu kolekcija, kurā katrs kolekcijas objekts tiek saukts par elementu un katrs kopas elements atbilst ļoti specifiskam likumam. Parasti kopu apzīmēšanai tiek lietoti angļu alfabēta lielie burti, un daži burti kopu teorijā apzīmē noteiktas kopas.
Šīs matemātikas nozares izpētē tiek izmantoti daudzi simboli, daži no izplatītākajiem simboliem ir {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø utt. Mēs visus šos simbolus detalizēti apspriedīsim rakstā. ieskaitot arī šo simbolu vēsturi. Tātad, sāksim savu ceļojumu, lai uzzinātu par dažādiem kopu teorijā izmantotajiem kopu simboliem.
Satura rādītājs
- Kas ir komplektu simboli?
- Komplektu simbolu vēsture
- Simbolu kopas pamatjēdzieni
- Iestatiet simbolus matemātikā
- Kopu teorijas simboli
- Atrisināti piemēri par simbolu kopu
- Praktizējiet jautājumu par simbolu kopu
- FAQ
Kas ir komplektu simboli?
Kopas simboli ir matemātikas pamatelementi, ko izmanto, lai attēlotu un aprakstītu objektu grupas, skaitļus vai objektus, kuriem ir līdzīgas īpašības. Šie simboli piedāvā skaidru un konsekventu pieeju sarežģītu ideju paziņošanai par kopām un to mijiedarbību. Tipiskākais kopas simbols ir ∈, kas apzīmē dalību un tiek izrunāts kā pieder. ∈ norāda, ka elements ir daļa no noteiktas kopas.
Turpretim ∉ apzīmē, ka elements nav kopas daļa. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ utt. ir daži no kopu teorijā izplatītākajiem simbolu piemēriem. Šie un citi simboli ļauj matemātiķiem definēt darbības, precizēt darbības un formulēt precīzus matemātiskos apgalvojumus, liekot pamatu dažādām matemātikas specialitātēm un praktiskiem lietojumiem.
Lasiet vairāk par Kopu teorija .
Simbolu kopas piemērs
Kā ilustrāciju izmantosim simbolu, kas apzīmē kopu krustpunktu. Lai E un F ir divas kopas, lai kopa E = {1, 3, 5, 7} un kopa F = {3, 6, 9}. Tad simbols ∩ apzīmē abu kopu krustpunktu, t.i., E ∩ F.
Šeit E ∩ F satur visus elementus, kas ir kopīgi abās kopās E un F, t.i., {3}.
Visbeidzot, simbols ∩ tiek izmantots, lai identificētu elementus, kas ir kopīgi divām vai vairākām kopām. Krustojums rada tikai kopas, kurās ir elementi, kurus koplieto visas kopas, kuras tiek krustotas.
Uzziniet vairāk par Kopu krustpunkts .
Komplektu simbolu vēsture
No 1874. līdz 1897. gadam piezvanīja vācu matemātiķis Georgs Ferdinands Ludvigs Filips Kantors izstrādāja abstraktu teoriju ar nosaukumu Kopu teorija. Viņš to ierosināja, pētot dažus faktus, kas saistīti ar īpašām bezgalīgu reālo skaitļu kopu formām. Kopa saskaņā ar jēdzienu ir noteiktu definētu un atšķirīgu novērošanas objektu grupējums. Visas šīs lietas tiek sauktas par komplekta dalībniekiem vai sastāvdaļām. Reālu algebrisko skaitļu kombināciju īpašība ir Kantora teorijas pamats.
Simbolu kopas pamatjēdzieni
Kopu teorijā dažādos izglītības līmeņos ir ietvertas dažādas idejas. Kopu attēlojums, kopu veidi, kopu darbības (piemēram, savienojums un krustojums), kopas kardinalitāte un attiecības utt., ir vieni no būtiskiem jēdzieniem. Daži no galvenajiem kopu teorijas jēdzieniem ir šādi:
Universāls komplekts
Lielo burtu “U” parasti izmanto, lai apzīmētu universālo komplektu. To dažkārt simbolizē arī ε (epsilons). Tas ir komplekts, kurā ir visi citu komplektu elementi, kā arī savējie.
Komplekta papildinājums
Komplekta papildinājums ietver visas universālā komplekta sastāvdaļas, izņemot pārbaudāmās komplekta elementus. Ja A ir kopa, tad tās papildinājumos būs visi norādītās universālās kopas (U) dalībnieki, kas nav iekļauti A. Kopas papildinājums tiek norādīts vai izteikts kā A' vai Acun tiek definēts kā:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Lasiet vairāk par Komplekta papildinājums .
Iestatiet veidotāja apzīmējumu
Set Builder notācija ir metode kopu attēlošanai tādā veidā, ka gadījumos, kad mums nav jāuzskaita visi kopas elementi, mums vienkārši jānorāda noteikums, kuram seko visi kopas elementi. Daži šo apzīmējumu piemēri ir:
Ja A ir reālu skaitļu kopums.
A = {x : x ∈ R}
Ja A ir naturālu skaitļu kopums.
A = {x : x> 0 un x ∈ Z]
Kur AR ir veselu skaitļu kopa.
Lasīt vairāk, Komplektu attēlojums .
Iestatiet simbolus matemātikā
Lai atsauktos uz dažādām lietām un summām, iestatītais simbols bieži izmanto iepriekš noteiktu mainīgo simbolu sarakstu. Lai lasītu un izveidotu kopas apzīmējumus, vispirms ir jāsaprot, kā izmantot simbolus dažādās situācijās. Apskatīsim visas kopu teorijas apzīmējumus un simbolus, kas attiecas uz operācijām, attiecībām un tā tālāk, kopā ar to nozīmi un piemēriem šajā kategorijā.
Skaitļu sistēmā izmantotie simboli
Ciparu sistēmās izmantotie simboli ir iekļauti tabulā:
| Simbols | Vārds | Nozīme/Definīcija | Piemērs |
|---|---|---|---|
| W vai 𝕎 | Veseli skaitļi | Tie ir dabiskie skaitļi. | Mēs zinām, ka N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈ N |
| N vai ℕ | Dabiskie skaitļi | Dabiskos skaitļus dažreiz sauc par skaitīšanas skaitļiem, kas sākas ar 1. | Mēs zinām, ka W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z vai ℤ | Veseli skaitļi | Veseli skaitļi ir salīdzināmi ar veseliem skaitļiem, izņemot to, ka tie ietver arī negatīvas vērtības. | Mēs zinām, ka Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈ Z |
| Q vai ℚ | Racionālie skaitļi | Racionālie skaitļi ir tie, kas norādīti kā a/b. Šajā gadījumā a un b ir veseli skaitļi ar b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z un b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P vai ℙ | Iracionāli skaitļi | Tos skaitļus, kurus nevar attēlot a/b formā, sauc par iracionāliem skaitļiem, t.i., visus reālos skaitļus, kas nav racionāli. objektu vienlīdzība java | P = x π un ∈ P |
| R vai ℝ | Reālie skaitļi | Veseli skaitļi, racionālie skaitļi un iracionālie skaitļi veido reālus skaitļus. | R= x 6,343434 ∈ R |
| C vai ℂ | Kompleksie skaitļi | Komplekss skaitlis ir reāla un iedomāta skaitļa kombinācija. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6+2 i ∈ C |
Kopu teorijas simboli
Atdalītāji ir īpašas rakstzīmes vai rakstzīmju virknes, kas norāda noteiktas kopas noteikta priekšraksta vai funkcijas pamatteksta sākumu vai beigas. Tālāk ir norādīti norobežotāju kopas teorijas simboli un nozīmes:
| Simbols | Vārds | Nozīme/Definīcija | Piemērs |
|---|---|---|---|
| {} | Iestatīt | Šajās iekavās ir elementu / ciparu / alfabētu kopums. | {15, 22, c, d} |
| | | Tāds, ka | Tos izmanto, lai izveidotu kopu, norādot tajā ietverto. | q > 6 Paziņojumā ir norādīta visu q kolekcija, lai q būtu lielāks par 6. |
| : | Tāds, ka | Simbols : dažreiz tiek izmantots simbola | vietā simbols. | Iepriekš minēto teikumu var uzrakstīt kā q . |
Kopas un relāciju simboli kopu teorijā
Kopu teorijas simbolus izmanto, lai identificētu konkrētu kopu, kā arī noteiktu/parādītu attiecības starp atsevišķām kopām vai attiecībām kopas iekšienē, piemēram, attiecības starp kopu un tās sastāvdaļu. Tālāk esošajā tabulā ir attēloti šādi attiecību simboli, kā arī to nozīme un piemēri:
| Simbols | Vārds | Nozīme/Definīcija | Piemērs |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | Ir sastāvdaļa | Tas norāda, ka elements ir noteiktas kopas dalībnieks. | Ja kopa A={12, 17, 18, 27}, mēs varam teikt, ka 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Nav sastāvdaļa | Tas norāda, ka elements nepieder noteiktai kopai. | Ja kopa B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, tad neviens elements, izņemot to, kas atrodas kopā, nepieder šai kopai. Piemēram, 18 ∉ B. |
| A = B | Vienlīdzības attiecības | Piedāvātie komplekti ir līdzvērtīgi tādā nozīmē, ka tiem ir vienādas sastāvdaļas. | Ja ievietojat P={16, 22, a} un Q={16, 22, a}, tad P=Q. |
| A ⊆ B | Apakškopa | Ja visi A vienumi atrodas B, A ir B apakškopa. | A= {31, b} un B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Pareiza apakškopa | Tiek uzskatīts, ka P ir pareiza B apakškopa, ja tā ir B apakškopa un nav vienāda ar B. | A= {24, c} un B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Nav apakškopa | Rezultātā kopa A nav kopas B apakškopa. | A = {67,52} un B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A⊇ B | Superset | A ir B virskopa, ja kopa B ir A apakškopa. Kopa A var būt tāda pati kā kopa B vai lielāka par to. | A = {14, 18, 26} un B = {14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Pareizs Superset | Kopai A ir vairāk elementu nekā kopai B, jo tā ir B virskopa. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | Nav supersets | Ja visi B elementi nav sastopami A, A nav patiesa B virskopa. | A = {11, 12, 16} un B = {11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Tukšs komplekts | Tukša vai nulles kopa ir tāda, kurā nav ietverti nekādi elementi. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| IN | Universāls komplekts | Kopa, kurā ir elementi no visām attiecīgajām kopām, tostarp tās pašas. | Ja A = {a,b,c} un B = {1,2,3,b,c}, tad U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| vai n{A} | Komplekta kardinalitāte | Kardinalitāte attiecas uz priekšmetu skaitu noteiktā kolekcijā. | Ja A= {17, 31, 45, 59, 62}, tad |A|=5. |
| P(X) | Jaudas komplekts | Jaudas kopa ir visu kopas X apakškopu kopa, ieskaitot pašu kopu un nulles kopu. | Ja, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Uz operatoru balstīti simboli kopu teorijā
Izmantojot piemērus, mēs pētīsim kopu teorijas simbolus un nozīmes daudzām operācijām, piemēram, savienībai, papildinājumam, krustojumam, atšķirībai un citām.
| Simbols | Vārds | Nozīme/Definīcija | Piemērs |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Komplektu savienība | Komplektu savienība rada pilnīgi jaunu komplektu, apvienojot visas komplektā esošās sastāvdaļas. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (Savienība B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Kopu krustpunkts | Abu kopu kopējā sastāvdaļa ir iekļauta krustpunktā. | A = {4, 8, a, b} un B = {3, 8, c, b}, tad A ∩ B = {8, b} |
| XcVAIX' | Komplekta papildinājums | Komplekta papildinājums ietver visas lietas, kas neietilpst nodrošinātajā komplektā. | Ja A ir universāla kopa un A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} un B = {13, 15, 17, 18, 19}, tad X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A-B | Iestatiet atšķirību | Atšķirību kopa ir kopa, kas satur vienumus no vienas kopas, kas nav atrodami citā. | A = {12, 13, 15, 19} un B = {13, 14, 15, 16, 17} A–B = {12, 19} |
| A × B | Dekarta komplektu produkts | Dekarta produkts ir komplektu pasūtīto komponentu produkts. | A = {4, 5, 6} un B = {r} Tagad A × B = {(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Komplektu simetriskā atšķirība | A Δ B = (A – B) U (B – A) apzīmē simetrisko starpību. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Lasīt vairāk
- Komplektu veidi
- Darbība komplektos
Atrisinātie piemēri par simbolu kopu
1. piemērs. Kāda ir P∪Q vērtība, ja ir dotas divas kopas ar P={21, 32, 43, 54, 65, 75} un Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}?
Atbilde:
reliģiju saraksts
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} un Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
2. piemērs. Kāda ir |Y| vērtība ja Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Atbilde:
|Y| = Kopas kardinalitāte=elementu skaits kopā ir risinājums.
|Y| = n(Y)=6, jo kopai Y ir 6 elementi.
3. piemērs. Dotas divas kopas ar vērtībām P={a,c,e} un Q={4,3}, nosakiet to Dekarta reizinājumu.
Atbilde:
Dekarta reizinājums = P × Q
Ja P={b, d, f} un Q={5, 6}
Tad P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
4. piemērs. Pieņemsim, ka P = {x: x ir naturāls vesels skaitlis un 24 daudzkārtnis, un Q = {x: x ir naturāls skaitlis, kas ir mazāks par 8}. Nosakiet P ∪ Q.
Atbilde:
Atsaucoties uz
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
bourne atkal apvalksQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Rezultātā P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
5. piemērs: pieņemsim, ka P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Atrast (P ∩ Q)”.
Atbilde:
Dots, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Tāpēc
(P ∩ Q)' = {3, 5, 6, 7, 8}
6. piemērs: ja P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} un Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, nosakiet
(i) P-Q un (ii) P-Q.
Atbilde:
Ņemot vērā,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} un Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Praktiski jautājumi par simbolu komplektu
Jautājums 1: Ņemot vērā komplektus:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Nosakiet elementus kopu A un B savienojumā.
2. jautājums: Apskatīsim komplektus:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Atrodiet kopu X un Y krustpunktu.
3. jautājums: Pieņemsim, ka jums ir komplekti:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Aprēķiniet elementus kopā P – Q, kā arī Q – P.
4. jautājums: Pieņemsim, ka jums ir komplekti:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Uzziniet, vai kopa V ir kopas U apakškopa.
5. jautājums: Apsveriet komplektus:
- S = {ābols, banāns, apelsīns, bumbieris}
- T = {bumbieris, mango, ķirsis}
Atrodiet kopu S un T Dekarta reizinājumu.
6. jautājums: Pieņemsim, ka jums ir universāls komplekts:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Un komplekti:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Aprēķiniet kopas E un F papildinājumu attiecībā pret universālo kopu U.
Bieži uzdotie jautājumi par simbolu komplektu
1. Definējiet Iestatīt simbolu.
Kopas simbols ir atzars, kas pēta entītiju/skaitļu/objektu grupējumus, to attiecības ar citām kopām, dažādas darbības (savienība, krustojums, papildinājums un atšķirība) un saistītās pazīmes.
2. Ko apzīmē šis simbols ⊆?
Simbols ⊆ nozīmē ir apakškopa. Apakškopa ir kopa, kuras vienumi ir pievienoti tā, it kā tie visi būtu citas kopas elementi.
3. Ko ∪ nozīmē kopās?
“∪” ir iestatītās savienības zīme. A ∪ B ir kopa, kas satur visus kopu A un B elementus.
4. Ko apzīmē P = Q?
Ja kopa P ir vienāda ar kopu Q, tad P un Q locekļi ir vienādi. Piemēram:
P = {4,5,6} un Q = {6,5,4}
Rezultātā P = Q.
5. Ko nozīmē ∩ matemātikā?
“∩” apzīmē divu kopu savienību. A ∩ B ir kopa, kurā ir gan A, gan B koplietotie vienumi.
6. Kas ir ∈ kopās?
∈ ir zīme, kas nozīmē “pieder”. Ja b ∈ B, tas norāda, ka b ir B elements.
7. Kāda ir kopa N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} zināms kā?
Dabisko skaitļu kopa ir definēta kā N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Tā satur visus pozitīvos skaitļus, sākot no 1 līdz bezgalīgam skaitlim. Šī kolekcija ir ļoti svarīga matemātikā, un tā nodrošina ietvaru gan pasūtīšanai, gan skaitīšanai.
8. Kas ir A × B kopās?
Kopu A un B Dekarta reizinājums tiek parādīts kā A x B kopas simbolā. Tā ir kopa, kas ietver visus iespējamos sakārtotos pārus, kuros pirmais elements ir izvilkts no kopas A un otrais no kopas B.
9. Kā jūs lasīsit A ∩ B?
A∩B tiek izrunāts kā A krustpunkts B. Tas apzīmē kopu, kurā ir elementi, kas ir kopīgi abās kopās.
10. Ko kopu teorijā nozīmē Ø?
Kopu teorijā ideja par tukšu kopu, kurā nav vienumu, tiek apzīmēta ar simbolu Ø (izrunā tukša kopa).
11. Kas ir AUB?
AUB matemātikā apzīmē kopu A un B savienību. Tas attiecas uz kopu, kas ietver katru elementu no kopām A un B.
12. Vai ∅ ir tas pats, kas {}?
Jā, ∅ un {} matemātikā apzīmē tukšo kopu. Tādējādi abi ir vienas un tās pašas lietas atšķirīgi apzīmējumi.