3 × 3 matricas inverss ir matrica kuru reizinot ar sākotnējo Matricu, iegūst identitātes matrica kā produkts. Matricas inverss ir lineārās algebras pamataspekts. Šim procesam ir izšķiroša nozīme lineāro vienādojumu sistēmu un dažādu matemātisko lietojumu risināšanā. Lai aprēķinātu apgriezto vērtību, ir jāaprēķina blakus matrica, pārbaudiet matricas invertējamību, pārbaudot tās determinantu (kas nedrīkst būt vienāds ar nulli), un jāpiemēro formula, lai iegūtu apgriezto matricu.

Šajā rakstā ir apskatīti dažādi 3 × 3 matricas apgrieztās jēdzieni un 3 × 3 matricas apgrieztās vērtības atrašana, aprēķinot 3 × 3 matricas kofaktorus, adjunktus un determinantus. Vēlāk šajā rakstā jūs atradīsit arī atrisinātus piemērus labākai izpratnei, kā arī tiek sniegti prakses jautājumi, lai pārbaudītu, ko mēs no tā esam iemācījušies.

Satura rādītājs

• Kas ir 3 × 3 matricas apgrieztā vērtība?
• Kā atrast 3 × 3 matricas apgriezto vērtību?
• Elementi, ko izmanto, lai atrastu 3 × 3 matricas apgriezto vērtību
• 3 × 3 matricas formulas apgrieztā vērtība
• 3 × 3 matricas apgrieztās vērtības atrašana, izmantojot rindu darbības

Kas ir 3 × 3 matricas apgrieztā vērtība?

3 × 3 matricas apgrieztā vērtība ir matrica, kuru reizinot ar sākotnējo matricu, tiek iegūta identitātes matrica. Lai atrastu apgriezto vērtību, varat aprēķināt adjungēto matricu, noteikt, vai matrica ir invertējama (nav vienskaitlī), pārbaudot tās determinantu (kuram nevajadzētu būt vienādam ar nulli), un pēc tam izmantot formulu A.^-1= (adj A) / (det A). Apgrieztā matrica ļauj atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas un veikt dažādas matemātiskas darbības.

Kā atrast 3 × 3 matricas apgriezto vērtību?

Veiciet tālāk norādītās darbības, lai atrastu 3 × 3 matricas apgriezto vērtību:

1. darbība: Pirmkārt, pārbaudiet, vai matricu var apgriezt. Lai to izdarītu, aprēķiniet matricas determinantu. Ja determinants nav nulle, pārejiet pie nākamās darbības.

2. darbība: Aprēķiniet mazāku 2 × 2 matricu determinantu lielākās matricas ietvaros.

3. darbība: Izveidojiet kofaktora matricu.

4. darbība: Iegūstiet matricas Adjugātu vai Adjoint, veicot kofaktora matricas transponēšanu.

5. darbība: Visbeidzot, sadaliet katru adjugāta matricas elementu ar sākotnējās matricas determinantu 3 x 3.

Saistītā lasīšana

• Matricas kofaktors un nepilngadīgie
• Matricas transponēšana

Elementi, ko izmanto, lai atrastu 3 × 3 matricas apgriezto vērtību

Lai atrastu 3 × 3 matricas apgriezto vērtību, galvenokārt tiek izmantoti divi elementi:

• Matricas savienojums
• Matricas noteicējs

3 × 3 matricas savienojums

The matricas blakus A tiek atrasts, transponējot A kofaktora matricu. Lai detalizēti aprēķinātu matricas adjunktu, izpildiet sniegtos norādījumus.

3 × 3 matricai jebkura elementa kofaktors ir noteicējs 2 × 2 matricas, kas izveidota, noņemot rindu un kolonnu, kas satur šo elementu. Meklējot kofaktorus, jūs pārmaiņus lietojat pozitīvas un negatīvas pazīmes.

Piemēram, dotā matrica A:

skābes īpašības

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Mazo matricu iegūst šādi:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Aprēķiniet determinantus 2 × 2 matricām, kas izveidotas, reizinot pa diagonāli un atņemot reizinājumus no kreisās puses uz labo, t.i., Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1 × 2) - (3 × 1) = 2 - 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Tātad kofaktora matrica ir:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Transponējot kofaktora matricu, mēs iegūstam adjoint matricu.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

3 × 3 matricas determinants

Izmantojot to pašu piemēru, par kuru mēs runājām iepriekš, mēs varam aprēķināt matricas A determinantu

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Aprēķiniet matricas determinantu, izmantojot pirmo rindu,

Det A = 2 (kofaktors no 2) + 1 (kofaktors no 1) + 3 (kofaktors no 3)

Ka A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Ka A = 2 + 4 - 6

Ka A = 0

Jūs varat pārbaudīt Triks, lai aprēķinātu 3×3 matricas determinantu

3 × 3 matricas formulas apgrieztā vērtība

Lai atrastu 3 × 3 matricas A apgriezto vērtību, varat izmantot formulu A-1 = (adj A) / (det A), kur:

• adj A ir A adjungētā matrica.
• det A ir A determinants.

Lai A-1 pastāvētu, det A nedrīkst būt vienāds ar nulli. Tas nozīmē:

• A^-1pastāv, ja det A nav nulle (A ir nevienskaitlis).
• A^-1neeksistē, ja det A ir nulle (A ir vienskaitlis).

Tālāk ir norādītas darbības, lai atrastu 3 × 3 matricas apgriezto vērtību, izmantojot to pašu piemēru:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

1. darbība: Aprēķināt adjoint matricu (adj A).

Lai atrastu blakus matricu, nomainiet A elementus ar tiem atbilstošajiem kofaktoriem.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

2. darbība: Atrodiet A determinantu (det A).

Lai aprēķinātu A determinantu, varat izmantot 3 × 3 matricas formulu. Šajā gadījumā det A = -8.

3. darbība: izmantojiet formulu A^-1= (adj A) / (det A), lai atrastu apgriezto matricu A^-1.

Sadaliet katru blakus esošās matricas elementu ar determinantu A:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Vienkāršojot daļskaitļus,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

3 × 3 matricas apgrieztās vērtības atrašana, izmantojot rindu darbības

Lai atrastu 3 × 3 matricas apgriezto vērtību, varat veikt šādas darbības:

1. darbība: Sāciet ar doto 3×3 matricu A un izveidojiet tāda paša izmēra identitātes matricu I, novietojot A kreisajā pusē un I labajā pusē paplašinātai matricai, atdalot to ar līniju.

2. darbība: Lietojiet virkni rindu darbību paplašinātajai matricai kreisajā pusē, lai pārveidotu to par identitātes matricu I. Matrica līnijas labajā pusē, kas kļūst par A^-1, ir sākotnējās matricas A apgrieztā vērtība.

Uzzināt vairāk, Matricu elementārā darbība

Tāpat pārbaudiet

• Matricu veidi
• Apgriežamā matrica
• Matricas pēdas

Atrisinātie piemēri 3 × 3 matricas apgrieztā veidā

1. piemērs: atrodiet apgriezto vērtību

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Risinājums:

Mazā D matrica = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Mazā matrica no D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Matricas kofaktors, t.i., X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Matricas X transponēšana = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Tagad mēs atradīsim D noteicēju, izmantojot pirmo rindu:

Ka D = 3 (2) + 0 (-4) + 2 (7)

⇒ Ka D = 6+0+14

⇒ Ka D = 20

Matricas D vai D inverss^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

2. piemērs. Atrodiet apgriezto vērtību

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Matricas mazais E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Matricas E kofaktors, t.i., X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Tagad atradīsim matricas E determinantu, izmantojot pirmo rindu:

Ka E = 1 (-1) + 1 (0) + 1 (1)

Ka E = -1 + 0 + 1

Ka E = 0

∴ Tā kā matricas E determinants ir ekvivalents 0, tad matricas E vai E apgrieztā vērtība^-1nav iespējams.

Praktizējiet jautājumus par 3 × 3 matricas inversu

Q1. Aprēķiniet šādas 3 × 3 matricas apgriezto vērtību:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Atrodiet matricas B apgriezto vērtību:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Nosakiet, vai matrica C ir apgriežama, un, ja tā, atrodiet tās apgriezto:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Aprēķiniet matricas D apgriezto vērtību:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. Matricai E pārbaudiet, vai tā ir invertējama, un, ja tā ir, atrodiet tās apgriezto:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

3 × 3 matricas inverss — FAQ

1. Kas ir 3 × 3 matricas apgrieztā vērtība?

3 × 3 matricas apgrieztā vērtība ir vēl viena matrica, kuru reizinot ar sākotnējo matricu, tiek iegūta identitātes matrica.

2. Kāpēc ir svarīgi atrast Inverse?

Tas ir būtiski lineāru vienādojumu sistēmu, transformāciju un dažādu matemātisku darbību risināšanai.

3. Kā aprēķināt 3 × 3 matricas apgriezto vērtību?

Parasti atrodat blakus matricu, pārbaudiet determinanta vērtību, kas nav nulles, un lietojat īpašu formulu.

4. Kad neeksistē 3×3 matricas apgrieztā vērtība?

Tas neeksistē, ja matricas determinants ir nulle, padarot to vienskaitlī.

5. Vai jebkurai 3×3 matricai var būt Inverss?

Nē, tikai nevienskaitļa matricām ar determinantu, kas nav nulle, ir inversas.

6. Kāda ir Adjoint Matrix loma Inversā atrašanā?

Pievienotā matrica palīdz aprēķināt apgriezto vērtību, nodrošinot katra elementa kofaktorus.

7. Kurās jomās plaši tiek izmantots 3×3 matricas inversijas jēdziens?

3×3 matricas inversijas jēdziens tiek izmantots inženierzinātnēs, fizikā, datorgrafikā un dažādās matemātikas disciplīnās.

8. Kā iegūt 3 × 3 matricas apgriezto vērtību?

Lai atrastu 3 × 3 matricas apgriezto vērtību, varat veikt šādas darbības:

• Vispirms aprēķiniet matricas determinantu.
• Ja determinants nav vienāds ar 0, pārejiet pie nākamās darbības. Ja tas ir 0, matricai nav apgrieztās vērtības.
• Atrodiet nepilngadīgo matricu, izveidojot 3 × 3 matricas katram elementam sākotnējā matricā, izslēdzot tā elementa rindu un kolonnu, uz kuru koncentrējaties.
• Aprēķiniet kofaktoru matricu, nepilngadīgo matricas elementiem piemērojot plusa un mīnusa zīmju modeli.
• Transponējiet kofaktoru matricu, mainot rindas ar kolonnām.
• Visbeidzot, sadaliet transponēto kofaktoru matricu ar determinantu, lai iegūtu 3 × 3 matricas apgriezto vērtību.