Matricu zināšanas nepieciešamas dažādām matemātikas nozarēm. Matricas ir viens no spēcīgākajiem matemātikas instrumentiem. No matricām ir determinanti, tagad šajā rakstā mēs redzam vienu no determinanta īpašībām.
Šajā rakstā mēs uzzinām, kā atrast Matricas savienojums. Lai uzzinātu par Matricas savienojums mums ir jāzina par Kofaktors no matricas.
Satura rādītājs
- Matricas definīcijas savienošana
- Matricas nepilngadīgais
- Matricas kofaktors
- Matricas transponēšana
- Kā atrast Matricas Adjoint?
- Matricas adjonta īpašības
- Apgrieztā atrašana, izmantojot matricas adjont
Matricas definīcijas savienošana
Matricas adjoints ir dotās matricas kofaktora transponēšanas matrica. Jebkurai kvadrātmatricai A, lai aprēķinātu tās adj. matrica mums vispirms ir jāaprēķina dotās matricas kofaktoru matrica un tad jāatrod tās determinants. Lai aprēķinātu matricas savienojumu, veiciet šādas darbības:
1. darbība : Aprēķiniet visu dotās matricas A elementu Minor.
2. darbība: Atrodiet kofaktora matricu C, izmantojot mazākos elementus.
3. darbība: Atrodiet A Adjoint matricu, transponējot kofaktora matricu C.
Jebkurai 2 × 2 matricai A tās Adjoint attēls ir parādīts zemāk,
Tagad uzzināsim par mazo, kofaktoru un matricas transponēšanu.
Matricas nepilngadīgais
Matricas mazais ir matrica vai elements, kas tiek aprēķināts, slēpjot tā elementa matricas rindu un kolonnu, kuram tiek aprēķināts mazais. Matricai 2×2 mazais ir elements, kas tiek parādīts, paslēpjot tā elementa rindu un kolonnu, kuram tiek aprēķināts Minor.
Uzziniet vairāk par, Nepilngadīgie un kofaktori
Matricas kofaktors
Kofaktors ir skaitlis, ko iegūstam, kad matricā noņemam norādītā elementa kolonnu un rindu. Tas nozīmē ņemt vienu elementu no matricas un dzēst no matricas visu šī elementa rindu un kolonnu, pēc tam kuri elementi atrodas šajā matricā, ko sauc par kofaktors.
Kā atrast matricas kofaktoru
Lai atrastu matricas elementa kofaktoru, mēs varam izmantot šādas darbības:
1. darbība: Dzēsiet visu rindu un kolonnu, kurā ir aplūkojamais elements.
2. darbība: Pārējos elementus ņemiet tādus, kādi tie ir matricā pēc 1. darbības.
3. darbība: Atrodiet 2. solī izveidotās matricas determinantu, ko sauc par nepilngadīgais no elementa.
4. darbība: Tagad izmantojiet elementa a kofaktora formuluijt.i., (-1)i+jMijkur Mij ir elementa minoritāte ithrinda un jthkolonna, kas jau ir aprēķināta 3. darbībā.
5. darbība: 4. darbības rezultāts ir aplūkojamā elementa kofaktors, un līdzīgi mēs varam aprēķināt katra matricas elementa kofaktoru, lai atrastu dotās matricas kofaktoru matricu.
Piemērs: atrast kofaktora matricu no
Risinājums:
Dotā matrica ir
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Atradīsim elementa kofaktoru pirmās rindas trešajā kolonnā, t.i., 3.
1. darbība: Dzēsiet visu rindu un kolonnu, kurā ir aplūkojamais elements.
i.,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} 2. darbība: Pārējos elementus ņemiet tādus, kādi tie ir matricā pēc 1. darbības.
i.,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} 3. darbība: Atrodiet 2. solī izveidotās matricas determinantu, ko sauc par elementa minoritāti.
Minor no 3 collas
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 4. darbība: Tagad izmantojiet elementa a kofaktora formuluijt.i., (-1)i+jMij
3. elementa kofaktors = (-1)1+3(32) = 32
5. darbība: Turpiniet procedūru visiem elementiem, lai atrastu A kofaktora matricu,
i., A = kofaktoru matrica
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Matricas transponēšana
Matricas transpozīcija ir matrica, kas veidojas, mainot matricas rindas un kolonnas savā starpā. Matricas A transponēšana tiek apzīmēta kā ATvai A'. Ja matricas A secība ir m×n, tad transponētās matricas secība ir n×m.
Uzziniet vairāk par, Matricas transponēšana
Kā atrast Matricas Adjoint?
Lai atrastu Matricas Adjoint, vispirms mums ir jāatrod katra elementa kofaktors un pēc tam jāatrod vēl 2 soļi. skatiet tālāk norādītās darbības,
1. darbība: Atrodiet katra matricā esošā elementa kofaktoru.
2. darbība: Izveidojiet citu matricu ar kofaktoriem kā tās elementiem.
3. darbība: Tagad atrodiet matricas transponēšanu, kas nāk no 2. darbības.
Kā atrast 2 × 2 matricas savienojumu
Apskatīsim piemēru, kā izprast metodi, kā atrast 2 × 2 matricas savienojumu.
Piemērs: Atrodiet Adjoint of
Risinājums:
Dotā matrica ir
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} 1. darbība: Atrodiet katra elementa kofaktoru.
Elementa kofaktors pie A[1,1]: 5
Elementa kofaktors pie A[1,2]: -4
Elementa kofaktors pie A[2,1]: -3
Elementa kofaktors pie A[2,2]: 2
2. darbība: Izveidojiet matricu no kofaktoriem
i.,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} 3. darbība: Kofaktora matricas transponēšana,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Kā atrast 3 × 3 matricas savienojumu
Ņemsim 3 × 3 matricas piemēru, lai saprastu, kā aprēķināt šīs matricas Adjoint.
Piemērs: Atrodiet Adjoint of
Risinājums:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} 1. darbība: Atrodiet katra elementa kofaktoru.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 2. darbība: Izveidojiet matricu no kofaktoriem
lasiet csv failu java
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} 3. darbība: Matricas C transponēšana dotās matricas adjointā.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Kas ir adjunkts dotajai matricai A.
Matricas adjonta īpašības
Matricas savienojumam ir dažādas īpašības, dažas no šīm īpašībām ir šādas:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| esn
- Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
- |Adj A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Pielāgot A)
Apgrieztā atrašana, izmantojot matricas adjont
Inversijas atrašana ir viens no svarīgākajiem Matricas Adjoint lietojumiem. Lai atrastu matricas apgriezto vērtību, izmantojot Adjoint, mēs varam veikt šādas darbības:
1. darbība: Atrodi matricas determinants .
2. darbība: Ja determinants ir nulle, tad matrica nav invertējama un inversa nav.
3. darbība: Ja determinants nav nulle, tad atrodiet matricas adjunktu.
4. darbība: Sadaliet matricas adjunktu ar matricas determinantu.
5. darbība: 4. darbības rezultāts ir dotās Matricas apgrieztais rezultāts.
Piemērs: atrodiet apgriezto vērtību
Risinājums:
Dotā matrica
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2 (-6) + 3 (-3)
⇒ |A| = -3 + 12 - 9 = 0
Tādējādi A inverss neeksistē.
Uzziniet vairāk par, Matricas inverss
Atrisināti matricas savienojuma piemēri
1. piemērs: atrodiet dotās matricas Adjoint
Risinājums:
1. darbība. Lai atrastu katra elementa kofaktoru
Lai atrastu katra elementa kofaktoru, mums ir jāizdzēš katra elementa rinda un kolonna pa vienam un pēc dzēšanas jāņem pašreizējie elementi.
Elementu kofaktors pie A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Elementu kofaktors pie A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7 × 9 – 6 × 5) = -33Elementu kofaktors pie A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Elementu kofaktors pie A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2 × 9 – 8 × 3) = 6Elementu kofaktors pie A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Elementu kofaktors pie A[2,2] = 5:
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1 × 8 – 6 × 2) = 4Elementu kofaktors pie A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Elementu kofaktors pie A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1 × 5 – 7 × 3) = 16Elementu kofaktors pie A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10Matrica izskatās kā ar kofaktoriem:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} Galīgā kofaktora matrica:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} 2. darbība: atrodiet 1. darbībā iegūtās matricas transponēšanu
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Tas ir Matricas adjoints.
2. piemērs: atrodiet dotās matricas Adjoint
Risinājums:
1. darbība. Lai atrastu katra elementa kofaktoru
Lai atrastu katra elementa kofaktoru, mums ir jāizdzēš katra elementa rinda un kolonna pa vienam un pēc dzēšanas jāņem pašreizējie elementi.
Elementa kofaktors pie A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Elementu kofaktors pie A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Elementu kofaktors pie A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Elementu kofaktors pie A[2,0] = 2:
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Elementu kofaktors pie A[2,1] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Elementu kofaktors pie A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Elementu kofaktors pie A[3,0] = 2:
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Elementu kofaktors pie A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Elementu kofaktors pie A[3,2] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3Galīgā kofaktora matrica:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} 2. darbība: atrodiet 1. darbībā iegūtās matricas transponēšanu
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Tas ir Matricas adjoints.
Bieži uzdotie jautājumi par Matrix Adjoint
Kas ir Matricas Adjoints?
Kvadrātveida matricas adjoints ir sākotnējās matricas kofaktoru matricas transponēšana. To sauc arī par adjugāta matricu.
Kā tiek aprēķināts matricas adjonts?
Lai aprēķinātu matricas adjunktu, jāatrod dotās matricas kofaktoru matrica un pēc tam tā jātransponē.
Kas ir matricas savienojuma izmantošana?
Matricas adjonta galvenais pielietojums vai izmantošana ir invertējamo matricu apgrieztās vērtības atrašana.
Kāda ir saistība starp matricas apgriezto un tās adjunktu?
Matricas apgriezto vērtību iegūst, dalot tās adjunktu ar determinantu. Tas ir, ja A ir kvadrātveida matrica un det(A) nav nulle, tad
A -1 = adj(A)/det(A)
Kas ir Adjugāta matrica?
Piegulošo matricu sauc arī par Adjugāta matricu. Tā ir dotās matricas kofaktora transponēšana.
Kāda ir atšķirība starp matricas savienošanu un transponēšanu?
Matricas adjoints ir kofaktoru matricas transponēšana, savukārt matricas transponēšana tiek iegūta, mainot tās rindas un kolonnas.
Vai kvadrātveida matrica vienmēr ir apgriežama?
Nē, kvadrātveida matricas ne vienmēr ir apgriežamas. Kvadrātveida matrica ir invertējama tikai tad, ja tai ir determinants, kas nav nulle.
Vai var aprēķināt ne-kvadrātveida matricas adjunktu?
Nē, matricas adjunktu var aprēķināt tikai kvadrātmatricai tās definīcijas dēļ.