Trigonometrijas formulas ir vienādojumi, kas saista trīsstūru malas un leņķus. Tie ir būtiski, lai atrisinātu dažādas problēmas matemātikā, fizikā, inženierzinātnēs un citās jomās.

Šeit ir daži no visizplatītākajiem trigonometrijas formulu veidiem:

• Pamatdefinīcijas: Šīs formulas nosaka trigonometriskās attiecības (sinuss, kosinuss, tangenss utt.) taisnleņķa trijstūra malu izteiksmē.
• Pitagora teorēma: Šī teorēma attiecas uz taisnleņķa trijstūra malu garumiem.
• Leņķu attiecības: Šīs formulas saista dažādu leņķu trigonometriskās attiecības, piemēram, summas un starpības formulas, dubultleņķa formulas un pusleņķa formulas.
• Savstarpējās identitātes: Šīs formulas izsaka vienu trigonometrisko attiecību ar citu, piemēram, sin(θ) = 1/coc(θ).
• Vienības aplis: Vienības aplis ir trigonometrisko attiecību grafisks attēlojums, un to var izmantot, lai atvasinātu daudzas citas formulas.
• Sinusu likums un kosinusu likums: Šie likumi attiecas uz jebkura trīsstūra malām un leņķiem, nevis tikai taisnleņķa trijstūriem.

Lasiet tālāk, lai uzzinātu par dažādām trigonometriskajām formulām un identitātēm, atrisinātiem piemēriem un prakses problēmām.

Satura rādītājs

• Kas ir trigonometrija?
• Trigonometrijas formulas pārskats
• Pamata trigonometriskie koeficienti
• Trigonometriskās identitātes
• Trigonometrijas formulu saraksts

Kas ir trigonometrija?

Trigonometrija ir definēta kā matemātikas nozare, kas koncentrējas uz attiecību izpēti, kas ietver trīsstūru garumus un leņķus. Trigonometrija sastāv no dažāda veida problēmām, kuras var atrisināt, izmantojot trigonometriskās formulas un identitātes.

Trigonometrijas funkcijas

Trigonometriskās funkcijas ir matemātiskas funkcijas, kas saista taisnleņķa trīsstūra leņķus ar tā malu garumiem. Tiem ir plašs pielietojums dažādās jomās, piemēram, fizikā, inženierzinātnēs, astronomijā un citās jomās. Primārās trigonometriskās funkcijas ietver sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu, sekantu un kosekantu.

Trigonometrijas formulas pārskats

Trigonometrijas formulas ir matemātiskas izteiksmes, kas saista a leņķus un malas Taisns trīsstūris . Tur ir 3 malas taisnleņķa trīsstūris sastāv no:

• Hipotenūza : Šī ir taisnleņķa trīsstūra garākā mala.
• Perpendikulāra/pretējā puse : Tā ir mala, kas veido taisnu leņķi attiecībā pret doto leņķi.
• Bāze : pamatne attiecas uz blakus esošo pusi, kur ir savienota gan hipotenūza, gan pretējā puse.

Trigonometrijas attiecība

Šeit 9., 10., 11., 12. klašu skolēniem īsumā dotas visas trigonometriskās attiecības, reizinājumu identitātes, pusleņķa formulas, dubultleņķa formulas, summas un starpības identitātes, kofunkciju identitātes, attiecību zīme dažādos kvadrantos utt. .

rudyard kipling ja paskaidrojums

Šeit ir trigonometrijas formulu saraksts, kuras mēs apspriedīsim:

• Pamata trigonometrisko attiecību formulas
• Vienības apļa formulas
• Trigonometriskās identitātes

Pamata trigonometriskie koeficienti

Trigonometrijā ir 6 attiecības. Tās sauc par trigonometriskām funkcijām. Zemāk ir saraksts ar trigonometriskās attiecības , ieskaitot sinusu, kosinusu, sekantu, kosekantu, tangensu un kotangensu.

Vienības apļa formula trigonometrijā

Vienības aplim, kura rādiuss ir vienāds ar 1, i ir leņķis. Hipotenūzas un pamatnes vērtības ir vienādas ar vienības apļa rādiusu.

Hipotenūza = blakus esošā puse (bāze) = 1

Trigonometrijas koeficientus nosaka:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• iedegums θ = y/x
• bērnu gultiņa θ = x/y
• sek θ = 1/x
• cosec θ = 1/g

Trigonometrisko funkciju diagramma

Trigonometriskās identitātes

Attiecības starp trigonometriskajām funkcijām tiek izteiktas, izmantojot trigonometriskās identitātes, ko dažreiz dēvē par trigonometriskām identitātēm vai trigu formulām. Tie paliek patiesi visām tām piešķirto mainīgo reālo skaitļu vērtībām.

• Savstarpējās identitātes
• Pitagora identitātes
• Periodiskuma identitātes (radiānos)
• Pāra un nepāra leņķa formula
• Kopfunkciju identitātes (grādos)
• Summas un starpības identitātes
• Dubultā leņķa identitātes
• Apgrieztās trigonometrijas formulas
• Trīskāršā leņķa identitātes
• Pusleņķa identitātes
• Summa uz produktu identitātēm
• Produktu identitātes

Apspriedīsim šīs identitātes sīkāk.

Savstarpējās identitātes

Visas savstarpējās identitātes tiek iegūtas, izmantojot taisnleņķa trīsstūri kā atsauci. Savstarpējās identitātes ir šādas:

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• bērnu gultiņa θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sek θ
• iedegums θ = 1/gultiņa θ

Pitagora identitātes

Saskaņā ar Pitagora teorēmu taisnleņķa trijstūrī, ja “c” ir hipotenūza un “a” un “b” ir divas kājas, tad c2 = a2 + b2. Mēs varam iegūt Pitagora identitātes, izmantojot šo teorēmu un trigonometriskās attiecības. Mēs izmantojam šīs identitātes, lai pārvērstu vienu trig koeficientu citā .

• bez²θ + cos²θ = 1
• 1 + tā²θ = sek²i
• 1+ gultiņa²θ = cosec²i

Trigonometrijas formulu diagramma

Periodiskuma identitātes (radiānos)

Šīs identitātes var izmantot, lai novirzītu leņķus par π/2, π, 2π utt. Tās sauc arī par kopfunkciju identitātēm.

Visi trigonometriskās identitātes atkārtojas pēc noteikta perioda. Tāpēc tiem ir ciklisks raksturs. Šis vērtību atkārtošanās periods dažādām trigonometriskajām identitātēm ir atšķirīgs.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A un cos (2π + A) = cos A

Šeit ir tabula, kurā salīdzinātas trigonometriskās īpašības dažādos kvadrantos:

Pāra un nepāra leņķa formula

Pāra un nepāra leņķa formulas, kas pazīstamas arī kā pāra un nepāra identitātes, tiek izmantotas, lai izteiktu negatīvo leņķu trigonometriskās funkcijas pozitīvo leņķu izteiksmē. Šīs trigonometriskās formulas ir balstītas uz pāra un nepāra funkciju īpašībām.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• iedegums(-θ) = -tanθ
• gultiņa(-θ) = -cotθ
• sek(-θ) = sekθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Kopfunkciju identitātes (grādos)

Kopfunkciju identitātes sniedz mums savstarpējo saistību starp dažādām trigonometrijas funkcijām. Kopfunkcijas šeit ir norādītas pakāpēs:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• iedegums(90°−x) = bērnu gultiņa x
• gultiņa(90°−x) = iedegums x
• sek(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sek x

Summas un starpības identitātes

Summas un starpības identitātes ir formulas, kas saista divu leņķu summas vai starpības sinusu, kosinusu un tangensu ar atsevišķo leņķu sinusiem, kosinusiem un tangensiem.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dubultā leņķa identitātes

Dubultā leņķa identitātes ir formulas, kas izsaka leņķu trigonometriskās funkcijas, kas ir divas reizes lielākas par dotā leņķa lielumu sākotnējā leņķa trigonometrisko funkciju izteiksmē.

• sin (2x) = 2sin (x) • cos (x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos(2x) = cos²(x) – bez²(x) = [(1 – iedegums²x)/(1 + iedegums²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(x)
• iedegums (2x) = [2tan(x)]/ [1 – iedegums²(x)]
• sek (2x) = sek²x/(2 – sek²x)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Apgrieztās trigonometrijas formulas

Apgrieztās trigonometrijas formulas attiecas uz apgrieztajām trigonometriskajām funkcijām, kas ir trigonometrisko pamatfunkciju apgrieztās vērtības. Šīs formulas tiek izmantotas, lai atrastu leņķi, kas atbilst noteiktai trigonometriskajai attiecībai.

• bez ^-1 (–x) = – grēks ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• tātad ^-1 (–x) = – iedegums ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – kosek ^-1 x
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 x
• bērnu gultiņa ^-1 (–x) = π – bērnu gultiņa ^-1 x

Trīskāršā leņķa identitātes

Trīskāršā leņķa identitātes ir formulas, ko izmanto, lai izteiktu trīskāršo leņķu (3θ) trigonometriskās funkcijas atsevišķu leņķu (θ) funkciju izteiksmē. Šīs trigonometriskās formulas ir noderīgas, lai vienkāršotu un atrisinātu trigonometriskos vienādojumus, kuros ir iesaistīti trīskārši leņķi.

grēks 3x=3sin x – 4sin ³ x

lasīt no csv java

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Pusleņķa identitātes

Pusleņķa identitātes ir tās trigonometriskās formulas, kuras izmanto, lai atrastu dotā leņķa puses sinusu, kosinusu vai tangensu. Šīs formulas izmanto, lai izteiktu pusleņķu trigonometriskās funkcijas sākotnējā leņķa izteiksmē.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Tāpat

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Summa uz produktu identitātēm

Identitātes no summas līdz produktam ir trigonometriskās formulas, kas palīdz mums izteikt trigonometrisko funkciju summas vai atšķirības kā trigonometrisko funkciju reizinājumus.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + mājīgs = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − mājīgs = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Produktu identitātes

Produktu identitātes, kas pazīstamas arī kā identitātes no produkta līdz summai, ir formulas, kas ļauj izteikt trigonometrisko funkciju reizinājumus kā trigonometrisko funkciju summas vai atšķirības.

Šīs trigonometriskās formulas ir iegūtas no sinusa un kosinusa summas un starpības formulām.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Trigonometrijas formulu saraksts

Tālāk sniegtajā tabulā ir norādītas pamata trigonometrijas attiecības tādiem leņķiem kā 0°, 30°, 45°, 60° un 90°, ko parasti izmanto problēmu risināšanai.

Atrisināti jautājumi par trigonometrijas formulu

Šeit ir daži atrisināti piemēri par trigonometrijas formulām, lai palīdzētu jums labāk izprast jēdzienus.

Linux komandas izveidot mapi

1. jautājums: Ja cosec θ + cot θ = x, atrodiet cosec θ – cot θ vērtību, izmantojot trigonometrijas formulu.

Risinājums:

cosec θ + gultiņa θ = x

Mēs zinām, ka cosec²θ+ bērnu gultiņa²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

2. jautājums: izmantojot trigonometrijas formulas, parādiet, ka iedegums 10° iedegums 15° iedegums 75° iedegums 80° =1

Risinājums:

Mums ir,

L.H.S = iedegums 10 ° tātad 15 ° tātad 75 ° tātad 80 °

= iedegums (90-80) ° tātad 15 ° iedegums (90-15) ° tātad 80 °

= bērnu gultiņa 80 ° tātad 15 ° gultiņa 15 ° tātad 80 °

=(gultiņa 80 ° * Tātad 80 ° )( gultiņa 15 ° * Tātad 15 ° )

= 1 = R.H.S

3. jautājums: ja sin θ cos θ = 8, atrodiet (sin θ + cos θ) vērtību. ² izmantojot trigonometrijas formulas.

Risinājums:

(sin θ + cos θ)²

java kolekcija

= bez²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2 (8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

4. jautājums: ar trigonometrisko formulu palīdzību pierādi, ka (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Risinājums:

L.H.S = (iedegums θ + sek θ – 1)/(iedegums θ sek θ + 1)

= [(iedegums θ + sek θ) – (sek²θ – tātad²θ)]/(tan θ – sek θ + 1), [Kopš, sek²θ – tātad²θ = 1]

powershell komentārs vairākās rindās

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + iedegums θ) (sek θ – iedegums θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (1 sek θ + iedegums θ)}/(tan θ sek θ + 1)

= {(tan θ sek θ) (tan θ sek θ + 1)}/(tan θ sek θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Pierādīts.

Bieži uzdotie jautājumi par trigonometriskajām formulām un identitātēm

Kas ir trigonometrija?

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas koncentrējas uz attiecībām starp trijstūra leņķiem un malām, īpaši taisnleņķa trijstūriem.

Kādas ir trīs pamata trigonometriskās attiecības?

• Sin A = perpendikulārs/ hipotenūza
• Cos A = bāze/hipotenūza
• Tan A = perpendikulārs/ pamatne

Kuram trīsstūrim ir piemērojamas trigonometriskās formulas?

Trigonometriskās formulas ir piemērojamas taisnleņķa trijstūriem.

Kādas ir galvenās trigonometriskās attiecības?

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss, sekants un kosekants.

Kuram leņķim iedeguma koeficienta vērtība ir vienāda ar gultiņas attiecību?

Ja vērtība ir 45°, iedegums 45° = bērnu gultiņa 45° = 1.

Kas ir sin3x formula?

Sin3x formula ir 3sin x – 4 sin³x.