Trigonometriskās identitātes ir dažādas identitātes, ko izmanto, lai vienkāršotu dažādus sarežģītus vienādojumus, kas ietver trigonometriskās funkcijas. Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta attiecības starp trijstūra malām un leņķiem. Šīs attiecības tiek definētas sešu attiecību veidā, kuras sauc. trigonometriskās attiecības – sin, cos, tan, gultiņa, sec un cosec.

Paplašinātā veidā tiek pētīti arī leņķi, kas veido trīsstūra elementus. Loģiski, trijstūra īpašību apspriešana; trijstūra risināšana un fiziskās problēmas augstumu un attālumu jomā, izmantojot trijstūra īpašības – tas viss ir daļa no pētījuma. Tas arī nodrošina trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodi.

Satura rādītājs

• Kas ir trigonometriskās identitātes?
• Trigonometrisko identitāšu saraksts
• Savstarpējās trigonometriskās identitātes
• Pitagora trigonometriskās identitātes
• Trigonometrisko attiecību identitātes
• Pretējo leņķu trigonometriskās identitātes
• Papildu leņķu identitātes
• Papildu leņķu identitātes
• Trigonometriskās funkcijas periodiskums
• Summas un starpības identitātes
• Dubultā leņķa identitātes
• Pusleņķa formulas
• Vēl dažas pusleņķa identitātes
• Produkta summas identitātes
• Produktu identitātes
• Trīskāršā leņķa formulas
• Trigonometrisko identitāšu pierādījums
• Trijstūra leņķu un malu attiecības
• Bieži uzdotie jautājumi par trigonometriskajām identitātēm

Kas ir trigonometriskās identitātes?

Vienādojumu, kas ietver leņķa trigonometriskās attiecības, sauc par trigonometrisko identitāti, ja tas ir patiess visām leņķa vērtībām. Tie ir noderīgi ikreiz, kad izteiksmē vai vienādojumā ir iesaistītas trigonometriskās funkcijas. Sešas pamata trigonometriskās attiecības ir sinuss, kosinuss, tangenss, kosekants, sekants un kotangenss . Visas šīs trigonometriskās attiecības ir noteiktas, izmantojot taisnleņķa trīsstūra malas, piemēram, blakus malu, pretējo malu un hipotenūzas malu.

Trigonometriskās identitātes

Trigonometrisko identitāšu saraksts

Trigonometrijas izpētē ir daudz identitāšu, kas ietver visas trigonometriskās attiecības. Šīs identitātes tiek izmantotas, lai atrisinātu dažādas problēmas akadēmiskajā vidē, kā arī reālajā dzīvē. Apgūsim visas pamata un uzlabotās trigonometriskās identitātes.

Savstarpējās trigonometriskās identitātes

Visās trigonometriskajās attiecībās pastāv savstarpēja attiecība starp attiecību pāri, kas ir norādīta šādi:

• sin θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/sek θ
• sec θ = 1/cos θ
  
• iedegums θ = 1/gultiņa θ
• bērnu gultiņa θ = 1/tan θ

Pitagora trigonometriskās identitātes

Pitagora trigonometriskās identitātes ir balstītas uz taisnā trijstūra teorēmu vai Pitagora teorēma , un ir šādi:

• bez²θ + cos²θ = 1
• 1 + tā²θ = sek²i
• cosec²θ = 1 + bērnu gultiņa²i

Lasīt vairāk par Pitagora trigonometriskās identitātes .

Trigonometrisko attiecību identitātes

Iedegums un gultiņa tiek definēti kā sin un cos attiecība, ko nosaka šādas identitātes:

• tan θ = sin θ/cos θ
• gultiņa θ = cos θ/sin θ

Pretējo leņķu trigonometriskās identitātes

Trigonometrijā leņķi, ko mēra pulksteņrādītāja virzienā, mēra ar negatīvu paritāti, un visas trigonometriskās attiecības, kas noteiktas leņķa negatīvajai paritātei, ir definētas šādi:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• iedegums (-θ) = -tan θ
• gultiņa (-θ) = -gultiņa θ
• sek (-θ) = sek θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Papildu leņķu identitātes

Papildu leņķi ir leņķu pāris, kuru mēra summa ir 90°. Tagad papildu leņķu trigonometriskās identitātes ir šādas:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• iedegums (90° – θ) = gultiņa θ
• gultiņa (90° – θ) = iedegums θ
• sek (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sek θ

Papildu leņķu identitātes

Papildu leņķi ir leņķu pāris, kuru mēra summa ir 180°. Tagad papildu leņķu trigonometriskās identitātes ir:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• sek (180°- θ)= -sek θ
• iedegums (180°- θ) = -tan θ
• gultiņa (180°- θ) = -gultiņa θ

Trigonometriskās funkcijas periodiskums

Trigonometriskās funkcijas piemēram, sin, cos, tan, cot, sec un cosec, visiem ir periodisks raksturs, un tiem ir atšķirīgs periodiskums. Šīs trigonometriskās attiecības identitātes izskaidro to periodiskumu.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = grēks θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• iedegums (n × 180° + θ) = iedegums θ
• iedegums (nπ + θ) = iedegums θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sek (n × 360° + θ) = sek θ
• sek (2nπ + θ) = sek θ
  
• gultiņa (n × 180° + θ) = gultiņa θ
• gultiņa (nπ + θ) = bērnu gultiņa θ

Kur, n ∈ AR, (Z = visu veselo skaitļu kopa)

Piezīme: sin, cos, cosec un sec periods ir 360° vai 2π radiāni, un iedeguma un cot periodam ir 180° vai π radiāni.

Summas un starpības identitātes

Trigonometriskās identitātes summai un starpībai leņķī ietver tādas formulas kā sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) utt.

• grēks (A+B) = grēks A cos B + cos A grēks B
• sin (A-B) = grēks A cos B – cos A grēks B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• iedegums (A+B) = (iedegums A + iedegums B)/(1 — iedegums A iedegums B)
• iedegums (A-B) = (iedegums A — iedegums B)/(1 + iedegums A iedegums B)

Piezīme: Tiek sauktas grēka (A+B), grēka (A-B), cos (A+B) un cos (A-B) identitātes. Ptolemaja identitātes .

Dubultā leņķa identitātes

Izmantojot leņķu summas trigonometriskās identitātes, mēs varam atrast jaunu identitāti, ko sauc par dubultā leņķa identitāti. Lai atrastu šīs identitātes, mēs varam ievietot A = B leņķa identitāšu summā. Piemēram,

a mēs zinām, grēks (A+B) = grēks A cos B + cos A grēks B

Šeit abās pusēs aizstājiet A = B = θ, un mēs iegūstam:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Līdzīgi,

• cos 2θ = cos ² θ – grēks ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – grēks ² i
• iedegums 2θ = (2tanθ)/(1 – iedegums ² i)

Lasīt vairāk par Dubultā leņķa identitātes .

Pusleņķa formulas

Izmantojot dubultleņķa formulas, var aprēķināt pusleņķa formulas. Lai aprēķinātu pusleņķa formulas, aizstājiet θ ar θ/2, tad

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Lasīt vairāk par Pusleņķa identitātes .

Vēl dažas pusleņķa identitātes

Izņemot iepriekšminētās identitātes, ir vēl dažas pusleņķa identitātes, kas ir šādas:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Produkta summas identitātes

Sekojošās identitātes norāda attiecību starp divu trigonometrisko attiecību summu ar divu trigonometrisko attiecību reizinājumu.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Produktu identitātes

Produkta identitātes tiek veidotas, ja mēs saskaitām divas no leņķa identitāšu summas un starpības, un tās ir šādas:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Trīskāršā leņķa formulas

Izņemot dubultā un pusleņķa formulas, ir identitātes trigonometriskajām attiecībām, kas ir noteiktas trīskāršajam leņķim. Šīs identitātes ir šādas:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Lasīt vairāk par Trīskāršā leņķa identitātes .

Trigonometrisko identitāšu pierādījums

Pierādiet to jebkuram akūtam leņķim θ

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . cotθ = 1
4. bez ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + tā ² θ = sek ² i
6. 1+ gultiņa ² θ = cosec ² i

Pierādījums:

Apsveriet taisnleņķa △ABC, kurā ∠B = 90°

Pieņemsim, ka AB = x vienības, BC = y vienības un AC = r vienības.

Tad

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . cotθ = 1

Pēc Pitagora teorēmas mums ir

x²+ un²= r².

Tagad

(4) bez²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= ( un²/r²+ x²/r²)

= (x²+ un²)/r²= r²/r²= 1 [x²+ un²= r²]

bez ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + tā²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/x²= (un²+ x²)/x²= r²/x²[x²+ un²= r²]

(r/x)²= sek²i

∴ 1 + iedegums ² θ = sek ² i.

(6) 1+ gultiņa²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/un²= (x²+ un²)/un²= r²/un²[x²+ un²= r²]

(r²/un²) = cosec²i

∴ 1 + bērnu gultiņa ² θ = cosec ² i

Trijstūra leņķu un malu attiecības

Trīs noteikumi, kas saistīja trijstūra malas ar trijstūra iekšējiem leņķiem, ir:

• Viņa noteikums
• Kosinusa noteikums
• Pieskares noteikums

Ja trīsstūris ABC ar malām a, b un c, kas ir malas, kas ir pretējas attiecīgi ∠A, ∠B un ∠C, tad

Viņa noteikums

Viņa noteikumi norāda attiecības starp trijstūra malām un leņķiem, kas ir malu un sinusa attiecība pret leņķi, kas ir pretēja malai, vienmēr paliek nemainīga visiem trijstūra leņķiem un malām, un to norāda šādi:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Kosinusa noteikums

Kosinusa noteikums ietver visas malas, un viens trijstūra iekšējais leņķis ir norādīts šādi:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

VAI

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

VAI

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Pieskares noteikums

• Pieskares noteikums nosaka arī attiecības starp trijstūra malām un iekšējo leņķi, izmantojot iedeguma trigonometrisko attiecību, kas ir šāda:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Arī Lasīt

• Trigonometrija Augstums un attālums
• Trigonometriskā tabula

Atrisināts piemērs par trigonometriskajām identitātēm

1. piemērs: pierādi, ka (1 – grēks ² θ) sek ² θ = 1

Risinājums:

Mums ir:

LHS = (1 – grēks²θ) sek²i

= cos²θ . sek²i

= cos²θ . (1/maks²i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Līdz ar to pierādīts]

2. piemērs: pierādiet, ka (1 + iedegums ² θ) cos ² θ = 1

Risinājums:

Mums ir:

LHS = (1 + iedegums²θ) cos²i

⇒ LHS = sek²θ . cos²i

⇒ LHS = (1/cos²θ) . cos²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Līdz ar to pierādīts]

3. piemērs: pierādiet, ka (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Risinājums:

Mums ir:

LHS = (cosec²θ – 1) iedegums²i

⇒ LHS = (1 + bērnu gultiņa²θ – 1) tātad²i

⇒ LHS = bērnu gultiņa²θ. tātad²i

⇒ LHS = (1/tan²θ). tātad²i

java versija Linux

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Līdz ar to pierādīts]

4. piemērs: pierādiet, ka (sec ⁴ θ – sek ² θ) = (iedeg ² θ + iedegums ⁴ i)

Risinājums:

Mums ir:

LHS = (sec⁴θ – sek²i)

⇒ LHS = sek²θ (sek²es - 1)

⇒ LHS = (1 + iedegums²θ) (1 + iedegums²es - 1)

⇒ LHS = (1 + iedegums²θ) tā²i

⇒ LHS = (iedegums²θ + iedegums⁴θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Līdz ar to pierādīts]

5. piemērs: pierādiet, ka √(sek ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

Risinājums:

Mums ir:

LHS = √ (sek²θ + cosec²θ ) = √((1 + iedegums²i) + (1 + bērnu gultiņa²i))

⇒ LHS = √ (iedeg²θ + bērnu gultiņa²es + 2)

⇒ LHS = √ (iedeg²θ + bērnu gultiņa²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [tātad pierādīts]

Prakses jautājumi par trigonometriskajām identitātēm

Q1: Vienkāršojiet izteiksmifrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Pierādiet identitāti iedegums (x) . gultiņa(x) = 1.

Q3: Parādi tofrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Vienkāršotsin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Q5: Pierādiet identitāticos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Q6: Vienkāršotfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Q7: Pierādiet identitātisec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Bieži uzdotie jautājumi par trigonometriskajām identitātēm

Kas ir trigonometriskā identitāte?

Trigonometriskā identitāte ir vienādojums, kas saista dažādas trigonometriskās funkcijas, piemēram, sin, cos, tan, cot, sec un cosec.

Kā pierādīt trigonometriskās identitātes?

Ir dažādas metodes trigonometrisko identitāšu pierādīšanai, viena no tādām ir 6 galveno trigonometrisko zināmo identitāšu izmantošana, lai pārrakstītu izteiksmi citā formā. Tāpat kā jebkurš cits pierādījums, mēs strādājam ar vienu pusi, lai nonāktu pie izteiksmes, kas ir identiska vienādojuma otrai pusei.

Cik daudz trigonometrisko identitāšu ir?

Ir daudz trigonometrisko identitāšu, jo jebkura identitāte var būt ar dažām variācijām joprojām ir identitāte. Tāpēc mēs nevaram precīzi pateikt, cik daudz identitāšu ir.

Kā atcerēties visas trigonometriskās identitātes?

Vienkāršākā metode, kā atcerēties visas identitātes, ir praktizēt ar identitāti saistītās problēmas. Katru reizi, kad atrisinat problēmu, izmantojot kādu identitāti, jūs šo identitāti pārskatāt, un galu galā tā jums kļūs par otro dabu.

Uzrakstiet trīs galvenās trigonometriskās funkcijas.

Trīs galvenās funkcijas, ko izmanto trigonometrijā, ir sinuss, kosinuss un tangenss.
sin θ = Perpendikulāri/ Hipotenūza
cos θ = Bāze/Hipotenūza
iedegums θ = perpendikulārs/bāze

Kas ir Pitagora teorēma?

Pitagora teorēma nosaka taisnleņķa trijstūri, kura malas ir hipotenūza (H), perpendikula (P) un bāze (B), attiecības starp tām ir norādītas ar:

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Uzrakstiet trigonometrisko identitāšu lietojumus.

Trigonometriskās identitātes tiek izmantotas dažādu problēmu risināšanai, kas saistītas ar sarežģītām trigonometriskām funkcijām. Tos izmanto, lai aprēķinātu viļņu vienādojumus, harmonisko oscilatoru vienādojumus, risinot ģeometriskos jautājumus un citas problēmas.

Uzrakstiet astoņas pamata trigonometriskās identitātes.

Astoņas trigonometrijas pamatidentitātes ir:

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sek θ
• iedegums θ = 1/gultiņa θ
• bez²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ tātad²θ = sek²i
• gultiņa θ = cosθ/sinθ
• 1+ gultiņa²θ = cosec²i