Trigonometriskā aizstāšana ir viena no integrācijas aizstāšanas metodēm, kur funkcija vai izteiksme dotajā integrālī tiek aizstāta ar trigonometriskām funkcijām, piemēram, sin, cos, tan utt. Integrācija ar aizstāšanu ir vienkāršākā aizstāšanas metode.

To lieto, ja veicam funkcijas aizstāšanu, kuras atvasinājums jau ir iekļauts dotajā integrālajā funkcijā. Tādējādi funkcija tiek vienkāršota, un tiek iegūta vienkārša integrāļa funkcija, kuru mēs varam viegli integrēt. To sauc arī par u-aizvietošanu vai apgrieztās ķēdes noteikumu. Citiem vārdiem sakot, izmantojot šo metodi, mēs varam viegli novērtēt integrāļus un antiderivatīvus.

Trigonometriskā aizstāšana

Kas ir trigonometriskā aizstāšana?

Trigonometriskā aizstāšana ir process, kurā notiek trigonometriskās funkcijas aizstāšana ar citu izteiksmi. To izmanto, lai novērtētu integrāļus vai tā ir metode, lai atrastu funkciju antiatvasinājumus, kas satur kvadrātsaknes no kvadrātveida izteiksmēm vai formas racionālajiem pakāpēm.frac{p}{2} (kur p ir vesels skaitlis) kvadrātveida izteiksmes. Šādu izteicienu piemēri ir

({x^2+4})^frac{3}{2} vaisqrt{25-x^2} vai utt.

Trigonometriskās aizstāšanas metodi var izmantot, ja citas izplatītākas un vieglāk lietojamas integrācijas metodes ir bijušas neveiksmīgas. Trigonometriskā aizstāšana paredz, ka esat iepazinies ar standarta trigonometriskajām identitātēm, diferenciālzīmēšanas izmantošanu, integrāciju, izmantojot u-aizvietošanu, un trigonometrisko funkciju integrāciju.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Šeit mēs apspriedīsim dažas svarīgas formulas atkarībā no funkcijas, kas mums jāintegrē, mēs aizstājam vienu no šīm trigonometriskajām izteiksmēm, lai vienkāršotu integrāciju:

∫cosx dx = sinx + C

mysql lietotāju saraksts

∫sinx dx = −cosx + C

∫sek²x dx = tanx + C

∫kosek²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Lasiet sīkāk: Aprēķini matemātikā

Kad izmantot trigonometrisko aizstāšanu?

Mēs izmantojam trigonometrisko aizstāšanu šādos gadījumos:

Kā piemērot trigonometriskās aizstāšanas metodi?

Mēs varam izmantot trigonometriskās aizstāšanas metodi, kā aprakstīts tālāk,

Integrēts ar a²– x²

Apskatīsim integrāļa piemēru, kas ietver a²– x².

Piemērs: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Pieņemsim, ka x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Tādējādi es =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Kā, x = a sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrāli ar x ² + a ²

Apskatīsim integrāļa piemēru, kas ietver x²+ a².

Piemērs: atrodiet integrāli old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Risinājums:

Pieņemsim, ka x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, mēs iegūstam

Tādējādi es =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I =frac{1}{a} heta + c

Kā, x = a tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrēts ar a ² + x ² .

Apskatīsim integrāļa piemēru, kas ietver a²+ x².

Piemērs: atrodiet integrāli no old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Risinājums:

Pieņemsim, ka x = a tanθ

⇒ dx = sekunde²θ dθ

Tādējādi es =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

instalēt maven

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integrāli ar x ² – a ² .

Apskatīsim integrāļa piemēru, kas ietver x²– a².

Piemērs: atrodiet integrāli no old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Pieņemsim, ka x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Tādējādi es =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Lasīt vairāk,

• Integrācijas formulas
• Integrācija ar aizstāšanu
• Integrācija pa daļām

Trigonometriskās aizstāšanas problēmu paraugi

1. problēma: atrodiet integrāli old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Risinājums:

Ņemot 5 kopsaucēju,

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Saskaņā ar 1. teorēmu a =frac{3}{5}

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

2. uzdevums: atrodiet integrāli no old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Risinājums:

Kopsaucējā ņemot √2,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Saskaņā ar 1. teorēmu a = 2

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

masīvs virknē

3. uzdevums: atrodiet integrāli old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Risinājums:

Pārkārtojot, mēs iegūstam

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Šeit ņemot, a = 3 un x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Aizstājot šīs vērtības,

es =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Ņemsim,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Aizstājot šīs vērtības, mēs iegūstam

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Kā, u = cos θ un x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ in =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ in =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Tādējādi I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

4. uzdevums: atrodiet integrāli old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Risinājums:

Ņemot kopsaucēju 9,

es =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Saskaņā ar 2. teorēmu a =frac{2}{3}

⇒ I =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

uz stīgu metodi java

5. uzdevums: atrodiet integrāli old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Risinājums:

Ņemot 4 kopsaucēju,

es =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Saskaņā ar 3. teorēmu a =frac{5}{4}

⇒ I =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

6. uzdevums: atrodiet integrāli old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Risinājums:

uzdevumu pārvaldnieks operētājsistēmai Linux

Ņemot 2 kopsaucēju,

es =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

es =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Saskaņā ar 4. teorēmu a =frac{3}{2}

es =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

es =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

es =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

es =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

es =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

7. uzdevums: atrodiet integrāli old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Risinājums:

Pēc pārkārtošanas mēs saņemam

es =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

es =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

es =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

es =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Saskaņā ar 2. teorēmu mums ir

x = x-frac{1}{2} un a =frac{sqrt{3}}{2}

es =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

es =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometriskā aizstāšana — FAQ

Kas ir trigonometriskā aizstāšana?

Trigonometriskā aizstāšana ir integrācijas paņēmiens, ko izmanto, lai atrisinātu integrāļus, kas ietver izteiksmes ar radikāļiem un kvadrātsaknēm, piemēram, √(x²+ a²), √(a²+ x²), un √(x²– a²).

Kad man vajadzētu izmantot trigonometrisko aizstāšanu?

Trigonometriskā aizstāšana ir noderīga, ja jums ir integrālis, kas ietver radikālu izteiksmi, it īpaši, ja radikālā izteiksme satur kvadrātvārdu.

Kādi ir trīs trigonometriskie aizvietojumi, ko parasti izmanto integrāļos?

Trīs biežāk lietotās trigonometriskās aizstāšanas metodes ir:

• Aizstāt x = a sin θ, ja radikāļu izteiksmē ir termins formā a²– x².
• Aizstāt x = dzeltenbrūns θ, ja radikāļu izteiksmē ir vārds x formā²– a².
• Aizstāt x = a sec θ, ja radikāļu izteiksmē ir vārds x formā²+ a².

Kā kāds izvēlas, kuru trigonometrisko aizstāšanu izmantot?

Trigonometriskā aizstāšana jāizvēlas, pamatojoties uz radikālas izteiksmes formu. Ja radikālā izteiksme satur terminu formā a^2 – x^2, izmantojiet x = a sin θ. Ja radikālā izteiksme satur vārdu x^2 – a^2, izmantojiet x = a tan θ. Ja radikālā izteiksme satur vārdu x^2 + a^2, izmantojiet x = a sec θ.