logo

TechCodeview

Integrācijas formulas

Integrācijas formulas ir pamata formulas, kas tiek izmantotas dažādu integrālu problēmu risināšanai. Tos izmanto, lai atrastu algebrisko izteiksmju, trigonometrisko attiecību, apgriezto trigonometrisko funkciju un logaritmisko un eksponenciālo funkciju integrāciju. Šīs integrācijas formulas ir ļoti noderīgas dažādu funkciju integrācijas atrašanai.

Integrācija ir apgriezts diferenciācijas process, t.i., ja d/dx (y) = z, tad ∫zdx = y. Jebkuras līknes integrācija dod laukumu zem līknes. Mēs atrodam integrāciju ar divām metodēm nenoteikta integrācija un noteikta integrācija. Nenoteiktā integrācijā integrācijai nav ierobežojumu, turpretim noteiktai integrācijai ir ierobežojums, saskaņā ar kuru funkcija tiek integrēta.

Ļaujiet mums uzzināt par tiem integrālās formulas, un viņu klasifikācija, sīkāk šajā rakstā.



Satura rādītājs

Integrālais aprēķins

Integrālrēķins ir aprēķinu nozare, kas nodarbojas ar integrāļu teoriju un pielietojumiem. Integrāļu atrašanas procesu sauc par integrāciju. Integrālie aprēķini palīdz atrast funkcijas antiatvasinājumus. Antiatvasinājumus sauc arī par funkcijas integrāļiem. To apzīmē ar ∫f(x)dx. Integrālie aprēķini attiecas uz kopējo vērtību, piemēram, garumiem, laukumiem un tilpumiem. Integrāli var izmantot, lai atrastu aptuvenus risinājumus noteiktiem doto datu vienādojumiem. Integrālais aprēķins ietver divu veidu integrāciju:

  • Nenoteikts Integrāļi
  • Noteiktie integrāļi

Kas ir integrācijas formulas?

Integrācijas formulas ir plaši parādītas kā šādas formulu kopas. Formulas ietver integrācijas pamatformulas, trigonometrisko attiecību integrāciju, apgrieztās trigonometriskās funkcijas, funkciju reizinājumu un dažas papildu integrācijas formulu kopas. Integrācija ir veids, kā apvienot daļas, lai atrastu veselumu. Tā ir diferenciācijas apgrieztā darbība. Tādējādi integrācijas pamatformula ir

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrācijas formulas

Izmantojot to, tiek iegūtas šādas integrācijas formulas.

Dažādas integrālskaitļu formulas ir

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logTas ir|x| + C
  4. ∫exdx = ex+ C
  5. ∫axdx = (ax/ žurnālsTas ira) + C

Vairāk, integrālās formulas ir apskatītas tālāk rakstā,

Piezīme:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , kur k ir konstante
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Integrācijas pamatformulas

Tālāk ir apskatītas dažas no integrācijas pamatformulām, kas tiek izmantotas integrācijas problēmu risināšanai. Tos atvasina integrācijas pamatteorēma. Pamata integrāļa formulu saraksts ir norādīts zemāk:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ unxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ unx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {kur, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Integrālo formulu klasifikācija

Integrālās formulas tiek klasificētas dažādās kategorijās, pamatojoties uz šādu funkciju.

  • Racionālas funkcijas
  • Iracionālas funkcijas
  • Hiperboliskās funkcijas
  • Apgrieztās hiperboliskās funkcijas
  • Trigonometriskās funkcijas
  • Apgrieztās trigonometriskās funkcijas
  • Eksponenciālās funkcijas
  • Logaritmiskās funkcijas

Trigonometrisko funkciju integrācijas formulas

Trigonometrisko funkciju integrācijas formulas tiek izmantotas, lai atrisinātu integrālvienādojumus, kas ietver trigonometriskās funkcijas. Tālāk ir sniegts integrālo formulu saraksts, kas ietver trigonometriskās un apgrieztās trigonometriskās funkcijas,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sek2x dx = iedegums x + C
  • ∫ cosec2x dx = -gultiņa x + C
  • ∫ sek x iedegums x dx = sek x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sek x| +C
  • ∫ gultiņa x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sek x dx = log |sek x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – gultiņa x| + C

Apgriezto trigonometrisko funkciju integrācijas formulas

Tālāk ir dotas dažādas apgriezto trigonometrisko funkciju integrācijas formulas, ko izmanto integrālu jautājumu risināšanai,

  • ∫1/√(1–x2) dx = grēks-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = iedegums-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = bērnu gultiņa-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sek-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x + C

Uzlabotas integrācijas formulas

Tālāk ir apskatītas dažas citas uzlabotas integrācijas formulas, kurām ir liela nozīme integrāļu risināšanā.

  • ∫1/(x2– a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2– x2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a iedegums-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– a2)dx = log |x +√(x2– a2)| + C
  • ∫ √(x2– a2) dx = x/2 √(x2– a2) -a2/2 log |x + √(x2– a2)| + C
  • ∫1/√(a2– x2) dx = grēks-1x/a + C
  • ∫√(a2– x2) dx = x/2 √(a2– x2) dx + a2/2 bez-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √(x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Dažādas integrācijas formulas

Dažāda veida integrālo jautājumu risināšanai tiek izmantotas dažāda veida integrācijas metodes. Katra metode ir standarta rezultāts, un to var uzskatīt par formulu. Dažas no svarīgākajām metodēm ir aplūkotas tālāk šajā rakstā. Pārbaudīsim trīs svarīgās integrācijas metodes.

  • Integrācija pēc detaļu formulas
  • Integrācija ar aizstāšanas formulu
  • Integrācija pēc daļskaitļu formulas

Integrācija pēc detaļu formulas

Integrācija pa daļām Formulu izmanto, ja dotā funkcija ir viegli aprakstāma kā divu funkciju reizinājums. Matemātikā izmantotā integrācija pēc Parts formulas ir dota zemāk,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Piemērs: Aprēķināt ∫ xe x dx

Risinājums:

∫ automašīnaxdx ir formā ∫ f(x) g(x) dx

pieņemsim, ka f(x) = x un g(x) = ex

mēs zinām, ka ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ automašīnaxdx = x ∫exdx – ∫( 1 ∫exdx) dx+ c

= automašīnax- Tas irx+ c

Integrācija ar aizstāšanas formulu

Integrācija ar aizstāšanas formulu tiek lietots, ja funkcija ir citas funkcijas funkcija. t.i., pieņemsim, ka I = ∫ f(x) dx, kur x = g(t) tā, ka dx/dt = g'(t), tad dx = g'(t)dt

Tagad I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Piemērs: Novērtēt ∫ (4x +3) 3 dx

Risinājums:

Pieņemsim, ka u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

javascript brīdinājuma lodziņš

= 1/4 ∫(u)3no

= 1/4. iekšā4/5

= u4/divdesmit

= 4x+3)4/divdesmit

Integrācija pēc daļskaitļu formulas

Integrācija ar daļējām daļām Formula tiek izmantota, ja ir nepieciešams P(x)/Q(x) integrālis un P(x)/Q(x) ir nepareiza daļdaļa, tā ka P(x) pakāpe ir mazāka par (<) Q(x) pakāpi, tad daļskaitli P(x)/Q(x) raksta kā

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

kur

  • R(x) ir polinoms x
  • P 1 (x)/ Q(x) ir pareiza racionāla funkcija

Tagad R(x) + P integrācija1(x)/ Q(x) ir viegli aprēķināt, izmantojot iepriekš aprakstītās formulas.

Integrāļu pielietojums

Integrālās formulas ir ļoti noderīgas formulas matemātikā, ko izmanto dažādu uzdevumu veikšanai. Dažādi integrāļu pielietojumi ietilpst:

  • Līknes garuma atrašana
  • Laukuma atrašana zem līknes
  • Funkcijas aptuveno vērtību atrašana
  • Objekta ceļa noteikšana un citi
  • Lai atrastu laukumu zem līknes
  • Atrast neregulāru formu virsmas laukumu un tilpumu
  • Lai atrastu masas centru vai smaguma centru

Šīs formulas pamatā ir iedalītas divās kategorijās,

  • Noteiktas integrācijas formulas
  • Nenoteiktas integrācijas formulas

Noteikta integrācijas formula

Ja ir dota integrācijas robeža, tiek izmantotas noteiktas integrāļa formulas. Noteiktā integrācijā jautājuma risinājums ir nemainīga vērtība. Parasti noteiktā integrācija tiek atrisināta šādi:

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

Nenoteikta integrācijas formula

Nenoteiktas integrācijas formulas tiek izmantotas, lai atrisinātu nenoteiktu integrāciju, ja integrācijas limits nav norādīts. Nenoteiktā integrācijā mēs izmantojam integrācijas konstanti, ko parasti apzīmē ar C

∫f(x) = F(x) + C

  • Nenoteikti integrāļi
  • Definējiet integrālās īpašības
  • Trigonometrisko funkciju integrācija

Integrālo formulu piemēri

1. piemērs: Novērtējiet

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 x dx
  • ∫4e x dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/grēks 2 x) dx
  • ∫[1/√(4–x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Risinājums:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3)+C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4) (x4/3)+C

(iv) ∫3 x dx

= (3x/ žurnālsTas ir3) + C [ ∫a x dx = (a x / žurnāls Tas ir a) + C]

(v) ∫4e x dx

= 4∫exdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , kur k ir konstante]

= 4 unx+ C [∫e x dx = e x + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . s x dx [ ∫tan x .sec x dx = s x + C ]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫cosec2x dx [∫kosek 2 x dx = - gultiņa x + C ]

= - gultiņa x + C

(viii) ∫[1/√(4–x 2 )] dx

= ∫[1/√(22– x2)] dx [mēs to zinām, dx = grēks -1 (x/a) + C]

= bez-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [mēs to zinām,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a) sek-1(x/a) + C]

= (1/3) sek-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [mēs zinām, ka ∫cosec x dx = log |cosec x – gultiņa x| + C]

= baļķis |cosec x – gultiņa x| + C

2. piemērs: Novērtējiet ∫{e 9log Tas ir x + un 8log Tas ir x }/{Tas ir 6log Tas ir x + un 5log Tas ir x } dx

Risinājums:

Kopš, Tas ir kratīšana Tas ir x = x a

∫{e 9log Tas ir x + un 8log Tas ir x }/{Tas ir 6log Tas ir x + un 5log Tas ir x } dx

= ∫{x9+ x8}/{x6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/x5dx

= ∫x3dx [mēs to zinām, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

3. piemērs: Novērtējiet ∫ sin x + cos x dx

Risinājums:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [mēs zinām, ka ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [mēs zinām, ka ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

4. piemērs: novērtējiet ∫4 x+2 dx

Risinājums:

∫4 x+2 dx = ∫4x. 42dx

= ∫16. 4xdx [ mēs zinām, ka ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , kur k ir konstante]

= 16∫ 4xdx [∫a x dx = (a x / žurnāls Tas ir a) + C]

= 16 (4x/log 4) + C

5. piemērs: Novērtējiet ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Risinājums:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Mēs to zinām, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

6. piemērs: novērtējiet ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Risinājums:

1 + cos 2x = 2 cos 2 x

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 sek2xdx

= 2∫sek2x dx [Mēs to zinām, ∫sek 2 x dx = iedegums x + C ]

= 2 iedegums x + C

7. piemērs: novērtējiet ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

Risinājums:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sek2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, kur k ir konstante]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sek2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Prakses problēmas par integrācijas formulām

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Bieži uzdotie jautājumi par integrācijas formulām

Kas ir visas integrācijas formulas?

Integrācijas formulas ir formulas, kuras izmanto dažādu integrācijas problēmu risināšanai,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ unxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ unx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {kur, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Kādas ir UV integrācijas formulas?

UV integrācijas formula ir,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Ko nozīmē integrācija matemātikā?

Ja funkcijas g(x) atvasinājums ir f(x), tad f(x) integrācija ir g(x), t.i., ∫f(x)dx = g(x). Integrāciju apzīmē ar simbolu ∫

Kā mēs integrējam, izmantojot integrācijas formulas?

Integrāciju var panākt, izmantojot formulas,

  • Definējiet nelielu objekta daļu noteiktos izmēros, kas, saskaitot bezgalīgas reizes, veido pilnu objektu.
  • Izmantojot integrācijas formulas šai mazajai daļai dažādās dimensijās, mēs iegūstam visu objektu.

Kas ir integrālā formula pa daļām?

Integrāļa formulu pa daļām izmanto, lai atrisinātu integrāli, kur ir norādīta nepareiza daļa.

Kāda ir integrācijas formulu izmantošana?

Integrācijas formulas tiek izmantotas dažādu integrālproblēmu risināšanai. Dažādas problēmas, ar kurām saskaramies ikdienā, var viegli atrisināt ar integrācijas palīdzību, piemēram, atrast jebkura objekta masas centru, atrast raķetes, raķešu, lidmašīnu un citas trajektorijas.