Integrācija pa daļām: Integrācija pa daļām ir paņēmiens, ko izmanto aprēķinos, lai atrastu divu funkciju reizinājuma integrāli. Tas būtībā ir produkta diferencēšanas noteikuma maiņa.

Funkcijas integrēšana ne vienmēr ir vienkārša, dažreiz mums ir jāintegrē funkcija, kas ir divu vai vairāku funkciju reizinājums šajā gadījumā, ja mums ir jāatrod integrācija, kas mums ir jāizmanto integrācijas pēc daļas jēdziens, kas izmanto divus divu funkciju produktus un stāsta mums, kā atrast to integrāciju.

Tagad uzzināsim par Integrācija pa daļām, tās formula, atvasināšana un citi sīkāk šajā rakstā.

Kas ir integrācija pa daļām?

Integrācija pa daļām ir paņēmiens, ko izmanto, lai atrastu divu vai vairāku funkciju produkta integrāciju, ja integrāciju nevar veikt, izmantojot parastās metodes. Pieņemsim, ka mums ir divas funkcijas f(x) un g(x), un mums ir jāatrod to reizinājuma integrācija, t.i., ∫ f(x).g(x) dx, kur nav iespējams tālāk atrisināt šī produkta reizinājumu. f(x).g(x).

Šī integrācija tiek panākta, izmantojot formulu:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kur f'(x) ir f(x) pirmā diferenciācija.

Šī formula tiek lasīta šādi:

Pirmās funkcijas integrācija, kas reizināta ar otro funkciju, ir vienāda ar (pirmā funkcija) reizināta ar (otrās funkcijas integrācija) – integrācija (pirmās funkcijas diferencēšana, reizināta ar otrās funkcijas integrāciju).

No iepriekš minētās formulas mēs varam viegli novērot, ka pirmās un otrās funkcijas izvēle ir ļoti svarīga šīs formulas veiksmīgai izpildei, un tas, kā mēs izvēlamies pirmo un otro funkciju, ir apspriests tālāk šajā rakstā.

Kas ir daļēja integrācija?

Daļēja integrācija, kas pazīstama arī kā integrācija pa daļām, ir paņēmiens, ko izmanto aprēķinos, lai novērtētu divu funkciju reizinājuma integrāli. Daļējas integrācijas formulu nosaka:

∫ u dv = uv – ∫ v du

kur u un v ir x diferencējamas funkcijas. Šī formula ļauj mums vienkāršot produkta integrāli, sadalot to divos vienkāršākos integrālos. Ideja ir izvēlēties u un dv, lai jauno integrāli labajā pusē būtu vieglāk novērtēt nekā sākotnējo kreisajā pusē. Šī metode ir īpaši noderīga, strādājot ar funkciju produktiem, kuriem nav vienkāršu antiatvasinājumu.

Daļējas integrācijas vēsture

Integrāciju pēc daļas jēdzienu pirmo reizi savā grāmatā ierosināja slavenais Brūks Teilors 1715. gadā. Viņš rakstīja, ka mēs varam atrast divu funkciju, kuru diferenciācijas formulas, produkta integrāciju. Dažām svarīgām funkcijām nav integrācijas formulu, un to integrācija tiek panākta, izmantojot integrāciju, daļēji ņemot tās kā divu funkciju produktu. Piemēram, ∫ln x dx nevar aprēķināt, izmantojot parastās integrācijas metodes. Bet mēs varam to integrēt, izmantojot integrācijas pa daļām tehniku ​​un pieņemot to kā divu funkciju reizinājumu, tas ir, ∫1.ln x dx.

Integrācija pēc detaļu formulas

Integrācijas pēc daļām formula ir formula, kas palīdz mums panākt divu vai vairāku funkciju produkta integrāciju. Pieņemsim, ka mums ir jāintegrē divu funkciju produkts kā

∫u.v dx

kur u un v ir x funkcijas, tad to var panākt, izmantojot

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx + c

Pirmās un otrās funkcijas izvēles secība ir ļoti svarīga, un vairumā gadījumu pirmās un otrās funkcijas atrašanai izmantotais jēdziens ir ILATE jēdziens.

Izmantojot iepriekš minēto formulu un ILATE koncepciju, mēs varam viegli atrast divu funkciju produkta integrāciju. Integrācijas pēc daļas formula ir parādīta zemāk esošajā attēlā,

Integrācijas atvasināšana pēc detaļu formulas

Integrācijas pēc daļām formula tiek iegūta, izmantojot diferenciācijas produkta noteikumu. Pieņemsim, ka mums ir divas funkcijas iekšā un iekšā un x, tad to reizinājuma atvasinājumu iegūst, izmantojot formulu,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Tagad atvasiniet integrāciju pēc detaļu formulas, izmantojot diferenciācijas produkta noteikumu.

Noteikumu pārkārtošana

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrējot abas puses attiecībā pret x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

vienkāršojot,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Tādējādi tiek iegūta integrācijas pa daļām formula.

ILATE noteikums

ILATE noteikums stāsta par to, kā izvēlēties pirmo un otro funkciju, vienlaikus risinot divu funkciju reizinājuma integrāciju. Pieņemsim, ka mums ir divas funkcijas x u un v, un mums ir jāatrod to produkta integrācija, tad mēs izvēlamies pirmo funkciju un ar ILATE likumu.

Pilna ILATE veidlapa ir aplūkota zemāk esošajā attēlā,

ILATE Daļējas integrācijas noteikums

ILATE noteikumi sniedz mums pirmās funkcijas ņemšanas hierarhiju, t.i., ja dotajā funkcijas produktā viena funkcija ir logaritmiskā funkcija, bet cita funkcija ir trigonometriskā funkcija. Tagad mēs ņemam logaritmisko funkciju kā pirmo funkciju, jo tā ir augstāka ILATE noteikuma hierarhijā līdzīgi, mēs attiecīgi izvēlamies pirmo un otro funkciju.

PIEZĪME: Ne vienmēr ir pareizi izmantot ILATE kārtulu, dažreiz pirmās un otrās funkcijas atrašanai tiek izmantoti arī citi noteikumi.

Kā atrast integrāciju pa daļām?

Integrāciju pa daļām izmanto, lai atrastu divu funkciju produkta integrāciju. Mēs to varam sasniegt, izmantojot tālāk aprakstītās darbības,

Pieņemsim, ka mums ir jāvienkāršo ∫uv dx

1. darbība: Izvēlieties pirmo un otro funkciju saskaņā ar ILATE noteikumu. Pieņemsim, ka mēs ņemam u kā pirmo funkciju un v kā otro funkciju.

2. darbība: Diferencēt u(x) attiecībā pret x, tas ir, Novērtējiet du/dx.

3. darbība: Integrēt v(x) attiecībā pret x, tas ir, Novērtējiet ∫v dx.

Izmantojiet formulas 1. un 2. darbībā iegūtos rezultātus,

∫uv dx = u∫v dx − ∫(((du/dx)∫v dx) dx

4. darbība: Vienkāršojiet iepriekš minēto formulu, lai iegūtu nepieciešamo integrāciju.

Atkārtota integrācija pa daļām

Atkārtota integrācija pa daļām ir integrācijas pa daļām tehnikas paplašinājums aprēķinos. To izmanto, ja jums ir funkciju produkts, kas vairākas reizes jāintegrē, lai atrastu antiatvasinājumu. Process ietver integrācijas pa daļām formulas piemērošanu iteratīvi, līdz tiek sasniegts punkts, kurā iegūto integrāli ir viegli novērtēt vai tam ir zināma forma.

Lietojot šo formulu atkārtoti, jums vajadzētu sākt ar integrāli, kas ietver divu funkciju reizinājumu, un pēc tam lietot integrāciju pa daļām, lai to sadalītu vienkāršākos integrāļos. Pēc tam jūs turpinātu šo procesu ar iegūtajiem integrāļiem, līdz jūs sasniedzat punktu, kurā papildu lietojumprogrammas nav vajadzīgas vai kad integrāļi kļūst pārvaldāmi.

Tālāk ir sniegts soli pa solim piemērs, kā darbojas atkārtota integrācija pa daļām.

1. Sāciet ar divu funkciju reizinājuma integrāli: ∫ u dv.
2. Lietojiet integrācijas pa daļām formulu, lai iegūtu: uv – ∫ v du.
3. Ja labajā pusē iegūtais jaunais integrālis joprojām ietver funkciju reizinājumu, vēlreiz izmantojiet integrāciju pa daļām, lai to sīkāk sadalītu.
4. Turpiniet šo procesu, līdz iegūstat vienkāršāku integrāli, ko var viegli novērtēt, vai tādu, kas atbilst zināmai integrāļa formai.

Tabulārā integrācija pa daļām

Tabulārā integrācija, kas pazīstama arī kā tabulas metode vai tabulu integrācijas metode, ir alternatīva integrāļu novērtēšanas metode, kas ietver atkārtotu integrāciju pa daļām. Šī metode ir īpaši noderīga, strādājot ar integrāļiem, kur funkciju reizinājumu var integrēt vairākas reizes, lai sasniegtu vienkāršu rezultātu.

Tabulas metode organizē atkārtotu integrācijas procesu pa daļām tabulā, atvieglojot terminu izsekošanu un efektīvu integrāļa vienkāršošanu. Lūk, kā darbojas tabulas metode:

1. Sāciet ar integrālā iesaistīto funkciju pierakstīšanu divās kolonnās: viena funkcijai diferencēt (u) un otra funkcijai integrēt (dv).
   • Sāciet ar integrēšanas funkciju (dv) kreisajā kolonnā un diferencēšanas funkciju (u) labajā kolonnā.
2. Turpiniet diferencēt funkciju u kolonnā, līdz sasniedzat nulli vai konstanti. Katrā solī integrējiet funkciju dv kolonnā, līdz sasniedzat punktu, kurā turpmāka integrācija nav nepieciešama.
3. Reiziniet terminus pa diagonāli un pārmaiņus atzīmējiet zīmes (+ un -) katram terminam. Apkopojiet šos produktus, lai atrastu integrācijas rezultātu.

Šeit ir piemērs, lai ilustrētu tabulu integrācijas metode :

Novērtēsim integrāli ∫x sin(x) dx.

• 1. darbība: Izveidojiet tabulu ar divām kolonnām u (atšķiršanas funkcija) un dv (integrēšanas funkcija):

• 2. darbība: Atšķiriet funkciju u kolonnā un integrējiet funkciju dv kolonnā:

• 3. darbība: Reiziniet vārdus pa diagonāli un mainiet zīmes:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Tātad integrāļa ∫x rezultāts sin(x) dx ir -x cos(x) + sin(x).

Tabulas integrācijas metode ir īpaši noderīga, strādājot ar integrāļiem, kas ietver funkcijas, kas atkārtojas pēc diferencēšanas vai integrācijas, ļaujot izmantot sistemātisku un organizētu pieeju antiatvasinājuma atrašanai.

Integrācijas pielietojumi pa daļām

Integrācijai ar Parts ir dažādas lietojumprogrammas integrālajā aprēķinā, ko izmanto, lai atrastu funkcijas integrāciju, ja parastās integrācijas metodes neizdodas. Mēs varam viegli atrast apgriezto un logaritmisko funkciju integrāciju, izmantojot integrācijas pa daļām koncepciju.

Mēs atradīsim logaritmiskās funkcijas un Arctan funkcijas integrāciju, izmantojot integrācijas pēc daļas noteikumu,

Logaritmiskās funkcijas integrācija (log x)

Apgrieztās logaritmiskās funkcijas (log x) integrācija tiek panākta, izmantojot Integrācijas ar daļas formulu. Integrācija ir apspriesta tālāk,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Ņemot log x kā pirmo funkciju un 1 kā otro funkciju.

Izmantojot ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Kas ir vajadzīgā logaritmiskās funkcijas integrācija.

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas integrācija (tan^-1x)

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas integrācija (tan^-1x) tiek panākts, izmantojot formulu Integrācija ar daļu. Integrācija ir apspriesta tālāk,

∫ tā^-1x.dx = ∫ iedegums^-1x.1.dx

Iedeguma uzņemšana^-1x kā pirmā funkcija un 1 kā otrā funkcija.

Izmantojot ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫iedegums^-1x.1.dx = iedegums^-1x.∫1.dx – ∫((iedeg^-1x)’.∫ 1.dx).dx

lapsa vai vilks

⇒ ∫iedegums^-1x.1.dx = iedegums^-1x. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫iedegums^-1x.1.dx = x. tātad^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫iedegums^-1x.dx = x. tātad^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Kas ir vajadzīgā apgrieztās trigonometriskās funkcijas integrācija.

Daļējas integrācijas reālās dzīves pielietojumi

Daži no parastajiem daļējas integrācijas pielietojumiem reālajā dzīvē ir:

• Antiatvasinājumu atrašana
  • Inženierzinātnēs un fizikā daļēju integrāciju izmanto, lai atrastu funkciju antiatvasinājumus, kas attēlo fiziskos lielumus. Piemēram, mehānikā to izmanto, lai atvasinātu kustības vienādojumus no spēka un paātrinājuma vienādojumiem.
• Wallis produkts
  • Volisa reizinājumu, bezgalīgu pi produkta attēlojumu, var iegūt, izmantojot daļējas integrācijas metodes. Šim produktam ir pielietojums tādās jomās kā skaitļu teorija, varbūtību teorija un signālu apstrāde.
• Gamma funkcijas identitāte
  • Gamma funkcijai, kas paplašina faktoriālo funkciju līdz kompleksajiem skaitļiem, ir dažādi pielietojumi matemātikā, fizikā un inženierzinātnēs. Daļēja integrācija tiek izmantota, lai pierādītu identitātes, kas saistītas ar gamma funkciju, kas ir ļoti svarīgas tādās jomās kā varbūtības teorija, statistikas mehānika un kvantu mehānika.
• Izmantošana harmonikas analīzē
  • Daļējai integrācijai ir nozīmīga loma harmoniku analīzē, īpaši Furjē analīzē. To izmanto, lai iegūtu Furjē transformācijas īpašības, piemēram, konvolūcijas teorēmu un Furjē sērijas īpašības. Šie rezultāti tiek izmantoti tādās jomās kā signālu apstrāde, attēlu analīze un telekomunikācijas.

Integrācija ar detaļu formulām

Mēs varam iegūt dažādu funkciju integrāciju, izmantojot integrācijas pa daļām koncepciju. Dažas no svarīgākajām formulām, kas iegūtas, izmantojot šo metodi, ir

• ∫ un^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x)+C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) – a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√(a²– x²).dx = ½ . x.√(a²– x²) + a²/2. bez^-1x/a + C

Integrācija pēc detaļu piemēriem

1. piemērs: Atrast ∫ e ^x x dx.

Risinājums:

Pieņemsim, ka I = ∫ e^xx dx

Izvēloties u un v, izmantojot ILATE noteikumu

u = x
v = e^x

Atšķirot u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Izmantojot formulu Integrācija pa daļām,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ e^xdx) dx

⇒ I = xe^x− un^x+ C

⇒ I = e^x(x – 1) + C

2. piemērs: Aprēķināt ∫ x sin x dx.

Risinājums:

Ļaujiet I = ∫ x sin x dx

Izvēloties u un v, izmantojot ILATE kārtulu

u = x
v = sin x

Atšķirot u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Izmantojot formulu Integrācija pa daļām,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

3. piemērs: Atrodi ∫ sin ⁻¹ x dx.

Risinājums:

Ļaujiet I= ∫ grēkot⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.grēks⁻¹x dx

glābt no

Izvēloties u un v, izmantojot ILATE kārtulu

u = grēks⁻¹x
v = 1

Atšķirot u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Izmantojot formulu Integrācija pa daļām,

⇒ I = ∫ grēks⁻¹x dx

⇒ I = bez⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x grēks⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Pieņemsim, ka t = 1 − x²

Abu pušu atšķiršana

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ grēks⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x grēks⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x grēks⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x grēks⁻¹x + √(1 - x²)+C

Prakses problēmas par integrāciju pa daļām

1. Integrēt xe ^x

2. Integrēt x sin(x)

3. Integrēt x ² ln(x)

4. Integrēt e ^x cos(x)

5. Integrējiet ln(x)

Bieži uzdotie jautājumi par integrāciju pa daļām

Kas ir integrācija pa daļām?

Integrācija pa daļām ir paņēmiens, lai atrastu divu funkciju produkta integrāciju, ja parastās integrācijas metodes neizdodas. Integrācija pēc daļas formulas ir,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx + c

Kas ir integrācijas formula pēc daļām?

Divām funkcijām f(x) un g(x) integrācija pēc daļas formulas ir:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kur f'(x) ir f(x) diferenciācija.

Kā iegūt integrāciju pēc daļu formulas?

Integrācija pēc daļas formulas tiek iegūta, izmantojot diferenciācijas reizinājuma likumu.

Kāpēc mēs izmantojam integrācijas formulu pēc detaļām?

Integrācija pēc daļas formulas tiek izmantota, lai atrastu funkcijas integrāciju, ja parastās diferenciācijas metodes neizdodas. Mēs varam atrast apgriezto trigonometrisko funkciju un logaritmisko funkciju integrāciju, izmantojot integrācijas pēc daļas formulu

Kāds ir integrācijas pa daļām pielietojums?

Integrācijai pa daļām ir dažādas lietojumprogrammas, un tās pamatpielietojums ir tāds, ka to izmanto, lai atrastu funkcijas integrāciju, kad funkcija ir norādīta kā funkciju reizinājums, ko nevar tālāk vienkāršot. Piemēram, ∫ f(x).g(x) dx tiek sasniegts, izmantojot Integrāciju pa daļām.