Matricas rangs ir definēts kā vektora telpas dimensija, ko veido tās kolonnas. Matricas rangs ir ļoti svarīgs jēdziens lineārās algebras jomā, jo tas palīdz mums uzzināt, vai mēs varam atrast risinājumu vienādojumu sistēmai vai nē. Matricas rangs arī palīdz mums uzzināt tās vektoru telpas dimensiju.

Šajā rakstā ir sīki izpētīts matricas ranga jēdziens, tostarp tā definīcija, kā aprēķināt matricas rangu, kā arī nederīgumu un tā saistību ar rangu. Mēs arī iemācīsimies atrisināt dažas problēmas, pamatojoties uz matricas rangu. Tātad, vispirms sāksim ar matricas ranga definīciju.

Satura rādītājs

• Kas ir Matricas rangs?
• Kā aprēķināt matricas rangu?
• Matricas ranga īpašības
• Matricas ranga piemēri
• FAQ

Kas ir Matricas rangs?

Matricas rangs ir lineārās algebras pamatjēdziens, kas mēra maksimālo lineāri neatkarīgo rindu vai kolonnu skaitu jebkurā matricā. Citiem vārdiem sakot, tas norāda, cik daudzas matricas rindas vai kolonnas nav noderīgas un veicina kopējo informāciju vai matricas dimensiju. Definēsim matricas rangu.

Matricas definīcijas rangs

Matricas rangs tiek definēts kā lineāri neatkarīgu rindu skaits a matrica .

centos vs redhat

To apzīmē, izmantojot ρ(A), kur A ir jebkura matrica. Tādējādi matricas rindu skaits ir matricas ranga ierobežojums, kas nozīmē, ka matricas rangs nedrīkst pārsniegt kopējo rindu skaitu matricā.

Piemēram, ja matricas pakāpe ir 3 × 3, tad matricas maksimālais rangs var būt 3.

Piezīme: Ja matricā ir visas rindas ar nulles elementiem, tad tiek uzskatīts, ka matricas rangs ir nulle.

Matricas neesība

Dotajā matricā vektoru skaitu nulles telpā sauc par matricas nullitāti vai arī to var definēt kā dotās matricas nulles telpas dimensiju.

Kolonnu kopskaits matricā = Rangs + Nullity

Lasīt vairāk par Ranga nulles teorēma .

Kā aprēķināt matricas rangu?

Ir 3 metodes, kuras var izmantot, lai iegūtu jebkuras dotās matricas rangu. Šīs metodes ir šādas:

• Neliela metode
• Izmantojot Echelon veidlapu
• Izmantojot parasto formu

Apspriedīsim šīs metodes sīkāk.

Neliela metode

Priekšnosacījums: Matricas nepilngadīgie

Lai atrastu matricas rangu, izmantojot mazo metodi, tiek veiktas šādas darbības:

• Aprēķiniet matricas determinantu (teiksim A). Ja det(A) ≠ 0, tad matricas A rangs = matricas A secība.
• Ja det(A) = 0, tad matricas rangs ir vienāds ar matricas maksimāli iespējamās nulles minoritātes kārtu.

Ļaujiet mums saprast, kā atrast matricas rangu, izmantojot mazo metodi.

Piemērs: atrodiet matricas rangu egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} izmantojot nelielu metodi.

Ņemot vērāA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• 1. darbība. Aprēķiniet A determinantu

it(A) = 1 (35–48) – 2 (28–42) + 3 (32–35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Ja det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 secība

Izmantojot Echelon veidlapu

Mazā metode kļūst ļoti nogurdinoša, ja matricas secība ir ļoti liela. Tātad šajā gadījumā mēs pārvēršam matricu Ešelona formā. Matrica, kas ir iekšā augšējā trīsstūra forma vai apakšējā trīsstūra forma tiek uzskatīts par Ešelona formā. Matricu var pārvērst tās Ešelona formā, izmantojot elementāras rindu darbības . Lai aprēķinātu matricas rangu, izmantojot Echelon formu, tiek veiktas šādas darbības:

• Konvertējiet doto matricu tās Ešelona formā.
• Matricas Ešelona formā iegūto rindu skaits, kas nav nulle, ir matricas rangs.

Ļaujiet mums saprast, kā atrast matricas rangu, izmantojot mazo metodi.

Piemērs: atrodiet matricas rangu egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} izmantojot Echelon formas metodi.

Ņemot vērāA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• 1. darbība: konvertējiet A uz ešelona formu

Piesakies R₂= R₂– 4R₁

Piesakies R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Piesakies R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

paplašinājuma fails java

Tā kā matrica A tagad ir apakšējā trīsstūrveida formā, tā ir Ešelona formā.

• 2. darbība: rindu skaits, kas atšķiras no nulles A = 2. Tādējādi ρ(A) = 2

Izmantojot parasto formu

Tiek uzskatīts, ka matrica ir normālā formā, ja to var reducēt līdz formai egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Šeit es_rattēlo r kārtas identitātes matricu. Ja matricu var pārvērst tās normālā formā, tad tiek uzskatīts, ka matricas rangs ir r.

Ļaujiet mums saprast, kā atrast matricas rangu, izmantojot mazo metodi.

Piemērs: atrodiet matricas rangu old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} izmantojot parastās formas metodi.

Ņemot vērāA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Piesakies R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁un R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Piesakies R₁= R₁– 2R₂un R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Piesakies R₁= R₁+ R₃un R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Piesakies C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Tādējādi A var uzrakstīt kā egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Tādējādi ρ(A) = 3

Matricas ranga īpašības

Matricas ranga īpašības ir šādas:

• Matricas rangs ir vienāds ar matricas secību, ja tā ir nevienskaitļa matrica.
• Matricas rangs ir vienāds ar rindu skaitu, kas nav nulle, ja tā ir Ešelona formā.
• Matricas rangs ir vienāds ar identitātes matricas secību tajā, ja tā ir normālā formā.
• Matricas rangs
• Matricas rangs
• Identitātes matricas rangs ir vienāds ar identitātes matricas secību.
• Nulles matricas vai nulles matricas rangs ir nulle.

Lasīt vairāk,

• Matricu veidi
• Matricas transponēšana
• Matricas inverss

Matricas ranga piemēri

UN 1. piemērs: atrodiet matricas rangu old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} izmantojot nelielu metodi.

Risinājums:

Ņemot vērāA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

1. darbība. Aprēķiniet A determinantu

it(A) = -1 (35–48) + 2 (28–42) – 3 (32–35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Ja det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 secība

Piemērs 2. Atrodiet matricas rangu old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} izmantojot nelielu metodi.

Risinājums:

Ņemot vērāA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

1. darbība. Aprēķiniet A determinantu

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 - 72 = 216

Ja det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 secība

Piemērs 3. Atrodiet matricas rangu old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} izmantojot Echelon formas metodi.

virkne uz int java

Risinājums:

Ņemot vērāA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

1. darbība: konvertējiet A uz ešelona formu

Piesakies R₂= R₂– 4R₁

Piesakies R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Piesakies R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Tā kā matrica A tagad ir apakšējā trīsstūrveida formā, tā ir Ešelona formā.

2. darbība: rindu skaits, kas atšķiras no nulles A = 2. Tādējādi ρ(A) = 2

4. piemērs. Atrodiet matricas rangu old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} izmantojot Echelon formas metodi.

Risinājums:

Ņemot vērāA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

1. darbība: konvertējiet A uz ešelona formu

Piesakies R₂= R₂– 4R₁

Piesakies R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Piesakies R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Tā kā matrica A tagad ir apakšējā trīsstūrveida formā, tā ir Ešelona formā.

2. darbība: rindu skaits, kas atšķiras no nulles, A = 2. Tādējādi ρ(A) = 2

Piemērs 5. Atrodiet matricas rangu old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} izmantojot parastās formas metodi.

Risinājums:

Ņemot vērāA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Piesakies R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁un R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Piesakies R₁= R₁– 2R₂un R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Piesakies R₁= R₁+ R₃un R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Piesakies C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Piesakies R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Tādējādi A var uzrakstīt kāegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Tādējādi ρ(A) = 3

Matricas rangs – FAQ

Definējiet matricas rangu.

Matricas rangs tiek definēts kā lineāri neatkarīgu rindu skaits matricā. To apzīmē, izmantojot ρ(A), kur A ir jebkura matrica.

Kā atrast matricas rangu?

Matricas rangu var aprēķināt, izmantojot dažādas metodes, piemēram:

• Neliela metode
• Izmantojot Echelon veidlapu
• Izmantojot parasto formu

Kāds ir matricas rangs, ja matricas determinants nav vienāds ar nulli?

Ja matricas determinants ir nulle, tad matricas rangs ir vienāds ar matricas secību.

Kad tiek teikts, ka Matrica ir Ešelona formā?

Tiek uzskatīts, ka matrica, kas ir augšējā trīsstūra formā vai apakšējā trīsstūra formā, ir ešelona formā.

Kas ir matricas normālā forma?

Tiek uzskatīts, ka matrica ir normālā formā, ja to var uzrakstīt kā egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} kur es_rir kārtas “r” identitātes matrica.

Kāds ir nulles matricas rangs?

Nulles matricas rangs ir nulle.

Kāds ir identitātes matricas rangs?

Identitātes matricas rangs ir vienāds ar matricas secību.

java pievienošanas virkne

Kāda ir saistība starp matricas nederību un rangu?

Attiecība starp matricas anulitāti un rangu ir:

Kolonnu kopskaits matricā = Rangs + Nullity