Varbūtību formulas ir svarīgi matemātiskie rīki, ko izmanto varbūtības aprēķināšanai. Pirms zināt varbūtības formulas, mums īsumā jāsaprot varbūtības jēdziens. Nejauša notikuma iestāšanās iespējamību nosaka varbūtība. Varbūtība ir paredzēšanas iespēja. Tās lietojumprogrammas aptver dažādas jomas, tostarp spēļu stratēģijas, prognožu izveidi, pamatojoties uz varbūtību biznesā, un mākslīgā intelekta jomu, kas attīstās.

operatori python programmēšanā

Šajā rakstā mēs uzzināsim varbūtības formulas nozīmi un definīciju, kā arī to, kā šīs formulas izmantot varbūtības aprēķināšanā. Mēs redzam arī dažādus terminus, kas saistīti ar varbūtību, un dažādas formulas, lai viegli atrisinātu matemātikas problēmas.

Satura rādītājs

• Kas ir varbūtības formula?
• Noteikumi, kas saistīti ar varbūtības formulu
• Notikumi varbūtības formulā
• Dažādas varbūtības formulas
• Varbūtības formulas piemēri

Kas ir varbūtības formula?

Varbūtību formulas tiek izmantotas, lai noteiktu notikuma iespējas, dalot labvēlīgo iznākumu skaitu ar kopējo iespējamo iznākumu skaitu. Izmantojot šo formulu, mēs varam novērtēt ar konkrētu notikumu saistīto varbūtību.

Matemātiski šo formulu varam uzrakstīt šādi:

P(A) = labvēlīgo iznākumu skaits / kopējais iespējamo iznākumu skaits

Varbūtības formula aprēķina labvēlīgo iznākumu attiecību pret visu iespējamo rezultātu kopumu. Varbūtības vērtība ir diapazonā no 0 līdz 1, kas nozīmē, ka labvēlīgi rezultāti nevar pārsniegt kopējos rezultātus, un labvēlīgo iznākumu negatīvā vērtība nav iespējama.

mācīties,

• Varbūtība matemātikā
• Varbūtību teorija

Kā aprēķināt varbūtību?

Notikuma varbūtība = (labvēlīgo iznākumu skaits) / (kopējais notikuma iespējamo iznākumu skaits)

P(A) = n(E)/n(S)

P(A) <1

Šeit P(A) apzīmē notikuma A varbūtību, kur n(E) ir labvēlīgo iznākumu skaits, un n(S) ir notikuma iespējamo iznākumu kopējais skaits.

Apsverot papildu notikumu, kas attēlots kā P(A’), kas apzīmē notikuma A nenotikšanu, tad formula būs šāda:

P(A’) = 1- P(A)

P(A') ir pretējs notikumam A, kas norāda, ka notiek vai nu notikums P(A), vai tā papildinājums P(A').

Tāpēc tagad mēs varam teikt; P(A) + P(A’) = 1

mācīties,

• Notikumi varbūtībā
• Notikumu veidi varbūtībā

Noteikumi, kas saistīti ar varbūtības formulu

Daži no visizplatītākajiem terminiem, kas saistīti ar varbūtības formulu, ir:

• Eksperiments: Eksperiments ir darbība vai procedūra, kas tiek veikta, lai radītu noteiktu rezultātu.

• Vietas paraugs: Parauga vieta ietver visus iespējamos eksperimenta rezultātus. Piemēram, metot monētu, parauga laukā ietilpst {galva, aste}.

• Labvēlīgs rezultāts: Labvēlīgs rezultāts ir rezultāts, kas atbilst plānotajam vai sagaidāmajam secinājumam. Divu kauliņu ripināšanas gadījumā labvēlīgu iznākumu piemēri, kuru rezultāts ir 4, ir (1,3), (2,2) un (3,1).

• Izmēģinājums: Izmēģinājums apzīmē nejauša eksperimenta izpildi.

• Nejaušs eksperiments: A Izlases eksperiments raksturo labi definēts iespējamo rezultātu kopums. Nejauša eksperimenta piemērs ir monētas mešana, kur rezultāts varētu būt vai nu galvas, vai astes. Tas nozīmē, ka rezultāts būs neskaidrs.

• Pasākums: Notikums apzīmē kopējos rezultātus, kas iegūti nejauša eksperimenta rezultātā.

• Tikpat iespējamie notikumi: Vienlīdz iespējamie notikumi ir tie notikumi, kuriem ir identiskas iestāšanās varbūtības. Viena notikuma iznākums neietekmē cita iznākumu.

• Izsmeļoši notikumi: Izsmeļošs notikums notiek, ja visu iespējamo rezultātu kopa aptver visu parauga vietu.

• Savstarpēji ekskluzīvi pasākumi: Savstarpēji ekskluzīvi pasākumi ir tie, kas nevar notikt vienlaicīgi. Piemēram, kad mēs metīsim monētu, rezultāts būs galva vai aste, bet mēs nevaram iegūt abus vienlaikus.

Notikumi varbūtības formulā

Varbūtības teorijā notikums atspoguļo iespējamo rezultātu kopumu, kas iegūts no eksperimenta. Tas bieži veido kopējās izlases telpas apakškopu. Ja mēs attēlojam notikuma E varbūtību kā P(E), tiek piemēroti šādi principi:

Ja notikums E nav iespējams, tad P(E) = 0.

Ja notikums E ir skaidrs, tad P(E) = 1.

Varbūtība P(E) ir no 0 līdz 1.

Apsveriet divus notikumus A un B. Notikuma A varbūtība, kas apzīmēta kā P(A), kas ir lielāka par notikuma B varbūtību P(B).

Konkrētam notikumam E varbūtības formula būs šāda:

P(E)= n(E)/n(S)

Šeit n (E) apzīmē notikumam E labvēlīgo iznākumu skaitu.

n(S) apzīmē kopējo rezultātu skaitu izlases telpā.

Dažādas varbūtības formulas

Tālāk ir apskatītas dažādas varbūtības formulas:

Klasiskā varbūtības formula

P(A) = labvēlīgo rezultātu skaits/iespējamo rezultātu kopējais skaits

Papildinājuma noteikumu formula

Kad mēs runājam ar notikumu, kas ir divu atsevišķu notikumu, piemēram, A un B, savienojums, savienojuma varbūtība būs:

P(A vai B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Apvienotās varbūtības formula

Tas attēlo kopīgos elementus, kas veido gan notikumu A, gan B atšķirīgās apakškopas. Formulu var izteikt šādi:

P (A ∩ B) = P (A). P (B)

Papildinājuma noteikums savstarpēji izslēdzošiem pasākumiem

Ja notikumi A un B ir viens otru izslēdzoši, tas nozīmē, ka tie nevar notikt vienlaikus, katra notikuma iestāšanās varbūtība ir vienāda ar to attiecīgo varbūtību summu.

P(A vai B)=P(A)+P(B)

Papildu noteikumu formula

Ja A ir notikums, tad varbūtību, ka A nav, izsaka ar komplementāru noteikumu:

P(nevis A) = 1 – P(A) vai P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Dažas uz tām balstītas varbūtības formulas ir šādas:

P(A.A') = 0

P(A.B) + P (A’.B') = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB') + P(A'B) + P(A.B)

Nosacījuma noteikumu formula

Gadījumā, ja notikuma A iestāšanās jau ir zināma, notikuma B varbūtība notiks, ko dēvē par nosacīto varbūtību. To var aprēķināt, izmantojot formulu:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): notikuma B varbūtība (nosacīta), kad ir noticis notikums A.

P (A/B): notikuma A varbūtība (nosacīta), kad ir noticis notikums B.

Relatīvās frekvences formula

Relatīvās frekvences formulas pamatā ir reālās pasaules datos novērotās frekvences. Šī formula ir dota kā

P(A) = notikuma A reižu skaits/kopējais izmēģinājumu vai novērojumu skaits

Varbūtības formula ar reizināšanas likumu

Situācijās, kad notikums atspoguļo divu citu notikumu vienlaicīgu iestāšanos, kas apzīmēti kā notikumi A un B, abu notikumu iespējamību, ka notiks vienlaicīgi, var aprēķināt, izmantojot šīs formulas:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (neatkarīgu notikumu gadījumā)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (atkarīgu notikumu gadījumā)

Neviens notikums

Nesaistīti notikumi ir notikumi, kas nekad nenotiek vienlaikus. Tos sauc arī par savstarpēji izslēdzošiem notikumiem.

P(A∩B) = 0

Beijesa teorēma

Beije teorēma aprēķina notikuma A varbūtību, ņemot vērā notikuma B iestāšanos. Beije teorēmas formula ir dota kā

P(A∣B)= P(B∣A) × P(A)/ P(B)

mācīties, Beijesa teorēma

Atkarīgā varbūtības formula

Atkarīgā varbūtība ir notikumi, kurus ietekmē citu notikumu rašanās. Atkarīgās varbūtības formula ir:

P(B un A) = P(A) × P(B | A)

Neatkarīga varbūtības formula

Neatkarīgā varbūtība ir notikumi, kurus neietekmē citu notikumu rašanās. Neatkarīgās varbūtības formula ir:

P(A un B) = P(A) × P(B)

Binominālās varbūtības formula

Binomiālās varbūtības formula ir dota kā

P(x) = ⁿ C _x · lpp ^x (1–p) ^n-x vai P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^r (1–p) ^n−r

Kur, n = kopējais notikumu skaits

r vai x = kopējais veiksmīgo notikumu skaits.

p = veiksmes varbūtība vienā izmēģinājumā.

ⁿC_r= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = atteices varbūtība.

mācīties, Binomiālais sadalījums

Normālās varbūtības formula

Normālās varbūtības formulu nosaka:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

mācīties, Normāls sadalījums

Eksperimentālā varbūtības formula

Eksperimentālās varbūtības formula ir;

Varbūtība P(x) = notikuma reižu skaits / kopējais izmēģinājumu skaits.

Teorētiskā varbūtības formula

Teorētiskā varbūtības formula ir,

P(x) = Labvēlīgo iznākumu skaits/ Iespējamo iznākumu skaits.

Standartnovirzes varbūtības formula

Standarta novirzes varbūtības formula ir dota kā

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Bernulli varbūtības formula

Nejaušam lielumam X būs Bernulli sadalījums ar varbūtību p, formula ir,

P(X = x) = p ^x (1–p) ^1-x , ja x = 0, 1 un P(X = x) = 0 citām x vērtībām

Šeit 0 ir neveiksme un 1 ir veiksme.

mācīties, Bernulli izplatība

Varbūtības formulas 10. klase

10. klasē mums ir jāizpēta pamata varbūtība, piemēram, varbūtība izmest monētu, iemest 2 monētas, iemest 3 monētas, iemest kauli, izmest divus kauliņus, varbūtība izvilkt kārti no labi sajaukta klāja. Visus šos jautājumus var atrisināt tikai ar vienu formulu. Varbūtības formulas 10. klase ir dota kā

P(E) = n(E)/n(s)

kur,

P(E) ir notikuma varbūtība

n(E) ir izmēģinājumu skaits, kuros notika notikums

n(S) ir parauga vietas skaits

Varbūtības formula 12. klasei

Dažādās 12. varbūtības klasē izmantotās formulas ir parādītas tabulā zemāk:

Tāpat pārbaudiet

• Monētas mešanas varbūtība
• Kartes varbūtība
• Statistikas formulas

Varbūtības formulas piemēri

1. piemērs: pēc nejaušības principa izvēlieties kārti no standarta klāja. Kāda ir iespējamība uzzīmēt kartīti ar sievišķīgu seju?

Risinājums:

Standarta klājā, kurā ir 52 kārtis: kopējais iespējamais rezultāts = 52

Labvēlīgo notikumu skaits (ņemot vērā tikai karalienes kā sievišķīgas sejas) = ​​4

Tāpēc varbūtību P(A) aprēķina, izmantojot formulu:

P(A) = labvēlīgo rezultātu skaits ÷ kopējais rezultātu skaits

= 4/52

= 1/13.

2. piemērs: Ja notikuma E varbūtība, kas apzīmēta kā P(E)=0,35, kāda ir komplementa notikuma ‘ne E’ varbūtība?

Risinājums:

Ņemot vērā, ka P(E)=0,35, mēs varam izmantot papildu varbūtības formulu:

P(E) + P(nevis E) = 1

Zināmās vērtības aizstāšana:

P(nevis E) = 1 – P(E)

P(nevis E) = 1 – 0,35

Tādējādi P(nevis E) = 0,65

3. piemērs. Bīstami ugunsgrēki ir ļoti reti sastopami apmēram 1%, bet dūmi ir diezgan izplatīti apmēram 20% grila dēļ. Atrodiet bīstamo uguni, kad 80% bīstamo ugunsgrēku rada dūmus.

Risinājums:

Bīstama ugunsgrēka iespējamība dūmu gadījumā, izmantojot Beijesa teorēmu:

P(uguns|dūmi) = {P(uguns)P(dūmu uguns)}/P(dūmi)

P(Fire)=0,01(1%) un P(Smoke|Fire)= 0,80 (80%), mēs varam aizstāt šīs vērtības:

P (uguns | dūmi) = ( 0,02 × 0,90)/ 0,30

(Ugunsgrēks | Dūmi)=0,018/0,30

(Ugunsgrēks | Dūmi) = 0,06 = 6%.

4. piemērs: maisiņā ir 2 zaļas spuldzes, 4 oranžas spuldzes un 6 baltas spuldzes. Ja no maisa nejauši tiek izvēlēta spuldze, kāda ir varbūtība, ka tiks izvēlēta zaļa vai balta spuldze?

Risinājums:

Kopējais spuldžu skaits maisiņā ir 2 zaļas + 4 oranžas + 6 baltas = 12 spuldzes

Zaļo spuldžu skaits = 2 un balto spuldžu skaits = 6

Varbūtība = (zaļo spuldžu skaits + balto spuldžu skaits) / kopējais spuldžu skaits

Varbūtība = (2+6)/12

Varbūtība = 8/12

Varbūtība = 2/3.

Praktizējiet jautājumus par varbūtības formulu

Q1. No bumbiņu kolekcijas maisā — 8 sarkanas, 9 zilas un 6 zaļas — nejauši tiek atlasītas divas bumbiņas, neaizstājot. Kāda ir varbūtība, ka abas atlasītās bumbiņas ir zilas?

Q2. Atvilktnē, kurā ir 6 melnas pildspalvas, 4 zilas pildspalvas un 7 sarkanas pildspalvas, pēc nejaušības principa tiek izvilkta pildspalva. Kāda ir varbūtība, ka pildspalva ir melna vai zila?

Q3. Izvelkot vienu kārti no rūpīgi sajaukta 52 kāršu klāja, nosakiet varbūtību, ka kārts:

• Esi karalis.
• Neesiet par karali.

Q4. Saskaņā ar aptauju 70% cilvēku garšo šokolāde, un no šokolādes entuziastiem 60% patīk arī vaniļa. Kāda ir varbūtība, ka indivīdam garšo vaniļa, ņemot vērā viņu šokolādi?

Q5. Nosakiet nepāra skaitļa ripināšanas varbūtību, metot sešpusēju kauliņu.

Varbūtības formula — FAQ

1. Kas ir varbūtības nozīme?

Nejauša notikuma iestāšanās iespējamību nosaka varbūtība. Varbūtība ir paredzēšanas iespēja.

2. Kāda ir varbūtības formulas nozīme?

Varbūtību formulas tiek izmantotas, lai noteiktu notikuma iespējas, dalot labvēlīgo iznākumu skaitu ar kopējo iespējamo iznākumu skaitu. Varbūtības vērtība ir diapazonā no 0 līdz 1, kas nozīmē, ka labvēlīgi rezultāti nevar pārsniegt kopējos rezultātus, un labvēlīgo iznākumu negatīvā vērtība nav iespējama.

3. Ko nozīmē apzīmējums U un ∩ vidējais varbūtībā?

Simbols U varbūtībā apzīmē vienmērīgu sadalījumu. No otras puses, simbols ∩ apzīmē kopu krustpunktu. Vienkāršāk sakot, divu kopu krustpunkts ir visplašākā kopa, kas ietver visus elementus, kas ir kopīgi abām kopām.

4. Kāda ir nosacītā formula varbūtības aprēķināšanai?

Notikuma varbūtība = (labvēlīgo iznākumu skaits) / (kopējais notikuma iespējamo iznākumu skaits)

P(A) = n(E)/n(S)

P(A) <1

Šeit P(A) apzīmē notikuma A varbūtību, kur n(E) ir labvēlīgo iznākumu skaits un n(S) ir notikuma iespējamo iznākumu kopējais skaits.

5. Kas ir komplementārā formula?

Ja A ir notikums, tad varbūtību, ka A nav, izsaka ar komplementāru noteikumu:

P(nevis A) = 1 – P(A) vai P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Kas ir nesavienots notikums?

Nesaistīti notikumi ir notikumi, kas nekad nenotiek vienlaicīgi. Tos sauc arī par savstarpēji izslēdzošiem notikumiem.

P(A∩B) = 0.

7. Kas ir Beijesa teorēma?

P(A∣B)= P(B∣A) × P(A)/ P(B)

Bayes teorēma aprēķina notikuma A varbūtību, ņemot vērā notikuma B iestāšanos.

8. Kas ir nosacītā formula?

Gadījumā, ja notikuma A iestāšanās jau ir zināma, notikuma B varbūtība notiks, ko dēvē par nosacīto varbūtību. To var aprēķināt, izmantojot formulu:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): notikuma B varbūtība (nosacīta), kad ir noticis notikums A.

P (A/B): notikuma A varbūtība (nosacīta), kad ir noticis notikums B.

9. Kādi ir daži varbūtības piemēri dzīvē?

Laikapstākļu prognozēšana, kāršu spēles, politiskā balsošana, kauliņu spēles un monētas mešana utt. ir daži varbūtības piemēri.