Beijesa teorēma tiek izmantots, lai noteiktu notikuma nosacīto varbūtību. Tas tika nosaukts angļu statistiķa vārdā, Tomass Bejs kurš atklāja šo formulu 1763. gadā. Bayes teorēma ir ļoti svarīga matemātikas teorēma, kas lika pamatu unikālai statistisko secinājumu pieejai, ko sauc par Beijesa secinājums. To izmanto, lai noteiktu notikuma iespējamību, pamatojoties uz iepriekšējām zināšanām par apstākļiem, kas varētu būt saistīti ar šo notikumu.

Piemēram, ja mēs vēlamies atrast varbūtību, ka nejauši uzzīmēts baltais marmors nāk no pirmā maisa, ņemot vērā, ka baltais marmors jau ir uzzīmēts, un ir trīs maisiņi, katrā ir daži balti un melni bumbiņas, tad mēs varam izmantot Bayes teorēmu.

Šajā rakstā ir apskatīta Beijesa teorēma, tostarp tās apgalvojums, pierādījums, atvasinājums un teorēmas formula, kā arī tās pielietojumi ar dažādiem piemēriem.

lasīt no csv java

Kas ir Beijesa teorēma?

Bayes teorēma (pazīstama arī kā Beijesa likums vai Beijes likums) tiek izmantota, lai noteiktu notikuma A nosacīto varbūtību, kad notikums B jau ir noticis.

Beijesa teorēmas vispārīgais apgalvojums ir Notikuma A nosacītā varbūtība, ņemot vērā cita notikuma B iestāšanos, ir vienāda ar notikuma B reizinājumu, ņemot vērā A un A varbūtību, kas dalīta ar notikuma B varbūtību. t.i.

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)

kur,

• P(A) un P(B) ir notikumu A un B varbūtības
• P(A|B) ir notikuma A varbūtība, kad notiek notikums B
• P(B|A) ir notikuma B varbūtība, kad notiek A

Pārbaudiet: Beiisa teorēma nosacītajai varbūtībai

Bayes teorēmas paziņojums

Bayes teorēma n notikumu kopai ir definēta kā

Ļaujiet E₁, UN₂,…, UN_nir notikumu kopa, kas saistīta ar paraugtelpu S, kurā visi notikumi E₁, UN₂,…, UN_nkuru rašanās varbūtība nav nulle. Visi notikumi E₁, UN₂,…, E veido S nodalījumu. Lai A ir notikums no telpas S, kuram jāatrod varbūtība, tad saskaņā ar Beijesa teorēmu,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

ja k = 1, 2, 3, …., n

Bayes teorēmas formula

Jebkuriem diviem notikumiem A un B Beijesa teorēmas formulu nosaka: (tālāk redzamajā attēlā ir norādīta Beijesa teorēmas formula)

Bayes teorēmas formula

kur,

• P(A) un P(B) ir notikumu A un B varbūtības, arī P(B) nekad nav vienāds ar nulli.
• P(A|B) ir notikuma A varbūtība, kad notiek notikums B
• P(B|A) ir notikuma B varbūtība, kad notiek A

Bayes teorēmas atvasināšana

Beijesa teorēmas pierādījums ir sniegts kā saskaņā ar nosacītās varbūtības formulu,

P(E _i |A) = P(E _i ∩A)/P(A)…..(i)

Tad, izmantojot varbūtības reizināšanas likumu, mēs iegūstam

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Tagad, izmantojot kopējās varbūtības teorēmu,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

P(E) vērtības aizstāšana_i∩A) un P(A) no vienādojumu (ii) un vienādojumu (iii) vienādībā (i) iegūstam,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Bayes teorēma ir pazīstama arī kā formula cēloņu varbūtība . Kā mēs zinām, E _i 's ir paraugtelpas S nodalījums un jebkurā brīdī tikai viens no notikumiem E _i rodas. Tādējādi mēs secinām, ka Beijesa teorēmas formula dod konkrēta E varbūtību_i, ņemot vērā notikumu A.

Ar Beijesa teorēmu saistītie termini

Pēc detalizētas iepazīšanās ar Bayes teorēmu, sapratīsim dažus svarīgus terminus, kas saistīti ar jēdzieniem, kurus aptvērām formulā un atvasināšanā.

• Hipotēzes: Notikumi, kas notiek izlases telpā UN ₁ , UN ₂ ,… UN _n sauc par hipotēzēm

• Iepriekšējā varbūtība: Priori Probability ir sākotnējā varbūtība, ka notikums notiks, pirms tiek ņemti vērā jauni dati. P(E_i) ir E hipotēzes priori varbūtība_i.

• Aizmugurējā varbūtība: Posterior Probability ir atjaunināta notikuma varbūtība pēc jaunas informācijas apsvēršanas. Varbūtība P(E_i|A) tiek uzskatīta par hipotēzes E aizmugurējo varbūtību_i.

Nosacītā varbūtība

• Notikuma A varbūtība, kas balstīta uz cita notikuma B iestāšanos, tiek apzīmēta nosacītā varbūtība .
• Tas ir apzīmēts kā P(A|B) un attēlo A varbūtību, kad notikums B jau ir noticis.

Locītavu varbūtība

Ja tiek mērīta varbūtība, ka vēl divi notikumi notiks kopā un vienlaikus, tas tiek atzīmēts kā kopīga varbūtība. Diviem notikumiem A un B to apzīmē ar kopīgu varbūtību apzīmē kā, P(A∩B).

Nejauši mainīgie

Reālās vērtības mainīgos, kuru iespējamās vērtības nosaka nejauši eksperimenti, sauc par nejaušiem mainīgajiem. Šādu mainīgo lielumu atrašanas varbūtība ir eksperimentālā varbūtība.

Beijesa teorēmu pielietojumi

Beijesa secinājums ir ļoti svarīgs un ir atradis pielietojumu dažādās aktivitātēs, tostarp medicīnā, zinātnē, filozofijā, inženierzinātnēs, sportā, tiesībās utt., un Beijesa secinājums ir tieši atvasināts no Beijesa teorēmas.

Piemērs: Beijesa teorēma nosaka medicīniskās pārbaudes precizitāti, ņemot vērā, cik liela ir iespējamība, ka personai ir slimība, un kāda ir testa vispārējā precizitāte.

Atšķirība starp nosacīto varbūtību un Beijesa teorēmu

Atšķirību starp nosacīto varbūtību un Bayes teorēmu var saprast, izmantojot tālāk sniegto tabulu,

Kopējās varbūtības teorēma

Ļaujiet E₁, UN₂, . . ., UN_nir savstarpēji izslēdzoši un izsmeļoši notikumi, kas saistīti ar nejaušu eksperimentu, un ļauj E ir notikums, kas notiek ar kādu E_i. Tad pierādiet to

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 URINĒT _i ) . P(E _j )

Pierādījums:

Ļaujiet S ir parauga telpa. Tad

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Viens un E_i∩ E_j= ∅ ja i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Tāpēc (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} ir sadalīti pa pāriem}

⇒ P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + . . . + P(E/E_n) . P(E_n) [pēc reizināšanas teorēmas]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1URINĒT_i) . P(E_i)

Raksti, kas saistīti ar Beijesa teorēmu

• Varbūtību sadalījums
• Bayes teorēma nosacītajai varbūtībai
• Permutācijas un kombinācijas
• Binomiālā teorēma

Secinājums – Beijesa teorēma

Bayes teorēma piedāvā spēcīgu sistēmu hipotēzes varbūtības atjaunināšanai, pamatojoties uz jauniem pierādījumiem vai informāciju. Iekļaujot iepriekšējās zināšanas un atjauninot tās ar novērotajiem datiem, Bayes teorēma ļauj pieņemt precīzākus un informētākus lēmumus dažādās jomās, tostarp statistikā, mašīnmācībā, medicīnā un finansēs. Tās lietojumprogrammas aptver no medicīniskās diagnostikas un riska novērtēšanas līdz surogātpasta filtrēšanai un dabiskās valodas apstrādei.

Beijesa teorēmas izpratne un piemērošana ļauj mums veikt labākas prognozes, novērtēt nenoteiktību un gūt jēgpilnu ieskatu no datiem, galu galā uzlabojot mūsu spēju pieņemt pārdomātus lēmumus sarežģītās un nenoteiktās situācijās.

Pārbaudiet arī:

kā izveidot masīvu java

• Bayes teorēma datu ieguvē
• Bayes teorēma mākslīgajā intelektā
• Bayes teorēma mašīnmācībā

Bayes teorēmas piemēri

1. piemērs: Cilvēks ir uzņēmies darbu. Iespējamība, ka darbs tiks pabeigts laikā ar lietu un bez lietus, ir attiecīgi 0,44 un 0,95. Ja iespējamība, ka līs, ir 0,45, tad nosakiet varbūtību, ka darbs tiks pabeigts laikā.

Risinājums:

Ļaujiet E₁būt gadījumā, ja ieguves darbs tiks pabeigts laikā, un E₂būt gadījumā, ja līst lietus. Mums ir,

P(A) = 0,45,

P (bez lietus) = P (B) = 1 - P (A) = 1 - 0,45 = 0,55

Izmantojot varbūtības reizināšanas likumu,

P(E₁) = 0,44 un P(E₂) = 0,95

Tā kā notikumi A un B veido izlases telpas S nodalījumus, pēc kopējās varbūtības teorēmas mums ir

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Tātad varbūtība, ka darbs tiks pabeigts laikā, ir 0,7205

2. piemērs: Ir trīs urnas, kurās ir 3 baltas un 2 melnas bumbiņas; 2 baltas un 3 melnas bumbiņas; Attiecīgi 1 melna un 4 baltas bumbiņas. Pastāv vienāda varbūtība, ka tiks izvēlēta katra urna. Viena bumbiņa ir vienāda ar nejauši izvēlētu varbūtību. kāda ir iespējamība, ka tiks izvilkta balta bumbiņa?

Risinājums:

Ļaujiet E₁, UN₂, un E₃būt notikumi, izvēloties attiecīgi pirmo, otro un trešo urnu. Tad

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Lai E ir notikums, kad tiek izvilkta balta bumbiņa. Tad

URINĒT₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Pēc kopējās varbūtības teorēmas mums ir

P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + P(E/E₃) . P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

3. piemērs: Karte no 52 kāršu pakas ir pazaudēta. No atlikušajām iepakojuma kārtīm tiek izvilktas divas kārtis, un tiek konstatēts, ka abas ir sirdis. atrodiet varbūtību, ka pazaudētā karte ir sirds.

Risinājums:

Ļaujiet E₁, UN₂, UN_3,un E₄var būt gadījumi, kad tiek zaudēta attiecīgi siržu, nūju, pīķu un dimantu kārtis.

Tad P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Ļaujiet E apzīmēt 2 sirdis no atlikušās 51 kārtis. Tad

P(E|E₁) = varbūtība uzzīmēt 2 sirdis, ņemot vērā, ka trūkst sirsniņu kartītes

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = 2 nūju izvilkšanas iespējamība, ņemot vērā, ka trūkst nūju kartes

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = 2 pīķa izvilkšanas varbūtība, ņemot vērā, ka trūkst sirsniņu kārts

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = iespēja novilkt 2 dimantus, ņemot vērā, ka trūkst dimantu kartes

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Tāpēc

P(E₁|E) = varbūtība, ka pazaudēta kārts ir sirds, ņemot vērā, ka 2 sirdis tiek izvilktas no atlikušās 51 kārtis

java pārvērst int par virkni

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁)+P(E₂). P(E|E₂)+P(E₃). P(E|E₃)+P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Tādējādi nepieciešamā varbūtība ir 0,22.

4. piemērs: Pieņemsim, ka 15 vīrieši no 300 vīriešiem un 25 sievietes no 1000 ir labi oratori. Orators tiek izvēlēts nejauši. Atrodiet varbūtību, ka tiks izvēlēts vīrietis. Pieņemsim, ka ir vienāds vīriešu un sieviešu skaits.

Risinājums:

Gievn,

• Kopā vīrieši = 300
• Kopā sievietes = 1000
• Labi oratori vīriešu vidū = 15
• Labi oratori sieviešu vidū = 25

Kopējais labo oratoru skaits = 15 (no vīriešiem) + 25 (no sievietēm) = 40

Varbūtība, ka tiks izvēlēts vīrietis orators:

P (Vīriešu orators) = vīriešu oratoru skaits / kopējais oratoru skaits = 15/40

5. piemērs. Ir zināms, ka vīrietis runā melus 1 no 4 reizēm. Viņš met kauliņu un ziņo, ka tas ir sešnieks. Atrodiet varbūtību, kas faktiski ir sešinieks.

Risinājums:

Iemetot kauliņu, ļaujiet

UN₁= sešnieka iegūšanas notikums,

reģistra atmiņa

UN₂= notikums, ka nesaņem seši un

E = notikums, kad vīrietis ziņo, ka tas ir sešinieks.

Pēc tam P (E₁) = 1/6 un P(E₂) = (1–1/6) = 5/6

P(E|E₁) = varbūtība, ka vīrietis ziņo, ka seši notiek, kad faktiski ir notikuši seši

⇒ P(E|E₁) = varbūtība, ka vīrietis runā patiesību

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = varbūtība, ka vīrietis ziņo, ka seši notiek, kad seši faktiski nav notikuši

⇒ P(E|E₂) = varbūtība, ka vīrietis nerunā patiesību

⇒ P(E|E₂) = (1–3/4) = 1/4

Varbūtība iegūt sešinieku, ņemot vērā, ka vīrietis ziņo, ka tas ir seši

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [pēc Beijesa teorēmas]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Tādējādi nepieciešamā varbūtība ir 3/8.

Bieži uzdotie jautājumi par Beijesa teorēmu

Kas ir Beijesa teorēma?

Bayes, teorēma, kā norāda nosaukums, ir matemātiska teorēma, ko izmanto, lai atrastu notikuma nosacītības varbūtību. Nosacītā varbūtība ir notikuma iespējamība, kas notiks nākotnē. To aprēķina, pamatojoties uz iepriekšējiem notikumu rezultātiem.

Kad tiek izmantota Beijesa teorēma?

Bayes teorēmai ir plašs lietojumu klāsts, jo īpaši jomās, kas nodarbojas ar varbūtību atjaunināšanu, pamatojoties uz jauniem datiem. Bayes noteikums ļauj aprēķināt posterior (vai atjaunināta) varbūtība. To izmanto, lai aprēķinātu notikumu nosacīto varbūtību.

Kādi ir daži galvenie termini, lai saprastu Beijesa teorēmu?

Daži no galvenajiem terminiem ir:

• Iepriekšējā varbūtība (P(A))
• Aizmugurējā varbūtība (P(A | B))
• Varbūtība (P(B | A))
• Marginālā varbūtība (P(B))

Kad lietot Bayes teorēmu?

Bayes teorēma ir piemērojama, ja ir dota notikuma nosacītā varbūtība, to izmanto, lai atrastu notikuma apgriezto varbūtību.

Kā Beijesa teorēma atšķiras no nosacītās varbūtības?

Bayes teorēma tiek izmantota, lai definētu notikuma iespējamību, pamatojoties uz iepriekšējiem notikuma nosacījumiem. Savukārt Bayes teorēma izmanto nosacīto varbūtību, lai atrastu notikuma apgriezto varbūtību.

Kāda ir Beijesa teorēmas formula?

Bayes teorēmas formula ir izskaidrota zemāk,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)]/P(B)