Vietējā Maxima un Minima attiecas uz funkciju punktiem, kas nosaka šīs funkcijas augstāko un zemāko diapazonu. Funkcijas atvasinājumu var izmantot lokālo maksimumu un lokālo minimumu aprēķināšanai. Vietējos maksimumus un minimumus var atrast, izmantojot gan pirmo atvasinājuma testu, gan otro atvasinājuma testu.

Šajā rakstā mēs apspriedīsim vietējo Maxima un Minima ievadu, definīciju un svarīgu terminoloģiju un to nozīmi. Mēs arī sapratīsim dažādas metodes, kā aprēķināt Vietējo Maximu un Minimumu matemātikā un aprēķins . Tāpat risināsim dažādus piemērus un sniegsim prakses jautājumus, lai labāk izprastu šī raksta jēdzienu.

Satura rādītājs

• Kas ir Local Maxima un Local Minima?
• Vietējo Maxima un Vietējā minimuma definīcija
• Noteikumi, kas saistīti ar Local Maxima un Local Minima
• Kā atrast vietējo Maxima un Minima?
• Piemēri vietnēs Local Maxima un Local Minima

Kas ir Local Maxima un Local Minima?

Vietējie maksimumi un minimumi tiek apzīmēti kā maksimālās un minimālās vērtības noteiktā intervālā. Vietējais maksimums rodas, ja a vērtības funkciju tuvu noteiktam punktam vienmēr ir zemākas par funkcijas vērtībām tajā pašā punktā. Vietējo minimumu gadījumā funkcijas vērtības konkrēta punkta tuvumā vienmēr ir lielākas par funkcijas vērtībām tajā pašā punktā.

Vienkāršā nozīmē punktu sauc par lokālo maksimumu, kad funkcija sasniedz savu augstāko vērtību noteiktā intervālā, un punktu sauc par lokālo minimumu, kad funkcija sasniedz zemāko vērtību noteiktā intervālā.

Piemēram, ja dodaties uz kalnainu apvidu un stāvat kalna virsotnē, šis punkts tiek saukts par Local Maxima punktu, jo atrodaties visaugstākajā vietā savā apkārtnē. Līdzīgi, ja jūs stāvat upes vai jūras zemākajā punktā, šo punktu sauc par Local Minima punktu, jo atrodaties zemākajā vietā savā apkārtnē.

Vietējo Maxima un Local Minima definīcija

Vietējais Maxima un Minimums ir jebkuras funkcijas sākotnējās vērtības, lai iegūtu priekšstatu par tās robežām, piemēram, augstāko un zemāko izvades vērtību. Local Minima un Local Maxima tiek sauktas arī par Local Extrema.

Vietējā Maxima

Vietējais Maxima punkts ir jebkuras funkcijas punkts, kurā funkcija sasniedz maksimālo vērtību noteiktā intervālā. Funkcijas f (a) punktu (x = a) sauc par lokālo maksimumu, ja f(a) vērtība ir lielāka vai vienāda ar visām f(x) vērtībām.

java darīt, kamēr

Matemātiski f (a) ≥ f (a -h) un f (a) ≥ f (a + h), kur h> 0, tad a sauc par lokālo maksimālo punktu.

Vietējie minimumi

Vietējais minimums ir punkts jebkurā funkcijā, kurā funkcija sasniedz savu minimālo vērtību noteiktā intervālā. Funkcijas f (a) punktu (x = a) sauc par lokālo minimumu, ja f(a) vērtība ir mazāka vai vienāda ar visām f(x) vērtībām.

Matemātiski f (a) ≤ f (a -h) un f (a) ≤ f (a + h), kur h> 0, tad a sauc par lokālo minimumu.

Noteikumi, kas saistīti ar Local Maxima un Local Minima

Tālāk ir apskatīta svarīga terminoloģija, kas saistīta ar Local Maxima un Minima:

Maksimālā vērtība

Ja kāda funkcija dod maksimālo izvades vērtību x ievades vērtībai. Šo x vērtību sauc par maksimālo vērtību. Ja tas ir definēts noteiktā diapazonā. Tad tas punkts tiek saukts Vietējā Maxima .

Absolūtais maksimums

Ja kāda funkcija dod maksimālo izejas vērtību x ievades vērtībai visā funkcijas diapazonā. Šo x vērtību sauc par absolūto maksimumu.

Minimālā vērtība

Ja kāda funkcija dod minimālo izvades vērtību x ievades vērtībai. Šo x vērtību sauc par minimālo vērtību. Ja tas ir definēts noteiktā diapazonā. Tad tas punkts tiek saukts Vietējie minimumi .

Absolūtais minimums

Ja kāda funkcija dod minimālo izvades vērtību x ievades vērtībai visā funkcijas diapazonā. Šo x vērtību sauc par absolūto minimumu.

Inversijas punkts

Ja x vērtība noteiktās funkcijas diapazonā neuzrāda augstāko un zemāko izvadi, to sauc par inversijas punktu.

Uzzināt vairāk, Absolūtā Maxima un Minima

Kā atrast vietējo Maxima un Minima?

Vietējie Maxima un Minimumi tiek noteikti tikai noteiktam diapazonam, tas nav maksimums un minimums visai funkcijai un neattiecas uz visu funkcijas diapazonu.

Vietējo maksimumu un minimumu aprēķināšanai ir šāda pieeja. Šie ir:

• Pirmajā solī mēs ņemam funkcijas atvasinājumu.

• Otrajā solī mēs iestatām atvasinājumu vienādu ar nulli un aprēķinām c kritiskos punktus.

• Trešajā solī mēs izmantojam Pirmais atvasinājums un Otrais atvasinājuma tests noteikt Vietējo Maximu un Vietējo minimumu.

Kas ir pirmais atvasinājumu tests?

Pirmkārt, mēs ņemam funkcijas Pirmo atvasinājumu, kas dod funkcijas slīpumu. Tuvojoties maksimālajam punktam, funkcijas slīpums palielinās, pēc tam maksimālajā punktā kļūst par nulli un pēc tam samazinās, attālinoties no tā.

Līdzīgi minimālajā punktā, tuvojoties minimālajam punktam, līknes slīpums samazinās, tad kļūst par nulli minimālajā punktā un pēc tam palielinās, kad mēs attālināmies no šī punkta.

Ņemsim funkciju f(x), kas ir nepārtraukta kritiskajā punktā c atklātā intervālā I un f'(c) = 0, nozīmē slīpumu kritiskajā punktā c = 0.

Lai pārbaudītu f'(x) raksturu ap kritisko punktu c, mums ir šādi nosacījumi, lai noteiktu vietējā maksimuma un minimuma vērtību no pirmā atvasinājuma testa. Šie nosacījumi ir:

• Ja f ′(x) maina zīmi no pozitīvas uz negatīvu, kad x palielinās caur c, tad f(c) parāda šīs funkcijas lielāko vērtību dotajā diapazonā. Tādējādi punkts c ir Lokālais Maxima punkts, ja pirmais atvasinājums f ‘(x)> 0 jebkurā punktā ir pietiekami tuvu pa kreisi no c un f ‘(x) <0 jebkurā punktā pietiekami tuvu pa labi no c.

• Ja f ′(x) maina zīmi no negatīvas uz pozitīvu, kad x palielinās caur c, tad f(c) parāda šīs funkcijas zemāko vērtību dotajā diapazonā. Tādējādi punkts c ir lokālais minimums, ja pirmais atvasinājums f ‘(x) 0 jebkurā punktā ir pietiekami tuvu pa labi no c.

• Ja f'(x) būtiski nemaina zīmi, x pieaugot caur c, tad punkts c neuzrāda funkcijas augstāko (Local Maxima) un zemāko (Local Minima) vērtību. Šādā gadījumā punkts c ir sauc par lēciena punktu.

Lasiet vairāk par Pirmais atvasinājumu tests .

Kas ir otrais atvasinājumu tests?

Otrais atvasinājuma tests tiek izmantots, lai noteiktu jebkuras funkcijas absolūtā maksimuma un absolūtā minimuma vērtību noteiktā intervālā. Ņemsim funkciju f(x), kas ir nepārtraukta kritiskajā punktā c atklātā intervālā I un f'(c) = 0, nozīmē slīpumu kritiskā punktā c = 0. Šeit mēs ņemam otro atvasinājumu f (x) funkcijai f(x), kas dod funkcijas slīpumu.

Lai pārbaudītu f'(x) raksturu, mums ir šādi nosacījumi, lai noteiktu vietējā maksimuma un minimuma vērtību no otrā atvasinājuma testa. Šie nosacījumi ir:

• Punkts c ir Local Maxima punkts, ja pirmais atvasinājums f'(c) = 0 un otrais atvasinājums f(c) <0. Punkts pie x= c būs Local Maxima un f(c) būs f(x) vietējā maksimālā vērtība.

• Punkts c ir lokālais minimums, ja pirmais atvasinājums f'(c) = 0 un f(c) otrais atvasinājums> 0. Punkts x= c būs lokālais minimums un f(c) būs vietējais minimums. Lokālā minimālā vērtība f(x).

• Pārbaude neizdodas, ja pirmais atvasinājums f'(c) = 0 un otrais atvasinājums f(c) = 0, tad punkts c neuzrāda funkcijas augstāko (Local Maxima) un zemāko (Local Minima) vērtību. , Šādā gadījumā punktu c sauc par lēciena punktu, bet punktu x = c sauc par Līkuma punkts.

Tāpat pārbaudiet

• Atvasinājumu pielietošana
• Radiniece Maxima un Minima
• Diferenciācijas un integrācijas formula

Piemēri vietnēs Local Maxima un Local Minima

1. piemērs. Analizējiet funkcijas f(x) = 2x lokālo maksimumu un lokālo minimumu ³ - 3x ² – 12x + 5, izmantojot pirmo atvasinājuma testu.

Risinājums:

Dotā funkcija ir f(x) = 2x³- 3x²– 12x + 5

Funkcijas pirmais atvasinājums ir f'(x) = 6x²– 6x – 12, to izmantos, lai noskaidrotu kritiskos punktus.

Lai atrastu kritisko punktu, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6 (x + 1) (x - 2) = 0

Tādējādi kritiskie punkti ir x = -1 un x = 2.

Analizējiet Pirmā atvasinājuma tūlītējo punktu līdz kritiskajam punktam x = -1. Punkti ir {-2, 0}.

f'(-2) = 6 (4 + 2 - 2) = 6 (4) = +24 un f'(0) = 6 (0 + 0 - 2) = 6 (-2) = -12

Atvasinājuma zīme ir pozitīva pa kreisi no x = -1 un negatīva pa labi. Tādējādi tas norāda, ka x = -1 ir Vietējā Maxima.

Tagad analizēsim Pirmā atvasinājuma tūlītējo punktu līdz kritiskajam punktam x = 2. Punkti ir {1,3}.

f'(1) = 6(1-1-2) = 6(-2) = -12 un f'(3) = 6(9 + -3 - 2) = 6(4) = +24

gimp eksportēt kā jpg

Atvasinājuma zīme ir negatīva pa kreisi no x = 2, un pozitīva ir pa labi. Tādējādi tas norāda, ka x = 2 ir lokālais minimums.

Tāpēc Vietējā Maxima ir -1, bet Vietējā minimuma ir 2.

2. piemērs. Analizējiet funkcijas f(x) = -x lokālo maksimumu un lokālo minimumu ³ +6x ² -12x +10, izmantojot otro atvasinājumu testu.

Risinājums:

Dotā funkcija ir f(x) = -x³+6x²-12x +10

Pirmais funkcijas atvasinājums ir f'(x) = -x³+6x²-12x +10, to izmantos, lai noskaidrotu kritiskos punktus.

Lai atrastu kritisko punktu, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1) (x – 3) = 0

Tādējādi kritiskie punkti ir x = 1 un x = 3

Tagad paņemiet funkcijas otro atvasinājumu,

f(x) = 6x – 12

Novērtē f(x) kritiskajā punktā x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

java xor

f(1) <0, un līdz ar to x = 1 atbilst Local Maxima.

Novērtē f(x) kritiskajā punktā x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, un līdz ar to x = 3 atbilst vietējiem minimumiem.

Tagad mēs aprēķināsim funkciju vērtības kritiskajos punktos:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, tāpēc lokālais maksimums ir (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, tāpēc lokālais maksimums ir (3, 1)

Praktiski jautājumi par Local Minima un Maxima

Q1. Atrodiet funkcijas f(x) = 2×3 – 3x lokālos maksimumus un lokālos minimumus²-12x +5, izmantojot otro atvasinājumu testu.

Q2. Atrodiet un analizējiet funkcijas f(x) = – x lokālos maksimumus un lokālos minimumus²+4x -5, izmantojot otro atvasinājumu testu.

Q3. Atrodiet funkcijas f(x) = x lokālo maksimumu un lokālo minimumu²-4x +5, izmantojot pirmo atvasinājuma testu.

Q4. Atrodiet un analizējiet funkcijas f(x) = 3x lokālos maksimumus un lokālos minimumus²-12x +5, izmantojot pirmo atvasinājuma testu.

Q5. Atrodiet un analizējiet funkcijas f(x) = x lokālos maksimumus un lokālos minimumus³- 6x²+9x + 15, izmantojot pirmo atvasinājuma testu.

Q6. Atrodiet un analizējiet funkcijas f(x) = 2x lokālos maksimumus un lokālos minimumus³-9x²+12x +5, izmantojot otro atvasinājumu testu.

Local Maxima un Local Minima – FAQ

Kas ir Vietējā Maxima?

Punktu sauc par Local Maxima, kad funkcija sasniedz augstāko vērtību noteiktā intervālā.

Kā atrast vietējo maksimumu?

Atšķirot funkciju un atrodot kritisko vērtību, pie kuras slīpums ir nulle, mēs varam atrast vietējo maksimumu.

Kas ir vietējais minimums?

Punktu sauc par lokālo minimumu, kad funkcija sasniedz zemāko vērtību noteiktā intervālā.

Kādas metodes var izmantot, lai aprēķinātu vietējo Maximu un Vietējo minimumu?

Pirmais atvasinājuma tests un otrais atvasinājuma tests.

Kāda ir atšķirība starp pirmo atvasinājuma testu un otro atvasinājuma testu?

Pirmais atvasinājuma tests ir aptuvenā metode lLcal maksimumu un lokālo minimumu vērtības aprēķināšanai, un otrais atvasinājuma tests ir sistemātiska un precīza metode lokālo maksimumu un lokālo minimumu vērtības aprēķināšanai.

Ko nozīmē inversijas punkts?

Ja punkta vērtība noteiktās funkcijas diapazonā neuzrāda augstāko un zemāko izvadi, šo punktu sauc par inversijas punktu.

Kāda ir Local Maxima un Local Minima izmantošana?

Lai noskaidrotu funkcijas galējo vērtību noteiktā diapazonā.