Atvasinātās formulas aprēķinos ir viens no svarīgākajiem aprēķinu rīkiem, jo ​​atvasinātās formulas tiek plaši izmantotas, lai viegli atrastu dažādu funkciju atvasinājumus, kā arī palīdzētu mums izpētīt dažādas matemātikas, inženierzinātņu u.c. jomas.

Šajā rakstā ir apskatīti visi atvasinātās formulas cieši iekļaujot vispārīgo atvasinājumu formulu, atvasinātās formulas logaritmiskajām un eksponenciālajām funkcijām, atvasinātās formulas trigonometriskām attiecībām, atvasinātās formulas apgrieztām trigonometriskām attiecībām un atvasinātās formulas hiperboliskām funkcijām. Atvasinātā formula ir svarīga 12. klases skolēniem viņu padomes eksāmenos. Mēs arī atrisināsim dažus atvasinājumu piemērus, izmantojot dažādas atvasinājumu formulas. Cieši apskatīsim atvasinātās formulas tēmu.

Satura rādītājs

• Kas ir atvasinājums?
• Kas ir atvasinātās formulas?
• Atvasinātās pamatformulas — atvasinātie noteikumi aprēķinos
• Atvasināto formulu saraksts
• Dažas citas atvasinātās formulas
• Kā atrast atvasinājumus?
• Atvasinātās formulas pielietojumi

Kas ir atvasinājums?

The atvasinājumi apzīmē funkcijas ātrumu attiecībā pret jebkuru mainīgo. Funkcijas f(x) atvasinājums tiek apzīmēts kā f'(x) vai (d/dx) [f(x)]. Atvasinājumu atrašanas procesu sauc par diferenciāciju.

Būtiskākā atvasinājuma formula ir atvasinājuma definīcija, ko definē šādi:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Ir dažādas atvasinājumu formulas, tostarp vispārīgas atvasinājumu formulas, atvasinātās formulas trigonometriskām funkcijām un atvasinātās formulas apgrieztām trigonometriskām funkcijām utt.

Lasiet sīkāk: Aprēķini matemātikā

Kas ir atvasinātās formulas?

Atvasinātās formulas ir tās matemātiskās izteiksmes, kas palīdz mums aprēķināt kādas noteiktas funkcijas atvasinājumu attiecībā uz tās neatkarīgo mainīgo. Vienkāršiem vārdiem sakot, formulas, kas palīdz atrast atvasinājumus, sauc par atvasinājumu formulām. Dažādām funkcijām ir vairākas atvasinātās formulas.

Atvasinātās formulas piemēri

Tālāk ir norādīti daži atvasinājumu formulu piemēri.

• Jaudas noteikums: Ja f(x) = xⁿ, kur n ir konstante, tad atvasinājumu iegūst ar:

f'(x) = nx ^n-1

• Pastāvīgs noteikums: Ja f(x) = c, kur c ir konstante, tad atvasinājums ir nulle:

f'(x) = 0

• Eksponenciālās funkcijas: Ja f(x) = e^x, tad:

f'(x) = e ^x

Strukturētā veidā apspriedīsim visas formulas, kas saistītas ar atvasinājumu.

Atvasinātās pamatformulas — atvasinātie noteikumi aprēķinos

Dažas no visvienkāršākajām formulām atvasinājumu atrašanai ir:

• Pastāvīgs noteikums
• Jaudas noteikums
• Summu starpības noteikums
• Produkta noteikums
• Koeficientu noteikums
• Ķēdes noteikums

Sīkāk apspriedīsim šos noteikumus:

onclick javascript

Pastāvīgs atvasinājumu noteikums

Atvasināto instrumentu pastāvīgo noteikumu nosaka:

(d/dx) konstante = 0

Atvasināto instrumentu spēka noteikums

Atvasināto instrumentu jaudas noteikumu nosaka:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Atvasināto instrumentu summas starpības noteikums

Atvasināto instrumentu summas un starpības noteikumu nosaka:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Produktu noteikums atvasinātajiem instrumentiem

Produkta noteikumu atvasinātajiem instrumentiem nosaka:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Atvasināto instrumentu koeficientu noteikums

Atvasināto instrumentu koeficienta noteikumu nosaka:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Atvasināto instrumentu ķēdes noteikums

Atvasinājuma ķēdes noteikumu nosaka:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Atvasināto formulu saraksts

Tālāk ir norādītas dažādu funkciju atvasinātās formulas:

Eksponenciālās un logaritmiskās atvasinātās formulas

Tālāk ir norādītas eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinātās formulas:

• (d/dx) e^x= un^x
• (d/dx) a^x= a^xln a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) žurnāls_ax= (1/x lna)

Lasīt vairāk,

• Logaritmi
• Eksponenciālo funkciju atvasinājums

Trigonometriskās atvasinātās formulas

Tālāk ir norādītas trigonometrisko funkciju atvasinātās formulas:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) iedegums x = sek²x
• (d/dx) gultiņa x = -cosec²x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Uzziniet vairāk par Trigonometrisko funkciju atvasinājums .

Atvasināta formula apgrieztām trigonometriskām funkcijām

Tālāk ir norādītas apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinātās formulas:

• (d/dx) bez^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) tā^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) bērnu gultiņa^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sek^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) kosek^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Lasīt vairāk, Apgriezto trigu funkciju atvasinājums .

Hiperbolisko funkciju atvasinājums

Tālāk ir norādītas trigonometrisko funkciju atvasinātās formulas:

kā parādīt lietojumprogrammas slēpšanu operētājsistēmā Android

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = pati par sevi²x
• (d/dx) coth x = -cosech²x
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Dažas citas atvasinātās formulas

Ir dažas citas funkcijas, piemēram, netiešās funkcijas, parametriskās funkcijas un augstākas kārtas atvasinājumi, kuru atvasinājumu formulas ir norādītas tālāk:

Netiešā atvasinātā formula

Metode, kā atrast implicītās funkcijas atvasinājumu, tiek saukta par implicītu diferenciāciju. Ņemsim piemēru, lai saprastu metodi, kā netieši atrast atvasinājumus.

Piemērs: atrodiet atvasinājumu no xy = 2

Risinājums:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

No dotā vienādojuma y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Uzziniet vairāk par Netieša diferenciācija .

Parametriskā atvasinājuma formula

Ja funkcija y(x) ir izteikta trešā mainīgā t un x izteiksmē un y var attēlot kā x = f(t) un y = g(t), tad šāda veida funkciju sauc par parametrisko funkciju.

Ja y ir x funkcija un x = f(t) un y = g(t) ir divas parametra t diferencējamas funkcijas, tad parametriskās funkcijas atvasinājumu iegūst šādi:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), lai (dx/dt) ≠ 0

Lasiet vairāk par Parametriskā diferenciācija .

Augstākās kārtas atvasinātā formula

Meklējot funkcijas atvasinājumu vairāk nekā vienu reizi, tiek iegūts funkcijas augstākās kārtas atvasinājums.

n ^th Atvasinājums = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Lasiet vairāk par Augstākās kārtas atvasinājums .

Kā atrast atvasinājumus?

Lai atrastu funkcijas atvasinājumus, mēs rīkojamies šādi:

• Vispirms pārbaudiet funkcijas veidu, vai tā ir algebriska, trigonometriska utt.
• Pēc veida atrašanas izmantojiet funkcijai atbilstošās atvasinājuma formulas.
• Iegūtā vērtība dod funkcijas atvasinājumu, izmantojot atvasinājumu formulu.

Atvasinātās formulas pielietojumi

Atvasinātajām formulām ir daudz pielietojumu. Dažas no šīm lietojumprogrammām ir norādītas tālāk:

• Atvasinājumi tiek izmantoti, lai noteiktu izmaiņu ātrumu jebkurā daudzumā.
• To var izmantot, lai atrastu maksimumus un minimumus.
• To izmanto palielināšanas un samazināšanas funkcijās.

Cilvēki arī skatās:

• Diferenciācijas formulas
• Diferenciācijas un integrācijas formula
• Logaritmiskā diferenciācija

Atrisinātie piemēri par atvasināto formulu

1. piemērs. Atrodiet x atvasinājumu ⁵ .

Risinājums:

Lai y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y' = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

2. piemērs. Atrodiet log atvasinājumu ₂ x.

Risinājums:

Lai y = log₂x

⇒ y’ = (d/dx) [log₂x]

⇒ y' = 1/ [x ln2]

3. piemērs. Atrodiet funkcijas f(x) = 8 atvasinājumu. 6 ^x

Risinājums:

f(x) = 8 . 6^x

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^x]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^x]

savienojumi java

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

4. piemērs. Atrodiet funkcijas f(x) = 3sinx + 2x atvasinājumu

Risinājums:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

5. piemērs. Atrodiet funkcijas f(x) = 5cos atvasinājumu ^-1 x + e ^x

Risinājums:

f(x) = 5cos^-1x + e^x

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx) [e^x]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx) [e^x]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + un^x

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + un^x

Prakses problēmas ar atvasināto formulu

1. problēma: Novērtēt: (d/dx) [x⁴].

2. problēma: Atrodiet atvasinājumu no y = 5cos x.

3. problēma: Atrodiet atvasinājumu no y = cosec x + cot x.

4. problēma: Atrodiet atvasinājumu no f(x) = 4^x+ baļķis₃x + tā^-1x.

5. problēma: Novērtēt: (d/dx) [40].

6. problēma: Atrodiet atvasinājumu no f(x) = x⁵+ 5x³+ 1 .

Bieži uzdotie jautājumi par atvasināto formulu

Kas ir atvasinājums?

Vērtību, kas atspoguļo funkcijas izmaiņu ātrumu attiecībā pret jebkuru mainīgo, sauc par atvasinājumu.

Kā tiek attēloti atvasinājumi?

Atvasinājumi tiek attēloti kā (d/dx) vai, ja f(x) ir funkcija, tad f(x) atvasinājums tiek attēlots kā f'(x).

Kā tiek aprēķināts konstantes atvasinājums?

Konstantes atvasinājums vienmēr ir nulle. Matemātiskajā apzīmējumā, ja “C” ir konstante, tad dC/dx = 0.

Uzrakstiet x vispārīgo atvasināto formuluⁿ.

Vispārīgā formula x atvasinājumamⁿ= nx^n-1.

Kā aprēķināt funkcijas atvasinājumus?

Lai aprēķinātu funkcijas atvasinājumus, mēs varam izmantot atvasinājumu formulu atbilstoši dotajai funkcijai.

Kāda ir logaritmiskās funkcijas atvasinājuma formula?

Naturālā logaritma funkcijas ln(x) atvasinājums ir 1/x. Matemātiskajā apzīmējumā, ja y = ln(x), tad dy/dx = 1/x.

Kura formula tiek izmantota, lai atrastu eksponenciālo funkciju atvasinājumu?

Eksponenciālas funkcijas atvasinājums, y = a^x(kur “a” ir konstante), tiek atrasts, izmantojot formulu dy/dx = a^x× ln(a).

Kas ir augstākās kārtas atvasinājumi?

Augstākas kārtas atvasinājumi ir vairākkārt ņemtas funkcijas atvasinājumi. Otrais atvasinājums ir pirmā atvasinājums, trešais ir otrā atvasinājums utt.

Kas ir atvasinātā formula e^x?

Funkcijas f(x) = e atvasinājums^x(kur “e” ir Eilera skaitlis, aptuveni 2,71828) ir vienkārši f'(x) = e^x.

Uzrakstiet u/v atvasināto formulu.

Divu funkciju u(x) un v(x) koeficienta atvasinājumu nosaka koeficienta noteikums:

netīrs baļķis

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Kas ir atvasinātā formula 1/x?

Funkcijas f(x) = 1/x atvasinājumu iegūst šādi:

f'(x) = -1/x ²