Trigonometrisko funkciju diferenciācija ir trigonometrisko funkciju atvasinājums, piemēram, sin, cos, tan, cot, sec un cosec. Diferencēšana ir svarīga aprēķina sastāvdaļa. To definē kā viena daudzuma izmaiņu ātrumu attiecībā pret kādu citu lielumu. Trigonometrisko funkciju diferenciācija tiek izmantota reālajā dzīvē dažādās jomās, piemēram, datoros, elektronikā un matemātikā.

Šajā rakstā mēs uzzināsim par trigonometrisko funkciju diferenciāciju, kā arī formulām, ar tām saistītajiem pierādījumiem un to lietojumiem. Tāpat mēs atrisināsim dažus piemērus un iegūsim atbildes uz dažiem bieži uzdotajiem jautājumiem par trigonometrisko funkciju diferenciāciju. Sāksim mācīšanos par tēmu Trigonometrisko funkciju diferenciācija.

Kas ir diferenciācija?

Funkcijas diferenciācija ir funkcijas izmaiņu ātrums attiecībā pret jebkuru mainīgo. The atvasinājums no f(x) ir apzīmēts kā f'(x) vai (d /dx)[f(x)].

Atšķiršanas procedūra trigonometriskās funkcijas sauc par trigonometrisko funkciju diferenciāciju. Citiem vārdiem sakot, trigonometrisko funkciju izmaiņu ātruma atrašanu attiecībā pret leņķiem sauc par trigonometrisko funkciju diferenciāciju.

Sešas trigonometriskās pamatfunkcijas ir sin, cos, tan, cosec, sec un cot. Mēs atradīsim visu trigonometrisko funkciju atvasinājumus ar to formulām un pierādījumiem.

Trigonometrisko funkciju diferenciācijas noteikums

Sešu trigonometrisko pamatfunkciju diferenciācija ir šāda:

Šo sešu trigonometrisko funkciju atvasinājuma pierādījumus varat pārbaudīt tālāk norādītajās saitēs:

Trigonometrisko funkciju formulas diferenciācijas pierādījums

Kā minēts iepriekš visu trigonometrisko funkciju formulas, tagad mēs pierādīsim iepriekš minētās trigonometrisko funkciju diferenciācijas formulas, izmantojot pirmo atvasinājuma principu, koeficienta likumu un ķēdes noteikumu ar ierobežojumu palīdzību.

binārās meklēšanas algoritmi

Grēka (x) diferenciācija

Lai pierādītu grēka x atvasinājumu, mēs izmantosim pirmo diferenciācijas principu un dažas pamata trigonometriskās identitātes un robežu formulas. Pierādījumā izmantotās trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formulas ir norādītas zemāk:

1. grēks (X + Y) = grēks X cos Y + grēks Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Sāksim pierādīt trigonometriskās funkcijas sin x diferenciāciju

Pēc pirmā diferenciācijas principa

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Izmantojot 2 un 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Tāpēc grēka x diferenciācija ir cos x.

Cos(x) diferenciācija

Lai pierādītu cos x atvasinājumu, mēs izmantosim pirmo diferenciācijas principu un dažas pamata trigonometriskās identitātes un robežu formulas. Pierādījumā izmantotās trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formulas ir norādītas zemāk:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Sāksim pierādīt trigonometriskās funkcijas cos x diferenciāciju

Pēc pirmā diferenciācijas principa

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) - cos x} / {(x + h) - x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(bez h/h) bez x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Izmantojot 2 un 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Tāpēc cos x diferenciācija ir -sin x.

iedeguma (x) diferenciācija

Lai pierādītu tan x atvasinājumu, mēs izmantosim koeficienta likumu un dažas pamata trigonometriskās identitātes un robežu formulas. Pierādījumā izmantotās trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formulas ir norādītas zemāk:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + grēks²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Sāksim pierādīt trigonometriskās funkcijas tan x diferenciāciju

Kopš (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx) [sinx / cos x]

Izmantojot koeficienta noteikumu

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [ar 4 un 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + grēks²x] / cos²x

mašīnas valoda

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [no 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² x [no 2]

Tāpēc tan x diferenciācija ir sek ² x.

Cosec(x) diferenciācija

Lai pierādītu cosec x atvasinājumu, mēs izmantosim ķēdes likumu un dažas pamata trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formulas. Pierādījumā izmantotās trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formulas ir norādītas zemāk:

1. gultiņa x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Sāksim pierādīt trigonometriskās funkcijas cosec x diferenciāciju

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [ar 2]

Izmantojot ķēdes noteikumu

(d/dx) cosec x = [-1 / grēks²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sinx]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x gultiņa x [ar 1 un 2]

Tāpēc cosec x diferenciācija ir – cosec x cot x.

sec(x) diferenciācija

Lai pierādītu sec x atvasinājumu, mēs izmantosim koeficienta likumu un dažus pamata trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formula . Pierādījumā izmantotās trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formulas ir norādītas zemāk:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Sāksim trigonometriskās funkcijas sec x diferenciācijas pierādīšanu

(d/dx) sek x = (d/dx) [1 / cos x] [ar 2]

Izmantojot ķēdes noteikumu

(d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (-bez x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x [Ar 1 un 2]

Tāpēc sec x diferenciācija ir sec x tan x.

Bērnu gultiņas (x) atšķirība

Lai pierādītu cot x atvasinājumu, mēs izmantosim koeficienta likumu un dažas pamata trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formulu. Pierādījumā izmantotās trigonometriskās identitātes un ierobežojumu formulas ir norādītas zemāk:

1. gultiņa x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + grēks²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Sāksim pierādīt trigonometriskās funkcijas cot x diferenciāciju

Kopš (1)

gultiņa x = cos x / sin x

(d/dx) gultiņa x = (d/dx) [cosx / sin x]

Izmantojot koeficienta noteikumu

(d/dx) gultiņa x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²x

⇒ (d/dx) gultiņa x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [ar 4 un 5]

⇒ (d/dx) gultiņa x = [ -sin²x – cos²x] / grēks²x

⇒ (d/dx) gultiņa x = -[ sin²x + cos²x] / grēks²x

⇒ (d/dx) gultiņa x = -1 / grēks²x [no 3]

⇒ (d/dx) gultiņa x = -kosek ² x [no 2]

Tāpēc gultiņas x diferenciācija ir -cosec ² x.

Daži citi trigu funkciju atvasinājumi

Trigonometrisko funkciju diferenciāciju var viegli izdarīt, izmantojot ķēdes noteikumu. Sarežģītās trigonometriskās funkcijas un saliktās trigonometriskās funkcijas var atrisināt, izmantojot ķēdes noteikums par diferenciāciju. Turpmākajos virsrakstos mēs sīkāk pētīsim ķēdes noteikumu un salikto trigu funkciju diferenciāciju.

• Diferencēšana, izmantojot ķēdes noteikumu
• Saliktās trigu funkcijas diferenciācija

Apspriedīsim šīs tēmas sīkāk.

Ķēdes noteikums un trigonometriskā funkcija

Ķēdes noteikums nosaka, ka, ja p(q(x)) ir funkcija, tad šīs funkcijas atvasinājumu dod p(q(x)) atvasinājuma un q(x) atvasinājuma reizinājums. Lai atšķirtu, tiek izmantots ķēdes likums saliktās funkcijas . Ķēdes kārtulu galvenokārt izmanto, lai viegli atšķirtu saliktās palaišanas funkcijas.

Piemērs: Atrodiet atvasinājumu no f(x) = tan 4x

Risinājums:

f(x) = iedegums 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [iedegums 4x]

Piemērojot ķēdes noteikumu

f'(x) = (d/dx) [iedegums 4x] (d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sek²4x)(4)

Saliktās trigu funkcijas diferenciācija

Lai novērtētu salikto trigu funkciju diferenciāciju, mēs izmantojam ķēdes diferenciācijas likumu. Saliktās trigu funkcijas ir funkcijas, kurās trigonometriskās funkcijas leņķis pats par sevi ir funkcija. Salikto trigonometrisko funkciju diferenciāciju var viegli novērtēt, piemērojot ķēdes noteikumu un trigu funkciju diferenciācijas formulas.

Piemērs: atrodiet atvasinājumu no f(x) = cos(x ² +4)

np nulles

Risinājums:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Piemērojot ķēdes noteikumu

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Kas ir apgrieztās trigonometriskās funkcijas?

The apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir trigonometrisko funkciju apgrieztās funkcijas. Ir sešas apgrieztās trigonometriskās funkcijas: grēks^-1, cos^-1, tātad^-1, cosec^-1, sek^-1, bērnu gultiņa^-1. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas sauc arī par loka funkcijām.

Apgriezto trigonometrisko funkciju diferenciācija

Sešu apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumi ir šādi:

Piemērs: Atrodiet atvasinājumu f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 x

Risinājums:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 - x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 - x²)]

Pieteikumi trigonometrisko funkciju diferencēšanai

Reālajā dzīvē ir daudz dažādu trigonometrisko funkciju diferenciācijas pielietojumu. Tālāk ir norādīti trigonometrisko funkciju diferenciācijas pielietojumi.

• Trigonometriskās līknes pieskares un normālās līnijas slīpumu var noteikt, izmantojot trigonometrisko funkciju diferenciāciju.
• To var izmantot arī, lai noteiktu funkcijas maksimumus un minimumus.
• To izmanto arī datoru un elektronikas jomā.

Tāpat pārbaudiet

• Apgrieztā trigu atvasinājums
• Antiatvasinājums
• Diferenciācijas formulas

Trigu funkciju diferenciācijas problēmu paraugi

1. uzdevums: atrodiet atvasinājumu no f(x) = tan 2x.

Risinājums:

f(x) = iedegums 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) iedegums 2x

Piemērojot ķēdes noteikumu

f'(x) = (d/dx) [iedegums 2x] (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sek²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2 s²2x

2. uzdevums: atrodiet atvasinājumu no y = cos x / (4x ² )

Risinājums:

y = cos x / (4x²)

Koeficienta likuma piemērošana

y' = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx) (4x²)] / (4x²)²

⇒ y' = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

3. uzdevums: Novērtējiet atvasinājumu f(x) = cosec x + x tan x

Risinājums:

f(x) = cosec x + x tan x

Piemērojot formulu un produkta noteikumu

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d/dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d/dx) x (tan x) + x (d/dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²x

4. uzdevums: atrodiet funkcijas f(x) = 6x atvasinājumu ⁴ cos x

Risinājums:

f(x) = 6x⁴cos x

Piemērojot produkta noteikumu

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx) (cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-bez x)]

onclick js

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴bez x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

5. uzdevums: Novērtējiet atvasinājumu: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Risinājums:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Piemērojot produkta noteikumu

f'(x) = (d/dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 — sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 — sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 - sin x) (1 - sin x)] + [(x + cos x) (0 - cos x)]

⇒ f'(x) = (1 — sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + grēks²x – 2 sinx – x cosx – cos²x

Trigonometrisko funkciju diferenciācijas prakses uzdevumi

1. problēma: Atrodiet atvasinājumu no y = sin(x) + cos(x).

2. problēma: Aprēķināt atvasinājumu no y = 2sin(x) – 3cos(x).

3. problēma: Atrodiet atvasinājumu no y = 2sin(3x).

4. problēma: Nosakiet atvasinājumu no y = tan(5x).

5. problēma: Atrodiet y = sin(x) cos(x) atvasinājumu.

6. problēma: Aprēķināt atvasinājumu no y = cos²(x).

7. problēma: Nosakiet atvasinājumu no y = tan²(x).

8. problēma: Nosakiet atvasinājumu no y = tan(x) sec(x).

Bieži uzdotie jautājumi par trigonometrisko funkciju diferenciāciju

Kas ir diferenciācija?

Diferencēšana ir matemātiska darbība, kas aprēķina ātrumu, ar kādu funkcija mainās attiecībā pret tās neatkarīgo mainīgo.

Kas ir trigonometriskā funkcija?

Trigonometriskās funkcijas ir matemātiskas funkcijas, kas saista taisnleņķa trijstūra leņķus ar tā malu attiecībām.

Kādas ir parastās trigonometriskās funkcijas?

Kopējās trigonometriskās funkcijas ietver sinusu (sin), kosinusu (cos), tangensu (tan), kosekantu (cosec), secant (sec) un kotangentu (cot).

Definējiet trigonometrisko funkciju diferenciāciju.

Trigonometrisko funkciju diferenciācijas metodi sauc par trigonometrisko funkciju diferenciāciju.

Kā jūs atšķirat sinusa funkciju, t.i., grēku (x)?

Grēka (x) atvasinājums ir cos (x). Matemātiskajā apzīmējumā d/dx(sin(x)) = cos(x).

Ko mēs iegūstam pēc kosinusa funkcijas diferencēšanas, t.i., cos (x)?

Cos (x) atvasinājums ir -sin (x). Matemātiskajā apzīmējumā d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Kā jūs atšķirat pieskares funkciju, t.i., iedegumu (x)?

Tan(x) atvasinājums ir sek²(x), kur sec(x) ir sekanta funkcija. Matemātiskajā apzīmējumā d/dx(tan(x)) = sek²(x).

Kādas ir trigonometrisko funkciju diferenciācijas formulas?

Trigonometrisko funkciju diferenciācijas formula ir:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) iedegums x = sek²x
• (d/dx) cosec x = -cosec x bērnu gultiņa x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) gultiņa x = -cosec²x

Sniedziet vienu piemēru trigonometriskās funkcijas diferencēšanai.

Apskatīsim funkciju f(x) = 2sin(3x).

Izmantojot ķēdes likumu,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Kādas metodes izmanto, lai iegūtu trigonometrisko funkciju diferenciāciju?

Dažādi veidi, kā var iegūt trigonometrisko funkciju diferenciācijas formulu, ir:

• Izmantojot atvasinājumu pirmo principu
• Izmantojot Koeficientu noteikums
• Izmantojot ķēdes noteikumu

Kas ir trigonometrisko funkciju diferenciācijas novēršana?

Trigonometrisko funkciju antidiferenciācija nozīmē trigonometrisko funkciju integrācijas atrašanu.