Apgrieztās trigonometriskās funkcijas atvasinājums attiecas uz apgriezto trigonometrisko funkciju izmaiņu ātrumu. Mēs zinām, ka funkcijas atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums attiecībā pret neatkarīgo mainīgo. Pirms to apgūt, jāzina trigonometrisko funkciju diferenciācijas formulas. Lai atrastu apgrieztās trigonometriskās funkcijas atvasinājumu, mēs vispirms pielīdzināsim trigonometrisko funkciju ar citu mainīgo, lai atrastu tās apgriezto vērtību, un pēc tam to diferencēsim, izmantojot implicītās diferenciācijas formulu.

Šajā rakstā mēs uzzināsim D Apgriezto trigu funkciju atvasinājums, apgriezto trigu funkciju diferenciācijas formulas, un atrisiniet dažus piemērus, pamatojoties uz to. Bet pirms došanās uz priekšu, atsvaidzināsim jēdzienu i nversās trigonometriskās funkcijas un implicītā diferenciācija.

• Apgrieztās trigonometriskās funkcijas
• Kas ir netiešā diferenciācija?
• Kas ir apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājums?
• Apgriezto trigu funkciju atvasinājuma pierādījums
• Apgrieztā trigu atvasinātā formula
• Inverse Trig atvasinājumu piemēri

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir trigonometrisko attiecību apgrieztās funkcijas, t.i., sin, cos, tan, cot, sec un cosec. Šīs funkcijas tiek plaši izmantotas tādās jomās kā fizika, matemātika, inženierija un citās pētniecības jomās. Tāpat kā saskaitīšana un atņemšana ir viena otras apgrieztās vērtības, tas pats attiecas uz trigonometrisko funkciju apgrieztajām vērtībām.

bez θ = x

⇒ i = s iekšā ⁻¹ x )

Apgriezto trigonometrisko funkciju attēlojums

Tie tiek attēloti, pievienojot loka prefiksā vai jaudai pievienojot -1.

Apgriezto sinusu var uzrakstīt divos veidos:

• bez^-1x
• arcsin x

Tas pats attiecas uz cos un tan.

Piezīme: Nejauciet grēku^-1x ar (sin x)^-1. Tās ir dažādas. Grēka rakstīšana^-1x ir veids, kā rakstīt apgriezto sinusu, turpretī (sin x)^-1nozīmē 1/sin x.

Apgriezto trigonometrisko funkciju joma

Mēs zinām, ka funkcija ir diferencējama tikai tad, ja tā ir nepārtraukta šajā punktā, un, ja funkcija ir nepārtraukta noteiktā punktā, tad šis punkts ir funkcijas domēns. Tāpēc mums ir jāapgūst apgriezto trigonometrisko funkciju domēns.

Tagad īsi apgūsim netiešās diferenciācijas paņēmienu.

Kas ir netiešā diferenciācija?

Netieša diferenciācija ir metode, kas izmanto ķēdes noteikumu, lai atšķirtu netieši definētas funkcijas. Netiešās funkcijas ir funkcija, kas satur divus mainīgos, nevis vienu mainīgo. Šādā gadījumā dažreiz mēs varam nepārprotami pārvērst funkciju vienā mainīgajā, bet tas tā nav vienmēr. Tā kā parasti nav viegli precīzi atrast funkciju un pēc tam to atšķirt. Tā vietā mēs varam pilnībā diferencēt f(x, y), t.i., abus mainīgos un pēc tam atrisināt pārējo vienādojuma daļu, lai atrastu f'(x) vērtību.

Lasiet sīkāk: Aprēķini matemātikā

Kas ir apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājums?

Inversie trigonometriskie atvasinājumi ir apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumi. Ir seši trigonometriskās funkcijas un katrai no šīm trigonometriskajām funkcijām pastāv apgrieztā vērtība. Tie ir grēki^-1x, cos^-1x, tātad^-1x, cosec^-1x, sek^-1x, bērnu gultiņa^-1x. Mēs varam atrast apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumu, izmantojot implicītās diferenciācijas metodi. Vispirms uzzināsim, kādi ir apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumi.

• Grēka atvasinājums^-1x ir d(sin^-1x)/dx = 1/√(1–x²) visiem x ϵ (-1, 1)
• Atvasinājums no cos^-1x ir d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) visiem x ϵ (-1, 1)
• Iedeguma atvasinājums^-1x ir d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) visiem x ϵ R
• Atvasinājums no cosec^-1x ir d(kosek^-1x)/dx = -1/ visiem x ϵ R – [-1, 1]
• Atvasinājums no sek^-1x ir d (sek^-1x)/dx = 1/x visiem x ϵ R – [-1, 1]
• Bērnu gultiņas atvasinājums^-1x ir d(gultiņa^-1x)/dx = -1/(1 + x²) visiem x ϵ R

Apgrieztā trigonometriskā atvasinājuma attēls ir pievienots zemāk:

Tagad mēs esam iemācījušies, kas ir visu sešu apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumi, tagad mēs uzzināsim, kā atrast sešu apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumus.

Apgriezto trigu funkciju atvasinājuma pierādījums

Mēs varam diferencēt apgrieztās trigonometriskās funkcijas, izmantojot pirmo principu, kā arī izmantojot netiešās diferenciācijas formulu, kas ietver arī ķēdes noteikumu izmantošanu. Lai atrastu apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumu, izmantojot pirmo principu, ir ilgstošs process. Šajā rakstā mēs uzzinām, kā diferencēt apgrieztās trigonometriskās funkcijas, izmantojot netiešo diferenciāciju. Mēs varam atrast apgriezto trigu funkciju atvasinājumu (dy/dx), veicot šādas darbības

1. darbība. Pieņemsim trigonometriskās funkcijas formā sin y = x

2. darbība. Atrodiet iepriekš minētās funkcijas atvasinājumu, izmantojot netiešo diferenciāciju

3. darbība. Aprēķiniet dy/dx

4. darbība. Aizstājiet 3. darbībā esošās trigonometriskās funkcijas vērtību, izmantojot trigonometriskās identitātes.

Grēka apgrieztā x atvasinājums

Pieņemsim, ka grēks y = x

Abu pušu diferencēšana attiecībā pret x

⇒ cos un. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Tā kā mēs zinām, ka grēks²un + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – grēks²un

if-else java

⇒ mājīgs = √(1 – grēks²y) = √(1 – x²), jo mums ir sin y = x

Šīs cos y vērtības ievietošana vienādojumā (i)

dy/dx = 1/√(1–x²) kur y = grēks^-1x

Cos apgrieztā X atvasinājums

Pieņemsim, ka cos y = x

Abu pušu diferencēšana attiecībā pret x

⇒ -bez un. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Tā kā mēs zinām, ka grēks²un + Cos²y = 1

⇒ bez²y = 1 – cos²un

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²), jo mums ir cos y = x

Šīs sin y vērtības ievietošana vienādojumā (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) kur y = cos^-1x

Iedeguma apgrieztā X atvasinājums

Pieņemsim, ka tan y = x

Abu pušu diferencēšana attiecībā pret x

⇒ sek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s²un →(i)

Tā kā mēs zinām, ka sek²līdz ar to²y = 1

⇒ sek²y = 1 + iedegums²un

⇒ sek²y = (1 + iedegums²y) = (1 + x²), jo mums ir iedegums y = x

Liekot šo vērtību sek²y vienādojumā (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) kur y = iedegums^-1x

Bērnu gultiņas apgrieztā X atvasinājums

Pieņemsim, ka gultiņa y = x

Abu pušu diferencēšana attiecībā pret x

⇒ -kosek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²un →(i)

Tā kā mēs zinām, ka csec²un – gultiņa²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + bērnu gultiņa²un

⇒ cosec²y = (1 + bērnu gultiņa²y) = (1 + x²), jo mums ir gultiņa y = x

Liekot šo cosec vērtību²y vienādojumā (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) kur y = bērnu gultiņa^-1x

Sec inversā X atvasinājums

Pieņemsim, ka sec y = x

Abu pušu diferencēšana attiecībā pret x

⇒ s y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s y.tan y →(i)

Tā kā mēs zinām, ka sek²līdz ar to²y = 1

⇒ tā²y = sek²un – 1

⇒ dzeltenbrūns y = √ (sek²y — 1) = √(x²– 1) kā mums sec y = x

Ievietojot šo tan y vērtību vienādojumā (i)

dy/dx = 1/x kur sec y = x un y = sek^-1x

Cosec apgrieztā X atvasinājums

Pieņemsim, ka cosec y = x

Abu pušu diferencēšana attiecībā pret x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Tā kā mēs zinām, ka cosec²un – gultiņa²y = 1

⇒ bērnu gultiņa²y = cosec²un – 1

⇒ gultiņa y = √(kosek²y — 1) = √(x²– 1) kā mums ir cosec y = x

Ievietojot šo tan y vērtību vienādojumā (i)

dy/dx = -1/x kur cosec y = x un y = cosec^-1x

Apgrieztā trigu atvasinātā formula

Tagad mēs esam iemācījušies atšķirt apgrieztās trigonometriskās funkcijas, tāpēc tagad apskatīsim apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājuma formulas, kuras var tieši izmantot uzdevumos. Tālāk ir sniegta apgrieztās trigonometriskās funkcijas formulas atvasinājuma tabula.

Lasīt vairāk,

• Atvasinājums parametriskā formā
• Atvasinātās formulas
• Atvasinājuma pielietojums
• Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Inverse Trig atvasinājumu piemēri

1. piemērs: Atšķiriet grēku ^-1 (x)?

Risinājums:

Ļaujiet, un = bez ⁻¹( x )

Ņemot sinusu abās vienādojuma pusēs, tiek iegūts,

grēks y = grēks (grēks^-1x)

Pēc apgrieztās trigonometrijas īpašībām mēs zinām, grēks (grēks^-1x) = x

sin y = x

Tagad atšķirot abas puses wrt no x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Mēs varam to vienkāršot vairāk, izmantojot šādu novērojumu:

bez²un + cos²y = 1

x²+ cos²y = 1 {Kā sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Aizstājot vērtību, mēs iegūstam

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

2. piemērs: diferencēt cos ^-1 (x)?

Risinājums:

Ļaujiet,

un = cos⁻¹( x )

Ņemot kosinusu abās vienādojuma pusēs, tiek iegūts,

cos y = cos(cos^-1x)

Pēc apgrieztās trigonometrijas īpašībām mēs zinām, cos (cos^-1x) = x

cos (y) = x

Tagad atšķirot abas puses wrt no x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Mēs varam to vienkāršot vairāk, izmantojot šādu novērojumu:

iskcon pilna forma

bez²un + cos²y = 1

bez²y + x²= 1 {kā cos y = x}

bez²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Aizstājot vērtību, mēs iegūstam

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

3. piemērs. Atšķiriet iedegumu ^-1 (x)?

Risinājums:

Ļaujiet, un = tā⁻¹( x )

Ņemot iedegumu abās vienādojuma pusēs, tiek iegūts,

iedegums y = iedegums (iedegums^-1x)

Pēc apgrieztās trigonometrijas īpašībām mēs zinām, tan(tan^-1x) = x

dzeltenbrūns y = x

Tagad atšķirot abas puses wrt no x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/s²x

Mēs varam to vienkāršot vairāk, izmantojot šādu novērojumu:

sek²līdz ar to²y = 1

skaistākais smaids

sek²y–x²= 1

sek²y = 1 + x²

Aizstājot vērtību, mēs iegūstam

dy/dx = 1/s²un

dy/dx = 1/(1 + x²)

4. piemērs: y = cos ^-1 (-2x ² ). Atrast dy/dx pie x = 1/2?

Risinājums:

1. metode (izmantojot netiešu diferenciāciju)

Ņemot vērā, un = cos ⁻¹(-2 x ²)

⇒ cos un = −2 x ²

Abu pušu atšķiršana wrt x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Vienkāršojot

bez²un + cos²y = 1

bez²un + (-2x²)²= 1 {Kā cos y = -2x²}

bez²y + 4x⁴= 1

bez²y = 1–4x⁴

sin y = √(1–4x⁴)

Liekot iegūto vērtību, mēs iegūstam,

dy/dx = 4x/√{1–4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1–4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1–1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

2. metode (izmantojot ķēdes noteikumu, kā mēs zinām cos inverse x diferenciāciju)

Ņemot vērā, un = cos ⁻¹(-2 x ²)

Abu pušu atšķiršana wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

5. piemērs. Atšķirt egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Risinājumi:

Ļaujiet,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Abu pušu atšķiršana wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Inverse Trig atvasinātie jautājumi

Izmēģiniet šādus jautājumus par Inverse Trig atvasinātajiem jautājumiem

Q1: Atšķiriet grēku ^-1 (3x - 4x ³ ) x ϵ -1/2