Kovariācijas matrica ir matricas veids, ko izmanto, lai aprakstītu kovariācijas vērtības starp diviem vienumiem nejaušā vektorā. To sauc arī par dispersijas-kovariācijas matricu, jo katra elementa dispersija ir attēlota gar matricas galveno diagonāli un kovariācija ir attēlota starp elementiem, kas nav diagonāli. Kovariācijas matrica parasti ir kvadrātveida matrica. Tas ir arī pozitīvs daļēji noteikts un simetrisks. Šī matrica noder, kad runa ir par stohastisko modelēšanu un galveno komponentu analīzi.
savienojuma virkne java
Kas ir kovariācijas matrica?
The dispersiju -kovariācijas matrica ir a kvadrātveida matrica ar diagonāliem elementiem, kas attēlo dispersiju, un komponentiem, kas nav diagonāli, kas izsaka kovariāciju. Mainīgā lieluma kovariācijai var būt jebkura reālā vērtība - pozitīva, negatīva vai nulle. Pozitīva kovariācija liecina, ka abiem mainīgajiem ir pozitīva saistība, bet negatīva kovariācija norāda, ka tām nav. Ja divi elementi nemainās kopā, tiem ir nulle kovariācija.
Uzzināt vairāk, Diagonālā matrica
Kovariācijas matricas piemērs
Pieņemsim, ka ir 2 datu kopas X = [10, 5] un Y = [3, 9]. Kopas X dispersija = 12,5 un kopas Y dispersija = 18. Kovariance starp abiem mainīgajiem ir -15. Kovariācijas matrica ir šāda:
Kovariācijas matricas formula
Kovariācijas matricas vispārīgā forma ir dota šādi:
kur,
- Parauga dispersija: kur (x1) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} - Kovarīnas paraugs: (x1, un1) =
frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1} - Iedzīvotāju dispersija: kur (xn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} - Iedzīvotāju kovariance: (xn, unn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}
Šeit, m ir vidējais iedzīvotāju skaits
n ir novērojumu skaits
x i ir novērojums datu kopā x
Apskatīsim kovariācijas matricas formātu 2 ⨯ 2 un 3 ⨯ 3
2 ⨯ 2 Kovariācijas matrica
Mēs zinām, ka 2⨯ 2 matrica ir divas rindas un divas kolonnas. Tādējādi 2 ⨯ 2 kovariācijas matricu var izteikt kā
3 ⨯ 3 Kovariācijas matrica
3⨯3 matricā ir 3 rindas un 3 kolonnas. Mēs zinām, ka kovariācijas matricā diagonālie elementi ir dispersija un nediagonālie elementi ir kovariācija. Tādējādi 3⨯3 kovariācijas matricu var norādīt kā
Kā atrast kovariācijas matricu?
Kovariācijas matricas dimensijas nosaka mainīgo lielumu skaits dotajā datu kopā. Ja kopā ir tikai divi mainīgie, tad kovariācijas matricai būtu divas rindas un divas kolonnas. Līdzīgi, ja datu kopai ir trīs mainīgie, tad tās kovariācijas matricā būtu trīs rindas un trīs kolonnas.
Dati attiecas uz Annas, Karolīnas un Lauras atzīmēm psiholoģijā un vēsturē. Izveidojiet kovariācijas matricu.
| Students | Psiholoģija (X) | Vēsture (Y) |
|---|---|---|
| Anna | 80 | 70 |
| Karolīna | 63 | divdesmit |
| Laura | 100 | piecdesmit |
Ir jāveic šādas darbības:
1. darbība: Atrodiet mainīgā X vidējo. Apkopojiet visus novērojumus mainīgajā X un sadaliet iegūto summu ar terminu skaitu. Tādējādi (80 + 63 + 100)/3 = 81.
2. darbība: Atņemiet vidējo no visiem novērojumiem. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).
3. darbība: Paņemiet iepriekš iegūto atšķirību kvadrātus un pēc tam saskaitiet tos. Tādējādi (80–81)2+ (63–81)2+ (100–81)2.
4. darbība: Atrodiet X dispersiju, dalot 3. solī iegūto vērtību ar 1 mazāku par kopējo novērojumu skaitu. var(X) = [(80–81)2+ (63–81)2+ (100–81)2] / (3–1) = 343.
5. darbība: Līdzīgi atkārtojiet 1. līdz 4. darbību, lai aprēķinātu Y dispersiju. Var(Y) = 633.
6. darbība: Izvēlieties mainīgo pāri.
7. darbība: No visiem novērojumiem atņem pirmā mainīgā lieluma (X) vidējo vērtību; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).
8. darbība: Atkārtojiet to pašu ar mainīgo Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).
9. darbība: Reiziniet atbilstošos vārdus: (80 – 81) (70 – 47), (63 – 81) (20 – 47), (100 – 81) (50 – 47).
10. darbība: Atrodiet kovariāciju, saskaitot šīs vērtības un dalot ar (n – 1). Cov(X, Y) = (80–81) (70–47) + (63–81) (20–47) + (100–81) (50–47)/3–1 = 481.
11. darbība: Terminu sakārtošanai izmantojiet kovariācijas matricas vispārīgo formulu. Matrica kļūst:
Kovariācijas matricas īpašības
Kovariācijas matricas īpašības ir minētas zemāk:
- Kovariācijas matrica vienmēr ir kvadrātveida, kas nozīmē, ka rindu skaits kovariācijas matricā vienmēr ir vienāds ar kolonnu skaitu tajā.
- Kovariācijas matrica vienmēr ir simetriska, kas nozīmē, ka transponēt Kovariācijas matrica vienmēr ir vienāda ar sākotnējo matricu.
- Kovariācijas matrica vienmēr ir pozitīva un daļēji noteikta.
- The īpašvērtības kovariācijas matricas vienmēr ir reālas un nenegatīvas.
Lasīt vairāk,
- Matricu veidi
- Matricas reizināšana
- Izkliede un standarta novirze
Kovariācijas matricas atrisinātie piemēri
1. piemērs. Atzīmes, ko ieguvuši 3 studenti fizikā un bioloģijā, ir norādītas zemāk:
| Students | Fizika (X) | Bioloģija (Y) |
|---|---|---|
| A | 92 | 80 |
| B | 60 | 30 |
| C | 100 | 70 |
Aprēķiniet kovariācijas matricu no iepriekšminētajiem datiem.
Risinājums:
Parauga kovariācijas matrica ir dota ar
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .Lūk, μx= 84, n = 3
var(x) = [(92–84)2+ (60–84)2+ (100–84)2] / (3–1) = 448
Tātad, μun= 60, n = 3
var(y) = [(80–60)2+ (30–60)2+ (70–60)2] / (3–1) = 700
Tagad cov(x, y) = cov(y, x) = [(92–84) (80–60) + (60–84) (30–60) + (100–84) (70–60)] / (3–1) = 520.
Populācijas kovariācijas matrica ir norādīta šādi:
egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}
2. piemērs. Sagatavojiet populācijas kovariācijas matricu no šādas tabulas:
| Vecums | Cilvēku skaits |
|---|---|
| 29 | 68 |
| 26 | 60 |
| 30 | 58 |
| 35 | 40 |
Risinājums:
Populācijas dispersiju nosaka ar
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .Lūk, μx= 56,5, n = 4
var(x) = [(68–56,5)2+ (60–56,5)2+ (58–56,5)2+ (40–56,5)2] / 4 = 104,75
Tātad, μun= 30, n = 4
var(y) = [(29–30)2+ (26–30)2+ (30–30)2+ (35–30)2] / 4 = 10,5
Tagad cov(x, y) =
frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4} cov(x, y) = -27
Populācijas kovariācijas matrica ir norādīta šādi:
egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}
3. piemērs. Interpretējiet šādu kovariācijas matricu:
Risinājums:
- Diagonālie elementi 60, 30 un 80 norāda attiecīgi datu kopu X, Y un Z dispersiju. Y parāda mazāko dispersiju, bet Z parāda lielāko dispersiju.
- X un Y kovariācija ir 32. Tā kā šis ir pozitīvs skaitlis, tas nozīmē, ka tad, kad X palielinās (vai samazinās), Y arī palielinās (vai samazinās)
- Kovariance X un Z ir -4. Tā kā tas ir negatīvs skaitlis, tas nozīmē, ka, palielinoties X, Z samazinās un otrādi.
- Y un Z kovariācija ir 0. Tas nozīmē, ka starp abām datu kopām nav paredzamas attiecības.
4. piemērs. Atrodiet izlases kovariācijas matricu šādiem datiem:
| X | UN | AR |
|---|---|---|
| 75 | 10.5 | Četri |
| 65 | 12.8 | 65 |
| 22 | 7.3 | 74 |
| piecpadsmit | 2.1 | 76 |
| 18 | 9.2 | 56 |
Risinājums:
Parauga kovariācijas matrica ir dota ar
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .n = 5, mx= 22,4, var(X) = 321,2 / (5–1) = 80,3
mun= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037
mAr= 64, var(Z) = 570/4 = 142,5
cov(X, Y) =
frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76 cov(X, Z) =
frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97 cov(Y, Z) =
frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87 Kovariācijas matrica ir norādīta šādi:
egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}
Bieži uzdotie jautājumi par kovariācijas matricu
1. Definējiet kovariācijas matricu
Kovariācijas matrica ir matricas veids, ko izmanto, lai aprakstītu kovariācijas vērtības starp diviem vienumiem nejaušā vektorā.
2. Kas ir kovariācijas matricas formula?
Kovariācijas matricas formula ir dota kā
left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight] kur, Parauga dispersija: kur (x1) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
- Kovarīnas paraugs: (x1, un1) =
frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1} - Iedzīvotāju dispersija: kur (xn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} - Iedzīvotāju kovariance: (xn, unn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}
3. Kāda ir 3 ⨯ 3 kovariācijas matricas vispārējā forma?
Kovariācijas matricas 3 ⨯ 3 vispārīgā forma ir norādīta šādi:
egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}
4. Kādas ir kovariācijas matricas īpašības?
Kovariācijas matrica ir kvadrātveida matrica, un tai ir arī simetrisks raksturs, t.i., sākotnējās matricas transponēšana rada pašu sākotnējo matricu
5. Kuros sektoros var izmantot kovariācijas matricu?
Kovariācijas matrica tiek izmantota matemātikas, mašīnmācīšanās, finanšu un ekonomikas jomā. Kovariācijas matrica tiek izmantota Cholskey sadalīšanā, lai veiktu Montekarlo simulāciju, ko izmanto, lai izveidotu matemātiskos modeļus.