Pašvērtības un īpašvektori ir skalārie un vektoru lielumi, kas saistīti ar Matrica izmanto lineārajai transformācijai. Vektoru, kas nemainās pat pēc transformāciju piemērošanas, sauc par īpašvektoru un skalāro vērtību, kas pievienota īpašvektoriem Pašvērtības . Pašvektori ir vektori, kas ir saistīti ar lineāru vienādojumu kopu. Matricai īpašvektorus sauc arī par raksturīgajiem vektoriem, un mēs varam atrast tikai kvadrātveida matricu īpašvektorus. Pašvektori ir ļoti noderīgi dažādu matricu un diferenciālvienādojumu problēmu risināšanā.

Šajā rakstā mēs ar piemēriem uzzināsim par īpašvērtībām, matricu īpašvektoriem un citiem.

Satura rādītājs

• Kas ir īpašvērtības?
• Kas ir īpašvektori?
• Pašvektoru vienādojums
• Kas ir īpašvērtības un īpašvektori?
• Kā atrast īpašvektoru?
• Pašvektoru veidi
• Labais pašvektors
• Kreisais Eigenvektors
• Kvadrātveida matricas īpašvektori
• 2 × 2 matricas pašvektors
• 3 × 3 matricas pašvektors
• Eigenspace
• Eigen vērtību pielietojums
• Diagonalizēt matricu, izmantojot īpašvērtības un īpašvektorus
• Atrisinātie piemēri uz pašvektoriem
• Bieži uzdotie jautājumi par elementvektoriem

Kas ir īpašvērtības?

Pašvērtības ir skalārās vērtības, kas saistītas ar lineārās transformācijas īpašvektoriem. Vārdam 'Eigen' ir vācu izcelsme, kas nozīmē 'raksturīgs'. Tādējādi šīs ir raksturīgās vērtības, kas norāda faktoru, ar kuru īpašvektori tiek izstiepti to virzienā. Tas neietver izmaiņas vektora virzienā, izņemot gadījumus, kad īpašvērtība ir negatīva. Ja īpašvērtība ir negatīva, virziens tiek vienkārši apgriezts. Pašvērtības vienādojums ir dots ar

Izslēgts = λv

kur,

• A ir matrica,
• v ir saistītais īpašvektors un
• λ ir skalārā īpašvērtība.

Kas ir īpašvektori?

Kvadrātveida matricu īpašvektori tiek definēti kā nulles vektora vērtības, kuras, reizinot ar kvadrātveida matricām, iegūst vektora mērogošanas daudzkārtni, t.i., mēs definējam matricas A īpašvektoru kā v, ja tā norāda nosacījumu, Izslēgts = λv

Mērogošanas daudzkārtni λ iepriekš minētajā gadījumā sauc par kvadrātmatricas īpašvērtību. Pirms matricas īpašvektoru atrašanas mums vienmēr vispirms ir jāatrod kvadrātveida matricas īpašvērtības.

Jebkurai kvadrātmatricai A, kuras secība ir n × n, īpašvektors ir kolonnas matrica ar secību n × 1. Ja mēs atrodam matricas A īpašvektoru, Av = λv, v šajā gadījumā sauc par matricas A labo īpašvektoru. un vienmēr tiek reizināts uz labo pusi, jo matricas reizināšana pēc būtības nav komutatīva. Kopumā, kad mēs atrodam īpašvektoru, tas vienmēr ir pareizais īpašvektors.

Mēs varam atrast arī kvadrātmatricas A kreiso īpašvektoru, izmantojot relāciju, vA = vl

Šeit v ir kreisais īpašvektors un vienmēr tiek reizināts ar kreiso pusi. Ja matricas A ir kārtas n × n, tad v ir kolonnas matrica ar secību 1 × n.

Pašvektoru vienādojums

Pašvektora vienādojums ir vienādojums, ko izmanto, lai atrastu jebkuras kvadrātveida matricas īpašvektoru. Īpatnējo vektoru vienādojums ir,

Izslēgts = λv

kur,

• A ir dotā kvadrātveida matrica,
• iekšā ir matricas A īpašvektors un
• l ir jebkurš mērogošanas daudzkārtējs.

Kas ir īpašvērtības un īpašvektori?

Ja A ir a kvadrātveida matrica n × n secībā, tad mēs varam viegli atrast kvadrātveida matricas īpašvektoru, izmantojot tālāk aprakstīto metodi,

Mēs zinām, ka īpašvektors ir norādīts, izmantojot vienādojumu Av = λv, identitātes matricai, kas ir tāda pati kā A secība, t.i., n × n, mēs izmantojam šādu vienādojumu:

(A-λI)v = 0

Atrisinot iepriekš minēto vienādojumu, mēs iegūstam dažādas λ vērtības kā λ₁, l₂, ..., l_nšīs vērtības sauc par īpašvērtībām, un mēs iegūstam atsevišķus īpašvektorus, kas saistīti ar katru īpašvērtību.

Vienkāršojot iepriekš minēto vienādojumu, mēs iegūstam v, kas ir kolonnas matrica ar secību n × 1, un v tiek uzrakstīts kā,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Kā atrast īpašvektoru?

Sekojošās kvadrātveida matricas īpašvektoru var viegli aprēķināt, izmantojot tālāk norādītās darbības,

1. darbība: Atrodiet matricas A īpašvērtības, izmantojot vienādojumu det |(A – λI| =0, kur I ir matricai A līdzīgas kārtas identitātes matrica

2. darbība: 2. darbībā iegūtās vērtības tiek nosauktas kā λ₁, l₂, l₃….

3. darbība: Atrodiet īpašvektoru (X), kas saistīts ar īpašvērtību λ₁izmantojot vienādojumu, (A – λ₁I) X = 0

4. darbība: Atkārtojiet 3. darbību, lai atrastu īpašvektoru, kas saistīts ar citām atlikušajām īpašvērtībām λ₂, l₃….

kā pārbaudīt ekrāna izmēru

Veicot šīs darbības, tiek iegūts īpašvektors, kas saistīts ar doto kvadrātveida matricu.

Pašvektoru veidi

Kvadrātveida matricai aprēķinātie īpašvektori ir divu veidu:

• Labais pašvektors
• Kreisais Eigenvektors

Labais pašvektors

Īpatnējo vektoru, kas reizināts ar doto kvadrātmatricu no labās puses, sauc par labo īpašvektoru. To aprēķina, izmantojot šādu vienādojumu,

OF _R = λV _R

kur,

• A ir dota kvadrātveida matrica ar kārtu n × n,
• l ir viena no īpašvērtībām, un
• IN _R ir kolonnas vektoru matrica

Vērtība V_Rir,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Kreisais Eigenvektors

Īpatnējo vektoru, kas reizināts ar doto kvadrātmatricu no kreisās puses, sauc par kreiso īpašvektoru. To aprēķina, izmantojot šādu vienādojumu,

IN _L A = V _L l

kur,

• A ir dota kvadrātveida matrica ar kārtu n × n,
• l ir viena no īpašvērtībām, un
• IN _L ir rindu vektoru matrica.

Vērtība V_Lir,

IN _L = [v ₁ , iekšā ₂ , iekšā ₃ ,…, iekšā _n ]

Kvadrātveida matricas īpašvektori

Mēs varam viegli atrast kvadrātveida matricu īpašvektoru ar kārtu n × n. Tagad atradīsim šādas kvadrātveida matricas:

• 2 × 2 matricas īpašvektori
• 3 × 3 matricas īpašvektori.

2 × 2 matricas pašvektors

2 × 2 matricas īpašvektoru var aprēķināt, izmantojot iepriekš minētās darbības. Tā paša piemērs ir,

Piemērs: atrodiet matricas A = īpašvērtības un īpašvektoru egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Risinājums:

Ja īpašvērtības tiek attēlotas, izmantojot λ un īpašvektors tiek attēlots kā v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Tad īpašvektoru aprēķina, izmantojot vienādojumu,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1 (λ-6) = 0

⇒ (λ-6) (λ+1) = 0

λ = 6 un λ = -1

Tādējādi īpašvērtības ir 6 un -1. Tad attiecīgie īpašvektori ir

Ja λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a–2b = 0

Vienkāršojot iepriekš minēto vienādojumu, mēs iegūstam,

5a=2b

Nepieciešamais īpašvektors ir,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Ja λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

vienkāršojot iepriekš minēto vienādojumu, mēs iegūstam,

a = -b

Nepieciešamais īpašvektors ir,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Tad dotās 2 × 2 matricas īpašvektori iregin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Šie ir divi iespējamie īpašvektori, taču daudzus no šo īpatnējo vektoru atbilstošajiem daudzkārtņiem var uzskatīt arī par citiem iespējamiem pašu vektoriem.

3 × 3 matricas pašvektors

3 × 3 matricas īpašvektoru var aprēķināt, izmantojot iepriekš minētās darbības. Tā paša piemērs ir,

Piemērs: atrodiet matricas A = īpašvērtības un īpašvektoru egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Risinājums:

Ja īpašvērtības tiek attēlotas, izmantojot λ un īpašvektors tiek attēlots kā v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Tad īpašvektoru aprēķina, izmantojot vienādojumu,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Vienkāršojot iepriekš minēto determinantu, mēs iegūstam

⇒ (2-l) (l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Ja λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Vienkāršojot iepriekš minēto vienādojumu, mēs iegūstam

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Pieņemsim, ka b = k₁un c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Tādējādi īpašvektors ir,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

ņemot k₁= 1 un k₂= 0

īpašvektors ir,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

ņemot k₁= 0 un k₂= 1

īpašvektors ir,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Ja λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Vienkāršojot iepriekš minēto vienādojumu, mēs iegūstam,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Pieņemsim, ka b = k₁un c = k₂, un ņemot k₁= k₂= 1,

mēs saņemam,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Tādējādi īpašvektors ir,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Eigenspace

Mēs definējam matricas īpatnējo telpu kā visu matricas īpašvektoru kopu. Visi vektori īpatnējā telpā ir lineāri neatkarīgi viens no otra.

Lai atrastu matricas īpatnējo telpu, mums ir jāveic šādas darbības

1. darbība: Atrodiet visas dotās kvadrātmatricas īpašvērtības.

2. darbība: Katrai īpašvērtībai atrodiet atbilstošo īpašvektoru.

3. darbība: Paņemiet visu īpašvektoru kopu (teiksim A). Šādi izveidoto rezultēto kopu sauc par nākamā vektora īpaštelpu.

No iepriekš minētā 3 × 3 matricas A piemēra šādi izveidotā īpaštelpa ir {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

char uz virkni java

Eigen vērtību pielietojums

Daži no izplatītākajiem īpašvērtību lietojumiem ir:

Lineārā algebra

Diagonalizācija: īpašvērtības tiek izmantotas, lai diagonalizētu matricas, vienkāršojot aprēķinus un efektīvāk risinot lineārās sistēmas.

Matricas kāpināšana: īpašvērtībām ir izšķiroša loma matricas kāpuma aprēķināšanā.

Kvantu mehānika

Šrēdingera vienādojums: Hamiltona operatora īpašvērtības atbilst kvantu sistēmu enerģijas līmeņiem, sniedzot informāciju par iespējamiem stāvokļiem.

Vibrācijas un strukturālā analīze:

Mehāniskās vibrācijas: Pašvērtības atspoguļo vibrāciju sistēmu dabiskās frekvences. Strukturālajā analīzē tie palīdz izprast struktūru stabilitāti un uzvedību.

Statistika

Kovariācijas matrica: daudzfaktoru statistikā īpašvērtības tiek izmantotas kovariācijas matricu analīzē, sniedzot informāciju par datu izplatību un orientāciju.

Datorgrafika

Galveno komponentu analīze (PCA): īpašvērtības tiek izmantotas PCA, lai atrastu datu kopas galvenās sastāvdaļas, samazinot dimensiju, vienlaikus saglabājot būtisku informāciju.

Vadības sistēmas

Sistēmas stabilitāte: Sistēmas matricas īpašvērtības ir ļoti svarīgas, lai noteiktu vadības sistēmas stabilitāti. Stabilitātes analīze palīdz nodrošināt, ka sistēmas reakcija ir ierobežota.

Diagonalizēt matricu, izmantojot īpašvērtības un īpašvektorus

Lai atrastu diagonālās matricas, tiek izmantotas pašvērtības un īpašvektori. A diagonālā matrica ir matrica, kuru var uzrakstīt kā

A = XDX ^-1

kur,

• D ir matrica, ko veido, aizstājot 1 identitātes matricā ar īpašvērtībām, un
• X ir matrica, ko veido īpašvektori.

Mēs varam saprast diagonālās matricas jēdzienu, izmantojot šādu piemēru.

Piemērs: Diagonalizē matricu A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Risinājums:

Mēs jau esam atrisinājuši A īpašvērtības un īpašvektorus = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

A īpatnējās vērtības ir λ = 0, λ = 0 un λ = -8

A īpašvektori iregin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Tādējādi

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Mēs varam viegli atrast X apgriezto vērtību kā,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Lasīt vairāk,

• Elementāra operācija uz matricām
• Identitātes matrica
• Matricas inverss

Atrisinātie piemēri uz pašvektoriem

1. piemērs: atrodiet matricas A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix} īpašvektorus

Risinājums:

Matricas īpatnējās vērtības tiek atrastas, izmantojot

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1–l)³= 0

Tādējādi īpatnējās vērtības ir,

λ = 1, 1, 1

Tā kā visas īpašvērtības ir vienādas, mums ir trīs identiski īpašvektori. Mēs atradīsim īpašvektorus λ = 1, izmantojot (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Atrisinot iepriekš minēto vienādojumu, mēs iegūstam,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Tad īpašvektors ir

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

2. piemērs: atrodiet matricas A = īpašvektorus egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Risinājums:

Matricas īpatnējās vērtības tiek atrastas, izmantojot

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5–l)²= 0

Tādējādi īpatnējās vērtības ir,

λ = 5,5

Tā kā visas īpašvērtības ir vienādas, mums ir trīs identiski īpašvektori. Mēs atradīsim īpašvektorus λ = 1, izmantojot

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Vienkārši sakot iepriekš minēto, mēs iegūstam,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Tad īpašvektors ir

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Bieži uzdotie jautājumi par elementvektoriem

Kas ir īpašvektori?

Mēs definējam jebkuras matricas īpašvektoru kā vektoru, kuru reizinot ar matricu, tiek iegūts matricas mērogošanas daudzkārtnis.

Kā atrast īpašvektorus?

Jebkuras matricas A īpašvektoru apzīmē ar iekšā . Matricas īpašvektoru aprēķina, vispirms atrodot matricas īpašvērtību.

• Matricas īpašvērtību nosaka, izmantojot formulu |A-λI| = 0, kur λ dod īpašvērtības.
• Pēc īpašvērtības atrašanas mēs atradām īpašvektoru pēc formulas Av = λv, kur v dod īpašvektoru.

Kāda ir atšķirība starp Eigenvalue un Eigenvector?

Jebkurai kvadrātmatricai A īpašvērtības attēlo λ un to aprēķina pēc formulas |A – λI| = 0. Pēc īpašvērtības atrašanas mēs atrodam īpašvektoru pēc, Av = λv.

Kas ir diagonalizējamā matrica?

Jebkura matrica, ko var izteikt kā trīs matricu reizinājumu kā XDX^-1ir diagonalizējama matrica šeit D sauc par diagonālo matricu.

Vai īpašvērtības un īpašvektori ir vienādi?

Nē, īpašvērtības un īpašvektori nav vienādi. Pašvērtības ir mērogotājs, ko izmanto, lai atrastu īpašvektorus, turpretī īpašvektori ir vektori, kurus izmanto, lai atrastu matricas vektoru transformācijas.

Vai Eigenvektors var būt nulles vektors?

Mēs varam noteikt, ka īpašvērtības ir nulle, bet īpašvektors nekad nevar būt nulles vektors.

Kas ir Eigenvektoru formula?

Jebkuras matricas īpašvektoru aprēķina, izmantojot formulu,

Izslēgts = λv

kur,
l ir īpašvērtība
iekšā ir īpašvektors