TRAPECVEIDA NOTEIKUMS: DEFINĪCIJA, FORMULA, PIEMĒRI UN BIEŽI UZDOTIE JAUTĀJUMI

Trapecveida noteikums ir viens no integrācijas pamatnoteikumiem, ko izmanto, lai definētu integrācijas pamata definīciju. Tas ir plaši izmantots noteikums, un Trapecveida noteikums ir nosaukts tā, jo tas dod laukumu zem līknes, sadalot līkni mazos trapeces formās, nevis taisnstūros.

Parasti mēs atrodam laukumu zem līknes, sadalot laukumu mazākos taisnstūros un pēc tam atrodam visu taisnstūru summu, bet trapecveida noteikumā laukums zem līknes tiek sadalīts trapecēs, un tad tiek aprēķināta to summa. Trapecveida likums tiek izmantots, lai skaitliskā analīzē atrastu noteiktu integrāļu vērtību. Šo noteikumu sauc arī par trapecveida likumu vai trapeces likumu. Šajā rakstā sīkāk uzzināsim par trapecveida likumu, tā formulu un pierādījumu, piemēru un citiem.

Kas ir trapecveida likums?

Trapecveida noteikums ir noteikums, ko izmanto, lai atrastu formas noteiktā integrāļa vērtību^b∫_af(x) dx. Mēs zinām, ka noteiktā integrāļa vērtība^b∫_af(x) dx ir laukums, kas atrodas zem līknes y = f(x) un x ass intervālā a un b uz x ass. Mēs aprēķinām šo laukumu, sadalot visu laukumu vairākos mazos taisnstūros un pēc tam atrodot to summu.

Trapecveida noteikumā, kā norāda nosaukums, laukums zem līknes ir sadalīts vairākās trapecēs un pēc tam tiek atrasta to summa, lai iegūtu līknes laukumu. Trapecveida noteikums nenodrošina vislabāko laukuma zem līknes aproksimāciju nekā Simpsona likums, taču tā rezultāts ir pietiekami precīzs un šis noteikums ir plaši izmantots noteikums aprēķinos.

Trapecveida noteikumu formula

Trapecveida likuma formula ir formula, ko izmanto, lai atrastu laukumu zem līknes. Tagad, lai atrastu laukumu zem līknes, izmantojot trapecveida likumu,

Pieņemsim, ka y = f(x) ir nepārtraukta līkne, kas noteikta slēgtā intervālā [a, b]. Tagad mēs sadalām slēgto intervālu [a, b] n vienādos apakšintervālos, katram no kuriem ir platums,

Δx = (b – a)/n

Tāds, ka,

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_n= b

Tagad, izmantojot trapecveida likuma formulu, mēs varam atrast laukumu zem līknes kā,

∫^b_af(x) dx = laukums zem līknes = (Δx/2) [y₀+ 2 (un₁+ un₂+ un₃+ ….. + un_n-1) + y_n]

kur, y₀, un₁, un₂,…. un_nir funkcijas vērtības attiecīgi pie x = 1, 2, 3, ….., n.

Trapecveida noteikumu formulas atvasināšana

Trapecveida noteikuma formula laukuma zem līknes aprēķināšanai tiek iegūta, sadalot laukumu zem līknes vairākās trapecēs un pēc tam atrodot to summu.

Paziņojums, apgalvojums:

Lai f(x) ir nepārtraukta funkcija, kas definēta intervālā (a, b). Tagad mēs sadalām intervālus (a, b) n vienādos apakšintervālos, kur katra intervāla platums ir,

Δx = (b – a)/n

tā, lai a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_n= b

Tad trapecveida likuma formula ir:

∫^b_af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_n)]

kur, x_i= a + i△x

Ja n → ∞, izteiksmes R.H.S dod noteiktu integrāli $int_{a}^{b}f(x) dx$

Pierādījums:

Šo formulu pierāda, sadalot laukumu zem dotās līknes, kā parādīts iepriekš attēlā, dažādās trapecēs. Pirmās trapeces augstums ir Δx un paralēlo pamatu garums ir f(x₀) un f(x₁)

Pirmās trapeces laukums = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Līdzīgi arī atlikušo trapecveida formu laukums ir (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], un tā tālāk.

Tagad mēs varam teikt, ka

∫^b_af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_n) )

Pēc vienkāršošanas mēs iegūstam,

∫^b_af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_n))

Tādējādi tiek pierādīts trapecveida likums.

Kā piemērot trapecveida likumu?

Trapecveida noteikums atrod laukumu zem līknes, sadalot laukumu zem līknes dažādās trapecēs un pēc tam atrod visu trapecveida formu summu. Trapecveida noteikums nav ideāls noteiktā integrāļa vērtības tuvinājums, jo tas izmanto kvadrātisko tuvinājumu.

Mums jāatrod noteiktā integrāļa vērtība ∫^b_af(x) dx. Noteiktā integrāļa vērtību var aprēķināt, izmantojot trapecveida likumu, veicot tālāk norādītās darbības.

1. darbība: Atzīmējiet apakšintervālu vērtību n un intervālus a un b.

2. darbība: Atrodiet apakšintervāla (△x) platumu, izmantojot formulu △x = (b – a)/n

3. darbība: Ievietojiet visas vērtības trapecveida likuma formulā un atrodiet dotās līknes aptuveno laukumu, kas attēlo noteiktu integrāli ∫^b_af(x) dx

∫ ^b _a f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

kur, x _i = a + i△x

Trapecveida likuma summēšanas apzīmējums

Mēs zinām, ka trapeces laukums pamatā ir paralēlo malu garuma vidējais lielums, kas reizināts ar augstumu. Tātad šajā gadījumā apsveriet i trapecveida formu^thintervāls,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Tā kā kopējā platība ir visu laukumu summa,

A = A₁+ A₂+ ….+ A_n

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

To sauc par trapecveida summu sigma apzīmējumu vai summēšanas apzīmējumu.

Rīmanis Sums

Rīmanis apkopo darbu pie idejas par laukumu zem līknes sadalīt dažādās taisnstūra daļās. Palielinoties taisnstūru skaitam, laukums kļūst arvien tuvāks pašreizējam laukumam. Zemāk redzamajā attēlā ir funkcija f(x). Šīs funkcijas laukums ir sadalīts daudzos taisnstūros. Kopējais laukums zem līknes ir visu taisnstūru laukumu summa.

Ievērojiet, ka iepriekš redzamajā attēlā taisnstūru labais gals pieskaras līknei. To sauc par labās puses Rīmaņa summām.

Citā gadījumā, kad taisnstūru kreisais gals pieskaras līknei, kā parādīts zemāk esošajā attēlā, tos sauc par kreisās Rīmaņa summām.

Pieņemsim, ka Δx ir intervāla platums, n ir intervālu skaits, kā norādīts iepriekš. Tad līknes laukumu, ko attēlo summa, nosaka ar:

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Vidējā punkta summas

Rīmaņa summās taisnstūra kreisais vai labais gals pieskaras līknei. Šajā gadījumā taisnstūra viduspunkts pieskaras līknei. Viss pārējais ir tas pats, kas Rīmaņa summas. Zemāk redzamajā attēlā parādīta funkcija f(x) un dažādi taisnstūri viduspunktu summās.

Teiksim, A_iapzīmē i laukumu^thtaisnstūris. Šā taisnstūra laukums šajā gadījumā būs

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Tagad kopējo laukumu summēšanas apzīmējumā sniegs šādi:

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

Lasīt vairāk,

Integrācijas formulas
Integrācija pa daļām
Diferenciācijas un integrācijas formula

Atrisināts piemērs trapecveida likumam

1. piemērs: atrodiet apgabalu, ko ierobežo funkcija f(x) starp x = 0 līdz x = 4 ar 4 intervāliem.

f(x) = 4

Risinājums:

Šeit a = 0, b = 4 un n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecveida noteikums n = 4 ir,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Aizstājot vērtības šajā vienādojumā,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

2. piemērs. Atrodiet apgabalu, ko ierobežo funkcija f(x) starp x = 0 līdz x = 3 ar 3 intervāliem.

f(x) = x

Risinājums:

Šeit a = 0, b = 3 un n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecveida noteikums n = 3 ir,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Aizstājot vērtības šajā vienādojumā,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Labā bultiņa T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Labā bultiņa T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$
meklētājprogramma un piemēri

3. piemērs. Atrodiet apgabalu, ko ierobežo funkcija f(x) starp x = 0 līdz x = 2 ar 2 intervāliem.

f(x) = 2x

Risinājums:

Šeit a = 0, b = 2 un n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecveida noteikums n = 2 ir,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Aizstājot vērtības šajā vienādojumā,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Labā bultiņa T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

4. piemērs. Atrodiet apgabalu, ko ierobežo funkcija f(x) starp x = 0 līdz x = 3 ar 3 intervāliem.

f(x) = x ²

Risinājums:

Šeit a = 0, b = 3 un n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecveida noteikums n = 3 ir,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Aizstājot vērtības šajā vienādojumā,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Labā bultiņa T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

5. piemērs. Atrodiet apgabalu, ko ierobežo funkcija f(x) starp x = 0 līdz x = 4 ar 4 intervāliem.

f(x) = x ³ +1

Risinājums:

Šeit a = 0, b = 4 un n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecveida noteikums n = 4 ir,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Aizstājot vērtības šajā vienādojumā,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Labā bultiņa T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Labā bultiņa T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Labā bultiņa T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Labā bultiņa T_n= 72$

6. piemērs. Atrodiet apgabalu, ko ierobežo funkcija f(x) starp x = 0 līdz x = 4 ar 4 intervāliem.

f(x) = e ^x

Risinājums:

Šeit a = 0, b = 4 un n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecveida noteikums n = 4 ir,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Aizstājot vērtības šajā vienādojumā,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Pa labi T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Labā bultiņa T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Trapecveida likuma pielietojumi

Skaitliskā integrācija:

Trapecveida noteikuma primārais pielietojums ir noteiktu integrāļu tuvināšana. To izmanto, ja funkcijas integrēšana ir sarežģīta, un skaitliskā pieeja ir vairāk iespējama. Trapecveida noteikums bieži vien ir daļa no progresīvākām skaitliskās integrācijas metodēm.

Fizika un inženierzinātnes:

Fizikā un inženierzinātnēs trapecveida likumu var izmantot, lai aprēķinātu tādus lielumus kā pārvietojums, ātrums un paātrinājums. Piemēram, ja eksperimentālos datus vāc ar diskrētiem laika intervāliem, trapecveida likumu var izmantot, lai novērtētu laukumu zem līknes, nodrošinot integrāļa tuvinājumu.

Ekonomika un finanses:

Trapecveida likumu var izmantot finanšu modelēšanā, lai novērtētu nākotnes naudas plūsmu pašreizējo vērtību. Tas ir īpaši noderīgi diskontētās naudas plūsmas (DCF) analīzē, kur mērķis ir aprēķināt ieguldījuma neto pašreizējo vērtību.

Statistika:

Statistikā trapecveida likumu var izmantot, lai novērtētu laukumu zem varbūtības blīvuma funkcijām vai kumulatīvā sadalījuma funkcijām. Tas ir īpaši noderīgi gadījumos, kad precīza izplatīšanas forma nav zināma vai sarežģīta.

Bieži uzdotie jautājumi par trapecveida kārtulu

Q1: Kas ir trapecveida noteikums?

Atbilde:

Trapecveida noteikums ir noteikums, ko izmanto, lai atrastu noteiktu integrāli, kas sadala laukumu zem līknes vairākos trapeces veidos, pēc tam tiek atrasts to individuālais laukums un pēc tam tiek aprēķināta summa, lai iegūtu noteiktā integrāļa vērtību.

Q2: Kas ir trapecveida noteikumu formula?

Atbilde:

Trapecveida likuma formula ir:

∫ ^b _a f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

Q3: Kāpēc to sauc par trapecveida noteikumu formulu?

Atbilde:

Trapecveida likuma formulu sauc par trapecveida likumu, jo tā sadala laukumu zem līknes vairākās trapecēs un pēc tam to laukumu aprēķina, atrodot trapecveida formu summu.

Q4: Kāda ir atšķirība starp trapecveida likumu un Rīmaņa summas likumu?

Atbilde:

Galvenā atšķirība starp trapecveida likumu un Rīmaņa summas likumu ir tāda, ka trapecveida likums sadala laukumu zem līknes kā trapeces un pēc tam atrod laukumu, ņemot to summu, turpretim Rīmaņa summas dala laukumu zem līknes kā trapeci un pēc tam atrod apgabalu, ņemot to summu.