logo

TechCodeview

Rindas ešelona forma

Matrica ir rindas ešelona formā, ja tai ir šādas īpašības:

  • Jebkura rinda, kas sastāv tikai no nullēm, atrodas matricas apakšā.
  • Katrai rindai, kurā nav tikai nulles, pirmais ieraksts, kas nav nulles, ir 1 (to sauc par sākuma 1).
  • Divām secīgām (kas nav nulle) rindām vadošais 1 augstākajā rindā tiek atstāts tālāk nekā pirmais apakšējā rindā.

Samazinātas rindas ešelona formā katras rindas pirmajā 1. zem un virs tās šajā kolonnā ir 0.



Tālāk ir parādīts rindas ešelona formas piemērs:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

un samazināta rindas ešelona forma:



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Jebkuru matricu var pārveidot reducētā rindas ešelonā, izmantojot metodi, ko sauc par Gausa elimināciju. Tas ir īpaši noderīgi, risinot lineāro vienādojumu sistēmas.

Gausa eliminācija

Gausa eliminācija ir veids, kā pārveidot matricu reducētās rindas ešelona formā. To var izmantot arī kā veidu, kā atrast risinājumu lineāro vienādojumu sistēmas risinājumam. Ideja ir tāda, ka mēs veicam dažas matemātiskas darbības rindā un turpinām, līdz paliek tikai viens mainīgais.



Tālāk ir norādītas dažas darbības, kuras mēs varam veikt:

  • Apmainiet jebkuras divas rindas
  • Pievienojiet divas rindas kopā.
  • Reiziniet vienu rindu ar konstanti, kas nav nulle (t.i., 1/3, -1/5, 2).

Dots šāds lineārais vienādojums:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

pievienojot virkni java

un iepriekš esošā paplašinātā matrica

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Tagad mums tas jāpārvērš rindas ešelona formā. Lai to pārvērstu rindas ešelona formā, mums jāveic Gausa eliminācija.

Pīta Deividsona pilsonība
  • Pirmkārt, mums ir jāatņem 2 * r1no r2un 4*r1no r3lai iegūtu 0 r pirmajā vietā2un r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • Tālāk mēs apmainīsim rindas, r2 un r3, un pēc tam atņemsim 5 * r2no r3lai iegūtu otro 0 trešajā rindā.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Tagad mēs varam secināt vērtību Ar no r3,t.i., 10 z = 0 ⇾ z = 0. Ar z =0 vērtības palīdzību mēs varam likt to uz r2, y = 2. Tāpat mēs varam ievietot y un z vērtību r1un mēs iegūstam vērtību x=3

Matricas rangs

Matricas rangs ir rindu skaits, kas atšķiras no nulles rindu ešelona formā. Lai atrastu rangu, mums jāveic šādas darbības:

  • Atrodiet dotās matricas rindas-ešelonu formu
  • Saskaitiet to rindu skaitu, kas nav nulles.

Ņemsim matricas piemēru:

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Tagad mēs reducējam iepriekš minēto matricu uz rindas ešelonu formu

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Šeit tikai divās rindās ir elementi, kas nav nulle. Tādējādi matricas rangs ir 2.

Īstenošana

  • Lai matricu pārveidotu samazinātā rindas ešelona formā, mēs izmantojām Sympy pakotni programmā python, vispirms mums tā jāinstalē.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Izvade: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>