Permutācija un kombinācija ir vissvarīgākie matemātikas jēdzieni, un ar šiem jēdzieniem studenti tiek iepazīstināti ar jaunu matemātikas nozari, t.i., kombinatoriku. Permutācija un kombinācija ir veidi, kā sakārtot objektu grupu, atlasot tos noteiktā secībā un veidojot to apakškopas.

Lai sakārtotu datu grupas noteiktā secībā, tiek izmantotas permutācijas un kombinācijas formulas. Datu vai objektu atlase no noteiktas grupas tiek uzskatīta par permutāciju, savukārt secību, kādā tie ir sakārtoti, sauc par kombināciju.

Permutācijas un kombinācijas

Šajā rakstā mēs pētīsim permutācijas un kombinācijas jēdzienu un to formulas, izmantojot tās arī daudzu paraugu problēmu risināšanai.

Satura rādītājs

• Permutācijas nozīme
• Kombinācijas nozīme
• Permutācijas un kombināciju formulu atvasināšana
• Atšķirība starp permutāciju un kombināciju
• Atrisināti piemēri par permutāciju un kombināciju

Permutācijas nozīme

Permutācija ir noteikta komponentu skaita atšķirīga interpretācija, kas tiek pārnesta pa vienam, dažiem vai visiem vienlaikus. Piemēram, ja mums ir divi komponenti A un B, tad ir divi iespējamie rādītāji, AB un BA.

Permutāciju skaits, kad “r” komponenti ir novietoti ārpus “n” komponentu kopskaita ⁿ P _r . Piemēram, pieņemsim, ka n = 3 (A, B un C) un r = 2 (visas 2. izmēra permutācijas). Tad ir ³ P ₂ šādas permutācijas, kas ir vienādas ar 6. Šīs sešas permutācijas ir AB, AC, BA, BC, CA un CB. Sešas A, B un C permutācijas, kas uzņemtas trīs vienlaikus, ir parādītas tālāk pievienotajā attēlā:

Permutācijas nozīme

Permutācijas formula

Permutācijas formula tiek izmantots, lai atrastu atlases veidu skaitu r lietas no n dažādas lietas noteiktā secībā un nomaiņa nav atļauta un tiek norādīta šādi:

mac operētājsistēmas

Permutācijas formula

Permutācijas formulas skaidrojums

Kā zināms, permutācija ir r lietu izkārtojums no n, kur izkārtojuma secība ir svarīga (AB un BA ir divas dažādas permutācijas). Ja ir trīs dažādi cipari 1, 2 un 3 un ja kādam ir interese momentā pārmainīt ciparus, kas aizņem 2, tas parāda (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3). ), (3, 1) un (3, 2). Tas ir, to var paveikt 6 metodēs.

Šeit (1, 2) un (2, 1) ir atšķirīgi. Atkal, ja šie 3 cipari tiek apstrādāti vienlaikus, tad interpretācijas būs (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) un (3, 2, 1), t.i., 6 veidos.

Kopumā var iestatīt n dažādas lietas, izmantojot r (r^thlieta var būt jebkura no atlikušajām n – (r – 1) lietām.

Tādējādi viss permutāciju skaits n dažādām lietām, kurām vienlaikus ir r, ir n(n – 1) (n – 2)…[n – (r – 1)], kas tiek uzrakstīts kāⁿP_r. Vai, citiem vārdiem sakot,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Kombinācijas nozīme

Tās ir atsevišķas sadaļas no kopīga skaita komponentiem, kas tiek pārvadāti pa vienam, dažiem vai visiem vienlaikus. Piemēram, ja ir divi komponenti A un B, tad ir tikai viens veids, kā atlasīt divas lietas, atlasiet tās abas.

Piemēram, pieņemsim, ka n = 3 (A, B un C) un r = 2 (visas 2. izmēra kombinācijas). Tad ir ³ C ₂ šādas kombinācijas, kas ir vienāds ar 3. Šīs trīs kombinācijas ir AB, AC un BC.

Lūk, kombinācija no jebkuriem diviem burtiem no trim burtiem A, B un C, kas ir parādīti zemāk, mēs pamanām, ka kombinācijā secība, kādā tiek ņemta A un B, nav svarīga, jo AB un BA apzīmē vienu un to pašu kombināciju.

Kombinācijas nozīme

Piezīme: Tajā pašā piemērā mums ir atšķirīgi punkti permutācijai un kombinācijai. Jo AB un BA ir divi atšķirīgi vienumi, t.i., divas atšķirīgas permutācijas, bet atlasei AB un BA ir vienādi, t.i., viena un tā pati kombinācija.

Kombinētā formula

Kombinācijas formula tiek izmantota, lai izvēlētos “r” komponentus no kopējā “n” komponentu skaita, un to nosaka:

Kombinētā formula

Izmantojot iepriekš minēto formulu r un (n-r), mēs iegūstam tādu pašu rezultātu. Tādējādi

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Kombinācijas formulas skaidrojums

Kombinācija, savukārt, ir iepakojuma veids. Atkal, no šiem trim skaitļiem 1, 2 un 3, ja kopas ir izveidotas ar diviem skaitļiem, tad kombinācijas ir (1, 2), (1, 3) un (2, 3).

Šeit (1, 2) un (2, 1) ir identiski, atšķirībā no permutācijām, kur tās ir atšķirīgas. Tas ir rakstīts kā³C₂. Kopumā n atšķirīgu lietu kombināciju skaits, kas ņemtas r vienlaikus, ir,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Permutācijas un kombināciju formulu atvasināšana

Mēs varam iegūt šīs permutācijas un kombināciju formulas, izmantojot pamata skaitīšanas metodes, jo šīs formulas attēlo vienu un to pašu. Šo formulu atvasināšana ir šāda:

Permutāciju formulas atvasināšana

Permutācija ir r atšķirīgu objektu atlase no n objektiem bez aizstāšanas un kur atlases secība ir svarīga, izmantojot skaitīšanas pamatteorēmu un permutācijas definīciju, mēs iegūstam

P (n, r) = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

Reizinot un dalot iepriekš ar (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, mēs saņemam

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n−r)!] / (n−r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Tādējādi tiek iegūta formula P (n, r).

Kombināciju formulas atvasināšana

Kombinācija ir r vienumu izvēle no n vienumiem, ja atlases secībai nav nozīmes. Tās formula tiek aprēķināta šādi:

C(n, r) = kopējais permutāciju skaits / dažādu objektu kārtošanas veidu skaits.
[Tā kā ar skaitīšanas pamatteorēmu mēs zinām, ka vairāki veidi, kā sakārtot r dažādus objektus r veidos = r!]

C(n,r) = P (n, r)/ r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Tādējādi tiek iegūta kombinācijas formula, t.i., C(n, r).

Atšķirība starp permutāciju un kombināciju

Atšķirības starp permutāciju un kombināciju var saprast pēc šādas tabulas:

Pārbaudiet arī,

• Binomiālā teorēma
• Binomiālā paplašināšana
• Binomiālie nejaušie mainīgie
• Skaitīšanas pamatteorēma

Atrisināti piemēri par permutāciju un kombināciju

1. piemērs. Atrodiet permutāciju un kombināciju skaitu n = 9 un r = 3 .

Risinājums:

Pieņemts, ka n = 9, r = 3

Izmantojot iepriekš norādīto formulu:

Permutācijai:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

Kombinācijai:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

2. piemērs. Cik daudzos veidos komiteju, kurā ir 4 vīrieši un 2 sievietes, var izvēlēties no 6 vīriešiem un 5 sievietēm?

Risinājums:

Izvēlieties 4 vīriešus no 6 vīriešiem =⁶C₄veidi = 15 veidi

Izvēlieties 2 sievietes no 5 sievietēm =⁵C₂veidi = 10 veidi

Komiteju var izvēlēties⁶C₄×⁵C₂= 150 veidi.

3. piemērs. Cik daudzos veidos plauktā var izkārtot 5 dažādas grāmatas?

Risinājums:

Tā ir permutācijas problēma, jo grāmatu secībai ir nozīme.

Izmantojot permutācijas formulu, mēs iegūstam:

⁵P₅= 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Tāpēc ir 120 veidi, kā plauktā sakārtot 5 dažādas grāmatas.

4. piemērs. Cik 3 burtu vārdus var izveidot, izmantojot burtus no vārda FABLE?

Risinājums:

Šī ir permutācijas problēma, jo burtu secībai ir nozīme.

Izmantojot permutācijas formulu, mēs iegūstam:

⁵P₃= 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Tāpēc ir 60 3 burtu vārdi, kurus var izveidot, izmantojot burtus no vārda FABLE.

5. piemērs: Komiteja 5 locekļu sastāvā ir jāveido no 10 cilvēku grupas. Cik daudzos veidos to var izdarīt?

Risinājums:

Tā ir kombinācijas problēma, jo dalībnieku secībai nav nozīmes.

Izmantojot kombinācijas formulu, mēs iegūstam:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Tāpēc ir 252 veidi, kā no 10 cilvēku grupas izveidot komiteju, kurā ir 5 locekļi.

6. piemērs: picu restorāns piedāvā 4 dažādas piedevas savām picām. Ja klients vēlas pasūtīt picu ar tieši 2 piedevām, cik daudzos veidos to var izdarīt?

Risinājums:

Tā ir kombinācijas problēma, jo pildījumu secībai nav nozīmes.

Izmantojot kombinācijas formulu, mēs iegūstam:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Tāpēc ir 6 veidi, kā pasūtīt picu ar tieši 2 piedevām no 4 dažādām piedevām.

7. piemērs. Cik nozīmīgus vārdus var izveidot, izmantojot 2 burtus no vārda LOVE?

Risinājums:

Terminam MĪLESTĪBA ir 4 atšķirīgi burti.

Tāpēc nepieciešamais vārdu skaits =⁴P₂= 4! / (4-2)!

Nepieciešamais vārdu skaits = 4! / 2! = 24/2

⇒ Nepieciešamais vārdu skaits = 12

8. piemērs: Cik vārdus no 3 līdzskaņiem un 2 patskaņiem var izveidot no 5 līdzskaņiem un 3 patskaņiem?

Risinājums:

3 līdzskaņu izvēles veidu skaits no 5 =⁵C₃

2 patskaņu izvēles veidu skaits no 3 =³C₂

Veidu skaits, kā izvēlēties 3 līdzskaņus no 2 un 2 patskaņus no 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Nepieciešamais skaitlis = 10 × 3

= 30

Tas nozīmē, ka mums var būt 30 grupas, kur katrā grupā kopā ir 5 burti (3 līdzskaņi un 2 patskaņi).

5 burtu sakārtošanas veidu skaits savā starpā

pilsēta ASV

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Tādējādi nepieciešamais veidu skaits = 30 × 120

⇒ Nepieciešamais ceļu skaits = 3600

9. piemērs. Cik dažādu kombināciju jūs iegūstat, ja jums ir 5 preces un izvēlaties 4?

Risinājums:

Ievietojiet dotos skaitļus kombināciju vienādojumā un atrisiniet. n ir komplektā esošo vienumu skaits (5 šajā piemērā); r ir jūsu izvēlēto vienumu skaits (4 šajā piemērā):

C(n, r) = n! / r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5-4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Risinājums ir 5.

10. piemērs. No 6 līdzskaņiem un 3 patskaņiem, cik izteiksmju var izveidot no 2 līdzskaņiem un 1 patskaņu?

Risinājums:

2 līdzskaņu atlases veidu skaits no 6 =⁶C₂

1 patskaņu atlases veidu skaits no 3 =³C₁

Veidu skaits, kā izvēlēties 3 līdzskaņus no 7 un 2 patskaņus no 4.

⇒ Nepieciešamie veidi =⁶C₂׳C₁

⇒ Nepieciešamie veidi = 15 × 3

⇒ Nepieciešamie veidi = 45

Tas nozīmē, ka mums var būt 45 grupas, kur katrā grupā kopā ir 3 burti (2 līdzskaņi un 1 patskaņi).

3 burtu sakārtošanas veidu skaits savā starpā = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Nepieciešamie veidi, kā sakārtot trīs burtus = 6

Tādējādi nepieciešamais veidu skaits = 45 × 6

⇒ Nepieciešamie veidi = 270

11. piemērs: cik dažādās formās vai termina “PHONE” burtus var sakārtot tā, lai patskaņi būtu konsekventi nākt kopā?

Risinājums:

npm notīrīt kešatmiņu

Vārdam “PHONE” ir 5 burti. Tajā ir patskaņi “O”, “E”, un šiem diviem patskaņiem vienmēr ir jābūt kopā. Tādējādi šos divus patskaņus var grupēt un skatīt kā vienu burtu. Tas ir, PHN(OE).

Tāpēc mēs varam ņemt burtus, piemēram, 4, un visi šie burti ir atšķirīgi.

Metožu skaits šo burtu sakārtošanai = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Nepieciešamie veidi, kā sakārtot burtus = 24

Visi 2 patskaņi (OE) ir atšķirīgi.

Veidu skaits, kā šos patskaņus sakārtot savā starpā = 2! = 2 × 1

⇒ Nepieciešamie patskaņu kārtošanas veidi = 2

Tādējādi nepieciešamais ceļu skaits = 24 × 2

⇒ Nepieciešamie veidi = 48.

Bieži uzdotie jautājumi par permutācijām un kombinācijām

Kāda ir faktoriālā formula?

Permutāciju un kombināciju aprēķināšanai tiek izmantota faktoriālā formula. Faktoru formula n! tiek dota kā

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Piemēram, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 un 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Ko dara ⁿ C _r pārstāvēt?

ⁿC_rapzīmē kombināciju skaitu, no kurām var izveidot n priekšmetu ņemšana r laikā.

Ko jūs domājat ar permutācijām un kombinācijām?

Permutācija ir darbība, kurā lietas tiek sakārtotas noteiktā secībā. Kombinācijas ir atlases veidi r objekti no grupas n objekti, kur izvēlētā objekta secība neietekmē kopējo kombināciju.

Uzrakstiet permutāciju un kombināciju piemērus.

3 burtu vārdu skaits, ko var veidot, izmantojot vārda burtus saka: HELLO;⁵P₃= 5!/(5-3)! šis ir permutācijas piemērs.
Kombināciju skaits, ko varam rakstīt, izmantojot vārda HELLO patskaņus;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], šis ir kombinācijas piemērs.

Uzrakstiet formulu permutāciju un kombināciju atrašanai.

• Formula permutāciju aprēķināšanai: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Kombināciju aprēķināšanas formula: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Uzrakstiet dažus reālās dzīves piemērus permutācijām un kombinācijām.

Cilvēku, ciparu, burtu un krāsu šķirošana ir daži permutāciju piemēri.
Izvēlnes, apģērbu un priekšmetu atlase ir kombināciju piemēri.

Kāda ir 0 vērtība!?

Vērtība 0! = 1, ir ļoti noderīgs permutācijas un kombinācijas problēmu risināšanā.