Konusa frustum ir īpaša forma, kas veidojas, griežot konusu ar plakni, kas ir paralēla tā pamatnei. Konuss ir trīsdimensiju forma ar apļveida pamatni un virsotni. Tātad konusa frustum ir ciets tilpums, kas veidojas, noņemot daļu no konusa ar plakni, kas ir paralēla apļveida pamatnei. Frustum ir definēts ne tikai konusiem, bet to var definēt arī dažāda veida piramīdām (kvadrātveida piramīda, trīsstūrveida piramīda utt.).

Dažas no izplatītākajām konusa konusa formām, kuras mēs atklājam savā ikdienā, ir spaiņi, lampas abažūrs un citas. Ļaujiet mums uzzināt vairāk par konusu frustum šajā rakstā.

Kas ir Frustum of Cone?

Frustum ir latīņu vārds, kas nozīmē gabaliņi, tāpēc konusa frustum ir ciets konusa gabals. Kad labais apļveida konuss ir nogriezta plaknē, kas ir paralēla konusa pamatnei, šādi iegūto formu sauc par konusa frustum. Zemāk redzamais attēls parāda, kā plakne sagriež konusu paralēli tā pamatnei, veidojot konusa nogriezni.

Tagad konusa frustum ir viegli definējams kā

Ja labo riņķveida konusu nogriež plakne, kas ir paralēla tā pamatnei, daļas formu starp griešanas plakni un pamatplakni sauc par konusa frustum.

Konusa gabala tīkls

Ja trīsdimensiju (3D) formu izgriež un izveido divdimensiju formu, šādi iegūto formu sauc par tīklu. Var pieņemt, ka, pareizi salocot figūras tīklu, tas veido vēlamo 3D formu. Zemāk redzamajā attēlā ir redzams konusa frustum tīkls.

Konusa gabala īpašības

Konusa frustum īpašības ir ļoti līdzīgas konusam, dažas no svarīgām konusa frustum īpašībām ir:

• Konusa pamatne Sākotnējais konuss atrodas konusa kauliņā, bet tā virsotne neietilpst griezumā.
• Konusa frustum formulas ir atkarīgas no tā augstuma un diviem rādiusiem (kas atbilst augšējai un apakšējai pamatnei).
• Konusa frustuma augstums ir perpendikulārs attālums starp tā divu pamatu centriem.

Konusa gabala formulas

Frustum of Cone ir tāda forma, kas bieži sastopama mūsu ikdienā, piemēram, galda lampas, spaiņi utt. Svarīgas formulas konusa frustumam ir:

• Konusa gabala apjoms
• Konusa frustum virsmas laukums

Tālāk sīkāk uzzināsim par šīm formulām,

Konusa gabala apjoms

Konusa frustum ir sagriezta konusa daļa, kur no lielākā konusa tiek noņemts neliels konuss. Tāpēc, lai aprēķinātu konusa frustum tilpumu, vienkārši jāaprēķina starpība starp lielākā un mazākā konusa tilpumu.

Pieņemsim,

• Kopējam konusa augstumam jābūt H + h
• Kopējais slīpuma augstums ir l’+L
• Pilna konusa rādiuss ir r
• Sagrieztā konusa rādiuss ir r'

Tā kā konusa tilpums ir dots kā V = 1/3πr²h

Pilna konusa V tilpums₁= 1/3πr²(H+h)

Mazāka konusa V tilpums₂=1/3πr’²(h)

java int uz virkni

Tagad konusa (V) griezuma tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu,

V=V₁- IEKŠĀ₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Izmantojot △OCD un △OAB trīsstūru līdzības īpašību, var uzrakstīt,

r / (H + h) = r’ / h

r/r’ = (H+h)/h

H + h = h/r’

Aizstājiet šo (H+h) vērtību vienādojumā (1) un vienkāršojiet,

V = 1/3π[r²(rh / r') - r'²(h)}

= 1/3π[{st³- st'³} / r’]…(2)

Izmantojot līdzīgu trīsstūra īpašību vēlreiz △OCD un △OAB, mēs uzzināsim h vērtību

r / (H + h) = r’ / h

r/r’ = (H+h)/h

rh = (H + h)r'

rh = Hr' + hr'

(r -r’)h = Hr'

h = Hr' / (r -r')

Aizvietojot šīs vērtības vienādojumā (2),

V = 1/3π[{r³h – r³h}/r’]

= 1/3π[{r³- r'³}h/r']

= 1/3π[{r³- r'³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r'²+rr’)

Tādējādi

Nogrieztā konusa tilpums = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr’)

Konusa frustum virsmas laukums

Konusa frustum virsmas laukumu var aprēķināt pēc starpības starp visa konusa virsmas laukums un mazākais konuss (noņemts no visa konusa). Nogrieztā konusa virsmas laukumu var aprēķināt, izmantojot zemāk redzamo diagrammu, kur ir jāsaskaita izliekto virsmu virsmas laukumi un konusa griezuma augšējās un apakšējās virsmas laukumi.

Līdzīgi kā konusa frustum tilpumam, arī izliektā virsmas laukums būs vienāds ar starpību starp lielākā un mazākā konusa virsmas laukumiem.

Iepriekš redzamajā attēlā trīsstūri OAB un OCD ir līdzīgi. Tāpēc, izmantojot līdzības kritērijus, var rakstīt,

l’/l = r’/r…(1)

Tā kā l’ = l – L, tāpēc no vienādojuma (1),

(l – L) / l = r’ / r

Pēc savstarpējās reizināšanas,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Pilna konusa izliektā virsmas laukums = πrl

Mazākā konusa izliektās virsmas laukums = πr’l’

Atšķirība starp pilna un mazāka konusa izliektajām virsmas laukumiem = π (rl – r’l’)

Tādējādi nogrieztā konusa izliektās virsmas laukums (CSA) = πl (r – r’l’/l)

Izmantojiet vienādojumu (1), lai aizstātu l’/l vērtību iepriekš minētajā vienādojumā un vienkāršotu,

CSA konusa frustum = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²- r'²)/r

Tagad aizstājiet l vērtību no vienādojuma (2) un vienkāršojiet,

Nogrieztā konusa CSA = πlr/(r – r’)× (r²- r'²)/r = πl (r + r')

Tādējādi var rakstīt,

Nogrieztā konusa izliektās virsmas laukums = πl (r + r’)

Tagad aprēķināsim konusa frustuma augšējās un apakšējās pamatnes virsmas laukumu tā, lai

Nogrieztā konusa augšējās pamatnes virsmas laukums ar rādiusu r’ = πr’²

Nogrieztā konusa apakšējās pamatnes virsmas laukums ar rādiusu r = πr²

Tātad,

Kopējais konusa griezuma virsmas laukums = konusa kauliņa izliektās virsmas laukums + augšējās pamatnes virsmas laukums + apakšējās pamatnes virsmas laukums

Tāpēc

Kopējais konusa griezuma virsmas laukums = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Tādējādi konusa griezuma kopējais virsmas laukums ir = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Šo formulu var uzrakstīt arī kā

Kopējais konusa griezuma virsmas laukums ir = πl (r²- r'²)/r + π (r²+ r'²)

Tātad var rakstīt,

Kopējais konusa griezuma virsmas laukums = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

vai

Kopējais konusa griezuma virsmas laukums = πl (r ² - r' ² )/r + π (r ² + r' ² )

Ņemiet vērā, ka l ir mazākā konusa slīpuma augstums, ko var norādīt kā

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Lasīt vairāk

• Konusa tilpums
• Cilindra tilpums
• Sfēras tilpums

Atrisināti piemēri par konusa fragmentu

1. piemērs: noskaidrojiet 15 cm augsta konusa kauliņa tilpumu un abu pamatu rādiusi ir 5 cm un 8 cm.

Risinājums:

Izmantojot iepriekš pētīto formulu, var uzrakstīt,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr’)

Ņemot vērā,

H = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

2. piemērs: Noskaidrojiet 10 cm augsta konusa kauliņa virsmas laukumu un kopējo virsmas laukumu, un abu pamatu rādiusi ir 4 cm un 8 cm.

Risinājums:

Mēs zinām frustum virsmas laukuma un kopējās virsmas laukuma formulu. Mums ir jāpievieno vajadzīgās vērtības.

Griezuma izliektās virsmas laukums = πl(r+r’)

kur,
L = √ [H²+ (R–R)²]

Ņemot vērā,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Aprēķinot L vērtību,

L = √ [10²+ (8–4)²]

= √(100+16) = √(116)

Frustum izliektās virsmas laukums = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Kopējais virsmas laukums = Frustum izliektās virsmas laukums + abu pamatu laukums

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

3. piemērs. Pieņemsim, ka mums ir atvērts metāla spainis, kura augstums ir 50 cm un pamatnes rādiusi ir 10 cm un 20 cm. Atrodiet apgabalu metāla loksne, ko izmanto kausa izgatavošanai.

Risinājums:

Spainis ir frustum formā, kas aizvērts no apakšas. Mums jāaprēķina šī frustum kopējā virsmas laukums.

Ņemot vērā
H = 50 cm
r ‘= 10 cm
r = 20 cm

Frustum izliektās virsmas laukums = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

python programmas

L = √ [50²+ (20–10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Frustum izliektās virsmas laukums = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Kopējais virsmas laukums = Frustum izliektās virsmas laukums + abu pamatu laukums

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

4. piemērs: noskaidrojiet frustum tilpuma izteiksmi, ja tā augstums ir 6y un tā rādiusi ir attiecīgi y un 2y.

Risinājums:

Izmantojot iepriekš pētīto formulu,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr’)

Ņemot vērā,

H = 6 gadi
r'= y
r = 2 gadi

V = 1/3 π6[(2y)²+ (un)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πg³vienība³

Bieži uzdotie jautājumi par Piece of Cone

1. jautājums: Kas ir konusa frustum?

Atbilde:

Kad griežam konusu tā, lai griešanas plakne būtu paralēla konusa pamatnei. Šādi iegūto skaitli sauc par konusa frustum.

2. jautājums: Kas ir konusa formulu Frustum?

Atbilde:

Tālāk ir apskatītas konusa frustum formulas. Ņemsim pamatrādiusu “R” un augšējo rādiusu “r”, augstumu “H” un slīpuma augstumu, tad

• Konusa gabala tilpums (V) = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)
• Kopējais konusa sagrieztā virsmas laukums = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

3. jautājums. Kas ir frustum CSA?

Atbilde:

Konusa griezuma izliekto virsmu aprēķina, izmantojot formulu,

CSA = πl (r + r')

kur,
r' ir frustum augšējā apļa rādiuss
r ir rādiusa bāze
l ir slīpa augstums

4. jautājums: kāds ir konusa Frustum virsmas laukums?

Atbilde:

Konusa griezuma virsmas laukumu aprēķina, izmantojot formulu,

• Konusa gabala CSA = πl [ (r²- r'²) / r’ ]
• Konusa frustum TSA = π (r²+ r'²) + πl [ (r²- r'²) / r’]

5. jautājums: kāds ir konusa frustum tilpums?

Atbilde:

Konusa kauliņa tilpumu aprēķina, izmantojot formulu,

• V = 1/3πh[ (r³- r'³) / r’]
• V = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)