Ekvivalences klase ir kopas elementu grupa, kuras pamatā ir īpašs ekvivalences jēdziens, ko nosaka ekvivalences relācija. Ekvivalences attiecība ir attiecība, kas apmierina trīs īpašības: refleksivitāti, simetriju un tranzitivitāti. Ekvivalences klases sadala kopu S nevienotās apakškopās. Katra apakškopa sastāv no elementiem, kas ir saistīti viens ar otru saskaņā ar doto ekvivalences attiecību.

Šajā rakstā mēs pietiekami detalizēti apspriedīsim ekvivalences klases jēdzienu, ieskaitot tā definīciju, piemēru, īpašības, kā arī atrisinātos piemērus.

Satura rādītājs

• Kas ir ekvivalences klases?
• Ekvivalences klases piemēri
• Ekvivalences klašu īpašības
• Ekvivalences klases un nodalījums

Kas ir ekvivalences klases?

Ekvivalences klase ir nosaukums, ko mēs piešķiram S apakškopai, kas ietver visus elementus, kas ir līdzvērtīgi viens otram. Ekvivalents ir atkarīgs no noteiktas attiecības, ko sauc par ekvivalences relāciju. Ja starp jebkuriem diviem elementiem pastāv ekvivalences attiecība, tos sauc par ekvivalentiem.

kurš izgudroja skolu

Ekvivalences klases definīcija

Ņemot vērā kopas S ekvivalences attiecību, ekvivalences klase attiecībā uz elementu a S ir visu S elementu kopa, kas ir saistīta ar a, t.i.,

[a] VAI x ir saistīts ar a

Piemēram, apsveriet veselo skaitļu kopu ℤ un ekvivalences attiecību, ko definē kongruences modulis n. Divus veselus skaitļus a un b uzskata par līdzvērtīgiem (apzīmē kā (a ≡ b mod(n), ja tiem ir vienāds atlikums, dalot ar n. Šajā gadījumā vesela skaitļa a ekvivalences klase ir visu veselo skaitļu kopa, kam ir tāds pats atlikums kā a dalot ar n.

Kas ir ekvivalences attiecība?

Jebkura relācija R tiek uzskatīta par ekvivalences reāliju tad un tikai tad, ja tā atbilst šādiem trim nosacījumiem:

• Refleksivitāte: Jebkuram elementam a ir saistīts ar sevi.
• Simetrija: Ja a ir saistīts ar b, tad b ir saistīts ar a.
• Transitivitāte: Ja a ir saistīts ar b, bet b ir saistīts ar c, tad a ir saistīts ar c.

Lasiet vairāk par Ekvivalences attiecības .

Daži ekvivalences attiecību piemēri ir:

Vienlīdzība komplektā: Ļaujiet X būt jebkurai kopai un definēt relāciju R uz X tā, ka a R b tad un tikai tad, ja a = b a, b ϵ X.

• Refleksivitāte: Par katru a ϵ X, a = a (triviāli patiess).
• Simetrija: Ja a = b, tad b = a (triviāli patiess).
• Transitivitāte: Ja a = b un b = c, tad a = c (triviāli patiess).

Kongruence modulo n: Pieņemsim, ka n ir pozitīvs vesels skaitlis, un definē attiecību R uz veseliem skaitļiem ℤ tā, lai a R b tad un tikai tad, ja a – b dalās ar n.

• Refleksivitāte: Par katru a ϵ ℤ, a – a = 0 dalās ar n.
• Simetrija: Ja a – b dalās ar n, tad -(a – b) = b – a arī dalās ar n.
• Transitivitāte: Ja a – b dalās ar n un b – c dalās ar n, tad a – c arī dalās ar n.

Ekvivalences klases piemēri

Labi zināms ekvivalences attiecības piemērs ir vienāds ar (=) relācija. Citiem vārdiem sakot, divi dotās kopas elementi ir līdzvērtīgi viens otram, ja tie pieder pie vienas un tās pašas ekvivalences klases. Ekvivalences attiecības var izskaidrot, izmantojot šādus piemērus:

Ekvivalences attiecības uz veseliem skaitļiem

Ekvivalences saistība: 5. modulu atbilstība (a ≡ b [mod(5)])

• Ekvivalences klase 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
• 1. līdzvērtības klase: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
• Ekvivalences klase 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
• Ekvivalences klase 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
• Ekvivalences klase 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Ekvivalences attiecības uz reāliem skaitļiem

Ekvivalences saistība: Absolūtā atšķirība (a ~ b, ja |a – b| <1)

• Ekvivalences klase 0: [0] = (-0,5, 0,5)
• Ekvivalences klase 1: [1] = (0,5, 1,5)
• Ekvivalences klase 2: [2] = (1,5, 2,5)
• Ekvivalences klase 3: [3] = (2,5, 3,5)

Lasīt vairāk,

• Reālie skaitļi
• Veseli skaitļi
• Racionālie skaitļi

Ekvivalences klašu īpašības

Ekvivalences klašu īpašības ir šādas:

• Katrs elements pieder tieši vienai ekvivalences klasei.
• Ekvivalences klases ir nesavienojamas, t.i., jebkuru divu ekvivalences klases krustpunkts ir nulles kopa.
• Visu ekvivalences klašu savienība ir sākotnējā kopa.
• Divi elementi ir līdzvērtīgi tad un tikai tad, ja to ekvivalences klases ir vienādas.

Lasīt vairāk,

• Komplektu savienība
• Kopu krustpunkts
• Atdalīti komplekti

Ekvivalences klases un nodalījums

Kopas elementu grupas, kas saistītas ar ekvivalences relāciju, savukārt šo ekvivalences klašu kopumu, kas aptver visu kopu bez pārklāšanās, sauc par nodalījumu.

Atšķirība starp līdzvērtības klasēm un nodalījumu

Galvenās atšķirības starp līdzvērtības klasēm un nodalījumu ir norādītas šajā tabulā:

Atrisinātie piemēri par ekvivalences klasi

1. piemērs: Pierādiet, ka relācija R ir ekvivalences tips kopā P= { 3, 4, 5,6 }, ko nosaka attiecība R = (p, q):.

Risinājums:

Ņemot vērā: R = (p, q):. Kur p, q pieder P.

Refleksīvā īpašība

No sniegtās attiecības |p – p| = | 0 |=0.

• Un 0 vienmēr ir pāra.
• Tāpēc |p – p| ir pat.
• Tādējādi (p, p) attiecas uz R

Tātad R ir refleksīvs.

Simetrisks īpašums

No dotās attiecības |p – q| = |q – p|.

• Mēs zinām, ka |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
• Līdz ar to |p – q| ir pat.
• Nākamais |q – p| ir arī vienmērīgs.
• Attiecīgi, ja (p, q) ∈ R, tad arī (q, p) pieder pie R.

Tāpēc R ir simetrisks.

Pārejas īpašums

• Ja |p – q| ir pāra, tad (p-q) ir pāra.
• Līdzīgi, ja |q-r| ir pāra, tad arī (q-r) ir pāra.
• Pāra skaitļu summēšana ir pārāk vienmērīga.
• Tātad, mēs to varam uzskatīt par p – q+ q-r ir pāra.
• Tālāk p – r ir tālāk pat.

Attiecīgi,

• |p – q| un |q-r| ir pāra, tad |p – r| ir pat.
• Līdz ar to, ja (p, q) ∈ R un (q, r) ∈ R, tad (p, r) arī attiecas uz R.

Tāpēc R ir pārejošs.

2. piemērs. Apsveriet, ka A = {2, 3, 4, 5} un R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Risinājums:

Dots: A = {2, 3, 4, 5} un

Saistība R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.

Lai R būtu ekvivalences attiecība, R ir jāatbilst trim īpašībām, t.i., refleksīvam, simetriskam un pārejošam.

Refleksīvs : Attiecība R ir refleksīva, jo (5, 5), (2, 2), (3, 3) un (4, 4) ∈ R.

Simetrisks : Relācija R ir simetriska tāpat kā tad, kad (a, b) ∈ R, (b, a) attiecas arī uz R, t.i., (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Transitīvs : Relācija R ir pārejoša, jo vienmēr (a, b) un (b, c) attiecas uz R, (a, c) attiecas arī uz R, t.i., (3, 5) ∈ R un (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

Attiecīgi R ir refleksīvs, simetrisks un pārejošs.

Tātad R ir ekvivalences attiecība.

Prakses problēmas ekvivalences klasē

1. problēma: aRb, ja a+b ir pāra. Nosakiet, vai tā ir ekvivalences attiecība un tās īpašības.

kanēlis vs mate

2. problēma: xSy, ja x un y ir vienāds dzimšanas mēnesis. Analizējiet, vai tā ir ekvivalences attiecība.

3. problēma: Apsveriet, ka A = {2, 3, 4, 5} un R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) ), (4, 2), (4, 4)}. Apstipriniet, ka R ir ekvivalences relācijas veids.

4. problēma: Pierādīt, ka relācija R ir ekvivalences tips kopā P= { 3, 4, 5,6 }, kas dota ar relāciju R = ir pāra .

Ekvivalences klase: FAQ

1. Kas ir ekvivalences klase?

Ekvivalences klase ir kopas apakškopa, kas izveidota, grupējot visus elementus, kas ir līdzvērtīgi viens otram saskaņā ar doto ekvivalences attiecību. Tas pārstāv visus dalībniekus, kurus šīs attiecības uzskata par vienādiem.

2. Kas ir ekvivalences klases simbols?

Ekvivalences klases simbolu parasti raksta kā [a], kur a ir klases reprezentatīvs elements. Šis apzīmējums apzīmē visu elementu kopu, kas ir līdzvērtīga a noteiktai ekvivalences relācijai.

3. Kā jūs varat atrast kopas ekvivalences klasi?

Lai atrastu kopas ekvivalences klasi, rīkojieties šādi:

1. darbība: Definējiet ekvivalences attiecību.

2. darbība: Izvēlieties elementu no komplekta.

3. darbība: Identificējiet atlasītajiem elementiem līdzvērtīgus elementus.

java arhitektūra

4. darbība: Izveidojiet ekvivalences klasi, kurā ir visi elementi, kas līdzvērtīgi atlasītajam elementam.

4. Kāda ir atšķirība starp ekvivalences klasi un nodalījumu?

Ekvivalences klases ir apakškopas, ko veido ekvivalences relācija, savukārt nodalījumi ir apakškopas, kas nepārklājas un aptver visu kopu. Katra ekvivalences klase ir nodalījuma apakškopa, bet ne katrs nodalījums rodas no ekvivalences attiecības.

5. Kas ir ekvivalences sakarība?

Attiecība, kas ir refleksīva, simetriska un pārejoša, sadalot kopu nesaistītās apakškopās.