4 × 4 matricas noteicējs: Matricas determinants ir lineārās algebras pamatjēdziens, kas ir būtisks, lai no matricas iegūtu vienu skalāru vērtību. 4 × 4 ir kvadrātveida matrica ar 4 rindām un 4 kolonnām, kuras determinantu var atrast pēc formulas, kuru mēs apspriedīsim.
Šis raksts izpētīs 4 × 4 matricas definīcija un ceļvedis soli pa solim, lai aprēķinātu 4 × 4 matricas determinantu. Turklāt tas pēta šīs matemātiskās darbības praktisko pielietojumu.
Satura rādītājs
- Kas ir matricas noteicošais faktors?
- 4×4 matricas noteicējs
- 4 × 4 matricas formulas determinants
- 4 × 4 matricu piemēru noteicējs
- 4 × 4 matricas prakses jautājumu noteicējs
Kas ir matricas noteicošais faktors?
The matricas determinants ir skalāra vērtība, ko var aprēķināt no a elementiem kvadrātveida matrica . Tas sniedz svarīgu informāciju par matricu, piemēram, vai tā ir invertējama, un matricas attēloto lineāro transformāciju mērogošanas koeficientu.
Dažādas metodes, piemēram kofaktors paplašināšanu vai rindas samazināšanu var izmantot, lai atrastu matricas noteicēju atkarībā no matricas lieluma un struktūras. Kad determinants ir aprēķināts, to apzīmē ar det simbolu vai vertikālām joslām, kas aptver matricu.
4×4 matricas noteicējs
4 × 4 matrica ir taisnstūrveida skaitļu masīvs, kas sakārtots četrās rindās un četrās kolonnās. Katrs matricas elements tiek identificēts pēc tā rindas un kolonnas pozīcijas. 4 × 4 matricas vispārējā forma izskatās šādi:
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
Kurijapzīmē elementu, kas atrodas ithrinda un jthmatricas kolonnu.
4 × 4 matricas parasti sastopamas dažādās jomās, piemēram, datorgrafikā, fizikā, inženierzinātnēs un matemātikā. Tos izmanto, lai attēlotu transformācijas, atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas un veiktu darbības lineārajā algebrā.
4 × 4 matricas īpašības
Šeit ir dažas 4 × 4 matricas īpašības, kas izskaidrotas vienkāršotā veidā:
- Kvadrātveida matrica: 4 × 4 matricai ir vienāds rindu un kolonnu skaits, padarot to par kvadrātveida matricu.
- Noteicošais faktors: 4 × 4 matricas determinantu var aprēķināt, izmantojot tādas metodes kā kofaktora paplašināšana vai rindas samazināšana. Tas sniedz informāciju par matricas invertējamību un mērogošanas koeficientu lineārajām transformācijām.
- Apgriezti: 4 × 4 matrica ir apgriežams ja tā determinants nav nulle. 4 × 4 matricas inverss ļauj atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas un atsaukt matricas attēlotās transformācijas.
- Transponēt: 4 × 4 matricas transponēšanu iegūst, mainot tās rindas un kolonnas. Tas var būt noderīgs noteiktos aprēķinos un transformācijās.
- Pašvērtības un īpašvektori: 4 × 4 matricas var analizēt, lai tās atrastu īpašvērtības un īpašvektori , kas attēlo matricas īpašības lineārās transformācijās.
- Simetrija: Atkarībā no konkrētās matricas tai var būt simetriskas īpašības, piemēram, simetriska, šķībi simetriska vai neviena no tām.
- Matricas operācijas: 4 × 4 matricām var veikt dažādas darbības, piemēram, saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un skalāro reizināšanu, ievērojot īpašus noteikumus un īpašības.
Lasiet sīkāk: Determinantu īpašības
4 × 4 matricas formulas determinants
Jebkuras 4 × 4 matricas determinants, t.i.,
it(A) = a vienpadsmit · tas (A vienpadsmit ) – a 12 · tas (A 12 ) + a 13 · tas (A 13 ) – a 14 · tas (A 14 )
Kurijapzīmē apakšmatricu, izdzēšot ithrinda un jthkolonna.
Kā atrast 4 × 4 matricas noteicēju?
Lai atrastu 4 × 4 matricas noteicēju, varat izmantot dažādas metodes, piemēram, paplašināšanu ar nepilngadīgajiem, rindu samazināšanu vai īpašu īpašību lietošanu.
Viena izplatīta metode ir izmantot nepilngadīgo izvēršanu, kad jūs izvēršat pa rindu vai kolonnu, reizinot katru elementu ar tā kofaktoru un summējot rezultātus. Šis process turpinās rekursīvi, līdz tiek sasniegta 2 × 2 apakšmatrica, kurai varat tieši aprēķināt determinantu. Lai saprastu, kā atrast 4 × 4 matricas determinantu, apsveriet piemēru.
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
1. darbība. Izvērsiet pirmo rindu:
it(A) = 2 · it(A vienpadsmit ) – 1 · it(A 12 ) + 3 · it(A 13 ) – 4 · it(A 14 )
Kurijapzīmē apakšmatricu, kas iegūta, dzēšot i-to rindu un j-to kolonnu.
2. darbība. Aprēķiniet katras 3 × 3 apakšmatricas determinantu.
Priekšvienpadsmit
⇒ |Avienpadsmit| = (-1) [(0) (1)-(5) (2)] – 2 [(2) (1)-(5) (3)] + 1 [(2) (2)-(0) (3)]
⇒ |Avienpadsmit| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |Avienpadsmit| = 10 – 2(-13) + 4
⇒ |Avienpadsmit| = 10 + 26 + 4 = 40
Priekš12
⇒ |A12| = (0) [(0) (1)-(5) (2)] – 2 [(3) (1)-(5) (-1)] + 1 [(3) (2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0–16+ 6= 10
Priekš13
⇒ |A13| = (0) [(2) (1)-(3) (5)] – (-1) [(3) (1)-(5) (-1)] + 2 [(3) (3)- (2) (-1)]
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1) [(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1) (8) + 2 (11)
⇒ |A13| = 8 + 22 = 30
Priekš14
⇒ |A14| = (0) [(2) (2)-(3) (0)] – (-1) [(3) (2)-(0) (-1)] + 2 [(3) (3)- (2) (-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1) [(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1) (6) + 2 (11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
3. darbība: paplašināšanas formulā aizstājiet 3 × 3 apakšmatricu determinantus:
(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28
4. darbība. Aprēķiniet galīgo noteicošo faktoru:
it(A) = 80–10 + 90–112
it(A) = 48
Tātad dotās 4 × 4 matricas determinants ir 48.
Tāpat pārbaudiet
- 2×2 matricas noteicējs
- 3×3 matricas noteicējs
4 × 4 matricu piemēru noteicējs
1. piemērs: A =
Risinājums:
Vispirms izvērsiet gar pirmo rindu:
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) Tagad aprēķiniet katras 3 × 3 apakšmatricas determinantu.
Priekš vienpadsmit ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1) (13) – 2 (6) + 0 (-4)
= -13-12
= -25
Priekš 12 ):
virkni pārvērst par veselu skaitli
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2) (1) (1))
= (2) ((3)-(10)) – (0) ((-9)-(5)) + (3) ((-6)-(1))
= (2) (-7) – (0) (-14) + (3) (-7)
= -14 - 0 - 21
= -35
Priekš 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2) ((2) (3)-(5) (0)) – (1) ((-3) (3)-(5) (1)) + (3) ((-3) (0) ) )-(2) (1))
= (2) ((6)-(0)) – (1) ((-9)-(5)) + (3) ((0)-(2))
= (2) (6) – (1) (-14) + (3) (-2)
= 12 + 14 - 6
= 20
Priekš 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2) ((2) (-2)-(1) (0)) – (1) ((-3) (-2)-(1) (1)) + (0) ((-3) (0)-(2) (1))
= (2) ((-4)-(0)) – (1) ((6)-(1)) + (0) ((0)-(2))
= (2) (-4) – (1) (5) + (0) (-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
Tagad aizvietojiet 3 × 3 apakšmatricu noteicošos faktorus paplašināšanas formulā:
det(A) = 2 cdot (-25) - 1 cdot (-35) + 0 - 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
Tātad matricas (A) determinants ir 24.
2. piemērs: Aprēķināt matricas determinantu
Risinājums:
Lai atrastu matricas determinantu ( A ), pirmajā rindā izmantosim paplašināšanas metodi:
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} Tagad aprēķināsim 3 × 3 apakšmatricu determinantus:
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0–4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1–6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6–0–50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
Tagad aizstājiet šos noteicošos faktorus atpakaļ paplašināšanas formulā:
it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120
Tātad matricas ( A ) determinants ir det(A) = -120.
3. piemērs: Atrodiet matricas determinantu B =
Risinājums:
Lai atrastu matricas ( B ) determinantu, pirmajā rindā izmantosim paplašināšanas metodi:
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} Tagad aprēķināsim 3 × 3 apakšmatricu determinantus:
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4–10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 - 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0–15) + 2 ⋅ (0–6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 - 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16–8) – 1 ⋅ (0–6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) - 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
Tagad aizstājiet šos noteicošos faktorus atpakaļ paplašināšanas formulā:
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ jebkas
= 8 + 9 – 36 + 0
= -19
Tātad matricas ( B ) determinants ir det(B) = -19
4 × 4 matricas prakses jautājumu noteicējs
Q1: Aprēķiniet šādas 4 × 4 matricas determinantu:
Q2: Atrodiet matricas determinantu:
Q3: Aprēķiniet šādas 4 × 4 matricas determinantu:
Q4: Nosakiet matricas determinantu:
Q5: Atrodiet matricas determinantu:
Bieži uzdotie jautājumi par 4 × 4 matricas noteicēju
Kā atrast 4 × 4 matricas noteicēju?
Lai atrastu 4 × 4 matricas determinantu, varat izmantot dažādas metodes, piemēram, kofaktora paplašināšanas vai rindu samazināšanas metodes.
Kas ir 4 × 4 identitātes matricas determinants?
4 × 4 identitātes matricas determinants ir 1, jo tas ir īpašs gadījums, kad visi diagonālie elementi ir 1, bet pārējie ir 0.
Kā atrast 4 × 4 matricas determinantu, izmantojot kofaktora izplešanos?
4 × 4 matricas determinanta noteikšana, izmantojot kofaktora paplašināšanu, ietver tās sadalīšanu mazākās 3 × 3 matricās, kofaktora formulas piemērošanu un produktu summēšanu.
Kāda ir determinanta formula?
Determinanta formula ietver elementu un to kofaktoru reizinājumu summēšanu katrā rindā vai kolonnā, ņemot vērā to zīmes.
Vai determinants var būt negatīvs?
Jā, noteicošie faktori var būt negatīvi, pozitīvi vai nulle atkarībā no konkrētās matricas un tās īpašībām.
Vai 4 × 4 matricai var būt inverss?
4 × 4 matricai var būt apgrieztā vērtība, ja tās determinants nav nulle; pretējā gadījumā tas ir vienskaitlis un tam trūkst apgrieztā vārda.
Kā parādīt, ka 4 × 4 matrica ir apgriežama?
Lai parādītu, ka 4 × 4 matrica ir invertējama, apstipriniet, ka tās determinants nav nulle, norādot uz apgrieztās matricas esamību, un izmantojiet papildu kritērijus, piemēram, rindas samazināšanu, lai pārbaudītu invertējamību.