Determinants ir lineārās algebras pamatjēdziens, ko izmanto, lai konkrētai matricai atrastu vienu skalāro vērtību. Šajā rakstā tiks paskaidrots, kas ir 3 × 3 matrica un kā soli pa solim aprēķināt 3 × 3 matricas determinantu, kā arī tās pielietojums. Neatkarīgi no tā, vai esat skolēns, kurš mācās lineāro algebru, vai entuziasts, kas vēlas dziļāk izprast matricas darbības, 3 × 3 matricas noteicošā faktora izpratne ir vērtīga prasme, kas jāapgūst.

Kas ir Matricas noteicējs?

Matricas noteicējs ir viens skaitlis, kas aprēķināts no kvadrātveida matricas. Lineārās algebras jomā determinanti tiek atrasti, izmantojot kvadrātmatricas vērtības. Šis skaitlis darbojas kā mērogošanas faktors, ietekmējot matricas transformāciju. Determinanti ir vērtīgi lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai, matricas apgrieztās vērtības atrašanai un dažādām aprēķinu operācijām.

Kas ir 3 × 3 matrica?

3 × 3 matrica ir a matrica kurā rindu un kolonnu skaits ir vienāds ar 3. Tā kā rindu un kolonnu skaits ir vienāds, 3 × 3 ir kvadrātveida matrica ar secību 3 × 3. Matrica ir kā tabula, kas sastāv no skaitļiem, kas sakārtoti rindās un kolonnās. To izmanto, lai uzglabātu un strādātu ar datiem matemātikā un citās jomās. Tā kā 3 × 3 matrica ir īpaša veida matrica, kas sastāv no trim rindām un trim kolonnām. To var attēlot šādi:

3 × 3 matrica

3 × 3 matricas īpašības

Tāpat kā citām matricām, arī 3 × 3 matricām ir dažas svarīgas īpašības.

• Kvadrātveida matrica : 3 × 3 matricai ir trīs rindas un trīs kolonnas, kas padara to par kvadrātveida matricu.

• Noteicošais faktors: 3 × 3 matricai ir determinants, skaitliska vērtība, kas ir būtiska vienādojumu risināšanai un apgriezto vērtību atrašanai.

• Matricas reizināšana: Varat reizināt 3 × 3 matricu ar citu matricu, ja kolonnu skaits pirmajā matricā atbilst rindu skaitam otrajā.

• Apgriezti: 3 × 3 matricai var būt apgrieztā vērtība, ja tās determinants nav nulle. Apgrieztā matrica, reizinot ar sākotnējo matricu, iegūst identitātes matricu.

3 × 3 matricas formulas determinants

Matricas determinanta aprēķināšanai ir dažādas metodes. Visizplatītākā pieeja ir dotās 3 × 3 matricas sadalīšana mazākos 2 × 2 determinantos. Tas vienkāršo determinanta atrašanas procesu un tiek plaši izmantots lineārajā algebrā.

Ņemsim 3 × 3 kvadrātveida matricu, kas ir uzrakstīta kā

Lai aprēķinātu matricas A determinantu, t.i., |A|.

Izvērsiet matricu gar pirmās rindas elementiem.

Tāpēc

Kā jūs varat atrast 3 × 3 matricas noteicēju?

Ļaujiet mums saprast 3 × 3 matricas aprēķinu ar piemēru. Tālāk norādītajai 3 × 3 matricai.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

1. darbība. Izvēlieties atsauces rindu vai kolonnu

Atlasiet rindu un kolonnu, lai sāktu, pieņemsim, ka šajā piemērā mēs ņemam pirmo elementu (2) kā atsauci, lai aprēķinātu 3 × 3 matricas determinantu.

Tātad, izvēršot R rindu₁

2. darbība: nosvītrojiet rindu un kolonnu

Noņemiet izvēlēto rindu un kolonnu, lai to vienkāršotu 2 × 2 matricā.

2 × 2 matrica

3. darbība: atrodiet 2 × 2 matricas noteicēju

Atrodiet 2 × 2 matricas determinantu, izmantojot formulu

Determinants = (a × d) – (b × c)

Cross Reizināt

Šeit a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

ievietojot šīs vērtības iepriekš minētajā determinanta formulā, mēs iegūstam

Determinants = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinants = 0- (-1)

Determinants = 0+1

∴ 2 × 2 matricas determinants = 1

4. darbība: reiziniet ar izvēlēto elementu

Reiziniet 2 × 2 matricas determinantu ar izvēlēto elementu no atsauces rindas (kas šajā gadījumā ir 2, 1 un 3):

pirmais elements = 2 × 1 = 2

5. darbība. Atkārtojiet šo procesu otrajam elementam izvēlētajā atsauces rindā

Otrajam elementam

Atrodiet determinantu otrajam elementam 1, ievietojot 2×2 matricas vērtības formulā

Determinants = (a × d) – (b × c)

Šeit a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinants = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinants = 8–2

Determinants = 6

Tagad reiziniet 2 × 2 matricas determinantu ar izvēlēto elementu no atsauces rindas (kas šajā gadījumā ir 1):

otrais elements = 1 × 6 = 6

6. darbība. Atkārtojiet šo procesu trešajam elementam izvēlētajā atsauces rindā

Trešajam elementam

Atrodiet determinantu trešajam elementam 3, ievietojot 2×2 matricas vērtības formulā

Determinants = (a × d) – (b × c)

Šeit a = 4, b = 0, c = 2, d = -1

Determinants = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinants = -4 – 0

Determinants = -4

Tagad reiziniet 2 × 2 matricas determinantu ar izvēlēto elementu no atsauces rindas (kas šajā gadījumā ir 3):

otrais elements = 3 × (-4) = -12

7. darbība. Formulas izmantošana

Saskaitiet visus rezultātus no 4., 5. un 6. darbības

2–6 + (-12) = (-16)

∴ -16 ir 3 × 3 matricas determinants.

3 × 3 matricas determinanta pielietojums

Matricas determinantu var izmantot, lai atrastu apgriezto un atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmu. Tādējādi mēs mācāmies atrast 3 × 3 matricas apgriezto vērtību un arī atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Krāmera likumu, kas ietver 3 × 3 matricas determinanta izmantošanu.

3 × 3 matricas inverss

Formula kvadrātmatricas A apgrieztās vērtības atrašanai ir šāda:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

kur,

• A-1 ir matricas A inverss .
• Det(A) ir matricas A determinants.
• adj(A) apzīmē matricas A adjugātu

Vienkārši izsakoties, varat veikt šīs darbības, lai atrastu matricas apgriezto vērtību:

1. darbība. Aprēķiniet matricas A determinantu.

2. darbība. Atrodiet matricas A adjugātu.

3. darbība. Reiziniet katru adjugāta elementu ar 1/det(A).

Šo formulu izmanto kvadrātveida matricām (matricām ar vienādu rindu un kolonnu skaitu) un pieņem, ka determinants nav nulle, kas ir nepieciešams nosacījums, lai matricai būtu apgrieztā vērtība.

Krāmera likums

Krāmera likums sniedz formulu, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot determinantus. Lineāro vienādojumu sistēmai ar n mainīgajiem ir doti formā

AX=B

kur,

• A = kvadrātveida matricas koeficients
• X = kolonnu matrica ar mainīgajiem
• B = kolonnas matrica ar konstantēm

Apsveriet šādu lineāro vienādojumu sistēmu

a₁x + b₁y+c₁z + . . . = d₁

a₂x + b₂y+c₂z + . . . = d₂

. . .

a_nx + b_ny+c_nz + . . . = d_n

Mainīgos x, y, z, … nosaka, izmantojot šādas formulas:

• x = D_x/D
• y = D_un/D
• z = D_Ar/D

Kur:

• D ir koeficientu matricas determinants.
• D_xir matricas determinants, kas iegūts, aizstājot x koeficientus ar konstantēm labajā pusē.
• D_unir matricas determinants, kas iegūts, aizstājot y koeficientus
• D_Arir matricas determinants, kas iegūts, aizstājot z koeficientus

Krāmera noteikums ir piemērojams, ja koeficienta matricas D determinants nav nulle. Ja D = 0, nevar piemērot noteikumu, kas norāda vai nu bez risinājuma, vai bezgalīgi daudz risinājumu atkarībā no konkrētā gadījuma.

Tāpat pārbaudiet

• Matricu veidi
• Lineāro vienādojumu sistēma ar trim mainīgajiem
• Matricas operācijas

3 × 3 matricas atrisināto piemēru determinants

1. piemērs: atrodiet matricas A determinantu egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinants A = 2 (4×2 – 5×6) – 3 (0×2 – 5×1) + 1 (0×6 – 4×1)

⇒ Determinants A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinants A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinants A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinants A =-44+11

∴ A determinants, t.i., |A| = (-33)

2. piemērs: atrodiet matricas B = determinantu egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

B determinants = 1 (3 × 2 - 0 × 1) - 2 (0 × 2 - 0 × 4) + 1 (0 × 1 - 3 × 4)

⇒ B determinants = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ B determinants = 1(6) – 0 – 12

⇒ B determinants =6-12

⇒ B determinants = (-6)

∴ B determinants, t.i., |B| = 6

3. piemērs: atrodiet matricas C determinantu egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Matricas C determinants = 3(2×4 – 5×0) – 1 (0×4 – 5×2) + 2 (0×0 – 2×2)

⇒ C determinants = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ C =3(8) – 1(-10) + 2(-4) determinants

⇒ C determinants = 24 + 10 -8

⇒ C = 26 determinants

∴ C determinants, t.i., |C| = 26

4. piemērs: Atrisiniet doto vienādojumu sistēmu, izmantojot Krāmera likumu

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Risinājums:

1. darbība: Pirmkārt, atrodiet noteicēju D no koeficientu matricas.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Par šī determinanta atrisināšanu D

D= 2 (-2 × 2-3 × 1) - 3 (4 × 2-1 × 3) - (-1) (4 × 1-(-2) × 3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

2. darbība: Tagad atrodiet D noteicošos faktorus_x, D_unun D_Ar

Par D_x, mēs aizstājam x koeficientus ar konstantēm labajā pusē:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Par D_un, mēs aizstājam y koeficientus ar konstantēm:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Par D_Ar, mēs aizstājam z koeficientus ar konstantēm:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Par determinanta D atrisināšanu_x

D_x= 7 (-2 × 2 - 3 × 1) - 3 (8 × 2 - 3 × 10) - (-1) (8 × 1 - (-2 × 10)

⇒ D_x= 7 (-4 – 3) – 3 (16 – 30) – (-1) (8 + 20)

⇒ D_x= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_x= -49 + 42 + 28

Tādējādi D_x= 21

Par determinanta D atrisināšanu_un

D_un= 2 (-2 × 2 - 3 × 10) - 7 (4 × 2 - 1 × 10) - (-1) (4 × 1 - (-2 × 10)

⇒ D_un= 2 (-4–30) – 7 (8–10) – (-1) (4 + 20)

⇒ D_un= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_un= -68 + 14 + 24

⇒ D_un= -30

Par determinanta D atrisināšanu_Ar

D_Ar= 2 (-2 × (-2) - 3 × (-2)) - 3 (4 × (-2) - 1 × (-10)) - 7 (4 × 3 - (-2 × 1)

⇒ D_Ar= 2 (4 + 6) - 3 (-8 + 10) - 7 (12 + 2)

iestatīts java

⇒ D_Ar= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Ar= 20–6–98

⇒ D_Ar= -84

3. darbība: Tagad liekot D, D vērtības_x, D_unun D_ArKarmera likuma formulā, lai atrastu x, y un z vērtības.

x = D_x/D = 21/(-19)

y = D_un/D = (-30)/(-19)

z = D_Ar/D = (-84)/(-19)

Prakses jautājumi par 3 × 3 matricas determinantu

Q1. Aprēķiniet identitātes matricas determinantu:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Atrodiet matricas determinantu:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Nosakiet matricas determinantu:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Aprēķiniet matricas determinantu:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Atrodiet matricas determinantu:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Nosakiet matricas determinantu:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

3 × 3 matricas noteicējs – FAQ

1. Kas ir Matrica?

Matrica ir taisnstūrveida skaitļu vai elementu izkārtojums, kas sakārtots rindās un kolonnās. To izmanto dažādās jomās, lai attēlotu un risinātu matemātikas, zinātnes un inženierijas problēmas.

2. Kāda ir 3 × 3 matricas determinanta nozīme?

3 × 3 matricas determinants ir nozīmīgs, jo tas sniedz informāciju par matricas īpašībām. Tas palīdz noteikt, vai lineāro vienādojumu sistēmai cita starpā ir unikāls risinājums.

3. Kāda ir matricas noteicēja definīcija?

Matricas determinants ir skalārā vērtība, kas aprēķināta no matricas elementiem, sniedzot informāciju par tās īpašībām. To izmanto lineāro vienādojumu sistēmu risināšanā, apgriezto vērtību atrašanā un daudz ko citu.

4. Ko darīt, ja 3 × 3 matricas determinants ir nulle?

Ja 3 × 3 matricas determinants ir nulle, tas nozīmē, ka matrica ir vienskaitlī un tai nav inversa. Ģeometriskā izteiksmē tas norāda, ka matricas attēlotā transformācija sabrūk laukumu vai tilpumu līdz nullei. determinants vienmēr ir nulle. Tas attiecas uz jebkura izmēra matricām.

5. Vai 3 × 3 matricas determinants var būt negatīvs?

Jā, noteicošais faktors var būt negatīvs. Determinanta zīme ir atkarīga no matricas elementu izvietojuma un no tā, vai tie pēc aprēķina metodes rada pozitīvu vai negatīvu vērtību.

6. Kādi ir praktiskie pielietojumi 3 × 3 matricas determinanta atrašanai?

Determinanti tiek izmantoti dažādās jomās, tostarp fizikā, inženierzinātnēs, datorgrafikā un ekonomikā. Tie palīdz atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas, analizēt ģeometriskās transformācijas un noteikt dinamisko sistēmu stabilitāti.