Aritmētiskā progresija, kas pazīstama arī kā A.P., ir secība matemātikā, kur starpība starp diviem secīgiem terminiem ir nemainīga. Konstante ir pazīstama kā kopējā atšķirība. Aritmētiskā progresija ir skaitļu secība, kurā starpība starp jebkuriem diviem secīgiem skaitļiem ir nemainīga vērtība.

Šajā rakstā mēs detalizēti uzzināsim par aritmētiskās progresēšanas definīciju, aritmētiskās progresēšanas formulām, saistītajiem piemēriem un citiem.

javascript if paziņojums

Satura rādītājs

• Kas ir aritmētiskā progresēšana?
• Apzīmējumi aritmētiskajā progresijā
• Kopējā aritmētiskās progresijas atšķirība
• Pirmais aritmētiskās progresēšanas termiņš
• N-tais aritmētiskās progresijas termiņš
• Aritmētiskās progresijas summa
• Aritmētiskās progresēšanas formula (AP formulas)

Kas ir aritmētiskā progresēšana?

Aritmētiskā progresija (AP) ir skaitļu virkne, kurā starpība starp diviem secīgiem skaitļiem ir nemainīga vērtība. Citiem vārdiem sakot, aritmētisko progresiju var definēt kā Matemātiska secība, kurā starpība starp diviem secīgiem terminiem vienmēr ir konstante.

Piemēram, skaitļu sērijas: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… atrodas aritmētiskajā progresijā, kurai ir kopīga atšķirība (d) starp diviem secīgiem vārdiem (teiksim, 1 un 2), kas vienāda ar 1 (2 – 1). Var redzēt kopīgu atšķirību starp diviem secīgiem terminiem pat nepāra skaitļiem un pāra skaitļiem, ar kuriem 2 ir vienāds. AP trīs galvenie termini ir kopējā atšķirība (d), nth Term (a_n) un pirmo n vārdu summa (S_n); visi trīs termini atspoguļo AP īpašības. Apskatīsim sīkāk, kāda ir kopējā atšķirība,

Mēs sastopamies ar dažādiem vārdiem, piemēram, secību, sēriju un progresēšanu AP; tagad paskatīsimies, ko katrs vārds definē,

• Secība ir ierobežots vai bezgalīgs skaitļu saraksts, kas atbilst noteiktam modelim. Piemēram, 0, 1, 2, 3, 4, 5… ir secība, kas ir bezgalīga veselu skaitļu secība.

• sērija ir to elementu summa, kuriem atbilst secība. Piemēram, 1 + 2 + 3 + 4 + 5… ir naturālu skaitļu virkne. Katru skaitli secībā vai sērijā sauc par terminu. Šeit 1 ir termins, 2 ir termins, 3 ir termins utt.

• Progresēšana ir secība, kurā vispārīgo terminu var izteikt, izmantojot matemātisko formulu, vai secību, kas izmanto matemātisko formulu, ko var definēt kā progresiju.

Piezīme: Galvenokārt ir trīs progresēšanas veidi:

1. Aritmētiskā progresija (AP)
2. Ģeometriskā progresēšana (GP)
3. Harmoniskā progresēšana (HP)

Apzīmējumi aritmētiskajā progresijā

Aritmētiskajā progresijā mēs saskarsimies ar šādiem apzīmējumiem:

• Pirmais termiņš ⇢ a
• Kopējā atšķirība ⇢ d
• N. termiņš ⇢ a _n
• Pirmo n terminu summa ⇢ S _n

Aritmētiskās progresijas vispārējā forma ir a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Šeit ir daži AP piemēri:

• 6, 13, 20, 27, 34, 41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Kopējā aritmētiskās progresijas atšķirība

Kopēja atšķirība aritmētiskajā progresijā tiek apzīmēts ar d. Tā ir atšķirība starp nākamo un iepriekšējo termiņu. Aritmētiskajai progresijai tā vienmēr ir nemainīga vai vienāda. Vārdu sakot, ja kopējā atšķirība ir nemainīga noteiktā secībā, mēs varam teikt, ka tā ir A.P. Ja secība ir_1,a₂, a₃, a₄, un tā tālāk.

Citiem vārdiem sakot, kopējo atšķirību aritmētiskajā progresijā apzīmē ar d. Atšķirība starp secīgo termiņu un tā iepriekšējo terminu. Aritmētiskajai progresijai tas vienmēr ir nemainīgs vai vienāds. Citiem vārdiem sakot, mēs varam teikt, ka noteiktā secībā, ja kopējā atšķirība ir nemainīga vai vienāda, tad mēs varam teikt, ka dotā secība ir Aritmētiskā progresija (AP).

Formula kopīgās atšķirības atrašanai ir:

d = (a _n+1 – a _n ) = (a _n – a _n-1 )

• Ja kopējā atšķirība ir pozitīva, tad AP palielinās . Piemēram, 4, 8, 12, 16… šajās sērijās AP palielinās

• Ja kopējā atšķirība ir negatīva, tad AP samazinās . Piemēram -4, -6, -8…, šeit AP samazinās.

• Ja kopējā atšķirība ir nulle, tad AP būs nemainīgs . Piemēram, 1, 2, 3, 4, 5…, šeit AP ir nemainīga.

Aritmētiskās progresēšanas secība būs līdzīga a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…

Kopējā atšķirība (d) = a ₂ – a ₁ = d

a ₃ – a ₂ = d

a ₄ – a ₃ = d un tā tālāk.

Pirmais aritmētiskās progresēšanas termiņš

Aritmētisko progresiju var uzrakstīt, izmantojot kopējo starpību (d), kā:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n - 1)d

kur,

• a ir AP pirmais termiņš
• d ir AP kopējā atšķirība

N-tais aritmētiskās progresijas termiņš

N-to terminu var atrast, izmantojot tālāk minēto formulu,

kartes atkārtošana java

T _n = a + (n − 1)d

kur,

• a ir AP pirmais termiņš
• d ir kopējā atšķirība
• n ir terminu skaits
• T_nir n-tais termiņš

N-tais aritmētiskās progresijas termiņš

Piezīme: Aritmētiskās secības uzvedība balstās uz kopējās atšķirības vērtību.

• Ja d ir pozitīvs, termini palielināsies līdz pozitīvai bezgalībai.
• Ja d ir negatīvs, dalībnieku vārdi palielinās līdz negatīvai bezgalībai

Aritmētiskās progresijas summa

Aritmētiskās progresijas summas formula ir paskaidrots tālāk; Apsveriet AP, kas sastāv no n vārdiem.

S = n/2 [2a + (n - 1) d]

Aritmētiskās progresijas summa, kad ir dots pirmais un pēdējais termins,

S = n/2 (AP pirmais termiņš + AP pēdējais termiņš)

S = N/2[a+ a _n ]

Aritmētiskās progresēšanas formula (AP formulas)

AP ar pirmo vārdu “a” un kopējo atšķirību “d” tās dažādās formulas ir:

• Kopējā atšķirība no AP: d = a ₂ – a ₁ = a ₃ – a ₂ = a ₄ – a ₃ = … = a _n – a _n-1

• n-tais AP termiņš: a _n = a + (n – 1)d

• AP noteikumu n summa: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , kur l ir aritmētiskās progresijas pēdējais loceklis.

Aritmētiskās progresijas kopsavilkums

• Aritmētiskā progresija (AP) ir skaitļu virkne, kurā starpība starp jebkuriem diviem secīgiem skaitļiem ir nemainīga vērtība. Piemēram, skaitļu sērijas: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• Aritmētiskās progresijas vispārējā forma ir a, a + d, a + 2d, a + 3d …

• Aritmētiskās progresijas n-tā termiņa formula ir a _n = a + (n – 1)d

• Pirmo n vārdu summa jeb aritmētiskās summas formula ir S _n = n/2[2a + (n – 1) d] , S _n = n/2[a + a _n ]

Raksts, kas saistīts ar aritmētisko progresēšanu:

• Summēšanas formula
• Dabisko skaitļu summa
• Aritmētiskā progresija un ģeometriskā progresija

Aritmētiskās progresēšanas piemēri

1. piemērs: atrodiet AP, ja pirmais loceklis ir 15 un kopējā atšķirība ir 4.

Risinājums:

Kā mēs zinām,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Šeit a = 15 un d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, … un tā tālāk.

Tātad AP ir 15, 19, 23, 27, 31…

novirzīšanas rādītājs

2. piemērs: atrodiet 20. terminu dotajam AP: 3, 5, 7, 9, …

Risinājums:

Dots, 3, 5, 7, 9, 11……

Šeit,

a = 3, d = 5–3 = 2, n = 20

a_n= a + (n − 1)d

a_divdesmit= 3 + (20−1)2

a_divdesmit= 3 + 38

a_divdesmit= 41

Šeit 20. termiņš ir a_divdesmit= 41

3. piemērs: atrodiet 5 pirmo 20 daudzkārtņu summu.

Risinājums:

Pirmie 20 skaitļa 5 daudzkārtņi ir 5, 10, 15, … 100.

Šeit ir skaidrs, ka izveidotā secība ir aritmētiska secība, kur

a = 5, d = 5, a_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20–1)5]

java masīvs

S_n= 10 [10 + 95]

S_n= 1050

Prakses jautājumi par aritmētisko progresēšanu

Q1. Aritmētiskās progresijas pirmo nn vārdu summu uzrāda S _n = 3n ² + 2n. Atrodiet kopīgo atšķirību un pirmo terminu.

Q2. Aritmētiskās progresijas pirmais loceklis ir 7, bet 11. termins ir 31. Atrodiet pirmo 11 vārdu summu.

Q3. Aritmētiskajā progresijā pirmo 10 vārdu summa ir 150, bet nākamo 10 vārdu summa ir 550. Atrodiet pirmo vārdu un kopējo atšķirību.

Q4. Ja aritmētiskās progresijas 4. loceklis ir 10 un 9. loceklis ir 25, atrodiet 15. terminu.

Q5. Aritmētiskajai progresijai ir kopējā atšķirība 5. Ja 6. loceklis ir 22, atrodiet pirmo biedru un pirmo 12 vārdu summu.

Bieži uzdotie jautājumi par aritmētisko progresēšanu

Kas ir aritmētiskā progresēšana ar piemēru?

Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā abiem secīgiem terminiem ir kopīga atšķirība. Piemēram: 3, 6, 9, 12, 15,…

Kā atrast aritmētiskās progresijas summu?

Lai atrastu aritmētiskās progresijas summu, pamatojoties uz sniegto informāciju, var izmantot šādas formulas:

S = n/2 (AP pirmais termins + AP pēdējais termiņš) = n/2[a+ a _n ]

Kāda ir atšķirība starp aritmētisko progresiju un aritmētisko sēriju?

Aritmētiskā progresija ir secību skaits jebkurā diapazonā, kas nodrošina kopīgu atšķirību. Savukārt aritmētiskā sērija/secība ir visu aritmētiskajā progresijā esošo terminu summa.

Kāda ir AP un GP formula?

AP un GP formula ir:

• AP: a _n = a + (n – 1).d
• GP: a _n = a.r

Kas ir aritmētiskās progresijas izmantošana?

Aritmētiskā progresija ir sērija, kas dod kopīgu atšķirību starp diviem secīgiem terminiem. To izmanto ikdienas dzīvē, lai vispārinātu modeļu kopumu. Piemēram, gaidot autobusu, pieņemsim, ka autobusi brauc nemainīgā ātrumā, ar AP palīdzību var pateikt, kad autobuss pienāks. AP var izmantot arī piramīdveida konstrukciju veidošanā utt.