Arktāns ir definēts kā pieskares funkcijas apgrieztā vērtība. Arctan(x) ir apzīmēts kā dzeltenbrūns^-1(x). Ir sešas trigonometriskās funkcijas, un visu sešu funkciju apgrieztā vērtība tiek represēta kā grēks^-1x, cos^-1x, tātad^-1x, cosec^-1x, sek^-1x, un bērnu gultiņa^-1x.

Arktāns (iedegums^-1x) nav līdzīgs 1 / tan x. iedegums^-1x ir tan x apgrieztā vērtība, turpretim 1/tan x ir tan x apgrieztā vērtība. iedegums^-1x tiek izmantots dažādu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Šajā rakstā mēs detalizēti izpētīsim arctāna funkcijas formulu, grafiku, īpašības un citus.

Satura rādītājs

• Kas ir Arktāns?
• Kas ir Arctan Formula?
• Arktāna identitātes
• Arctan domēns un diapazons
• Arctan (x) īpašības
• Arktāna galds

Kas ir Arktāns?

Arkatāns ir apgriezts trigonometriskā funkcija iedegums x. Perpendikula un pamatnes attiecību taisnleņķa trijstūrī sauc par trigonometrisko funkciju, un, ņemot to apgrieztā veidā, iegūst arktāna funkciju. Tas tiek skaidrots kā

iedegums (π/4) = 1

⇒ π/4 = iedegums^-1(1)… (šī ir Arctan funkcija)

Ja mums ir taisnleņķa trīsstūris ar leņķi θ, tad tan θ ir perpendikulārs/bāze, tad arktāna funkcija ir,

θ = iedegums ^-1 (perpendikulāri/pamatne)

Uzzināt vairāk, Apgrieztā trigonometriskā funkcija

Kas ir Arctan Formula?

Pieskares ir trigonometriska funkcija, un taisnleņķa trijstūrī pieskares funkcija ir vienāda ar perpendikula un bāzes (perpendikulāra/bāzes) attiecību.

Arktāns ir atsauce uz pieskares apgriezto funkciju. Simboliski arktānu attēlo iedegums^-1x trigonometriskajos vienādojumos.

Arctan formulas definīcija

Kā minēts iepriekš, arktāna pamatformulu nosaka arktāns (perpendikulārs/bāze) = θ, kur θ ir leņķis starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra pamatni. Mēs izmantojam šo formulu arktānam, lai atrastu leņķa θ vērtību grādos vai radiānos.

Pieņemsim, ka leņķa θ tangenss ir vienāds ar x.

x = iedegums θ ⇒ θ = iedegums ^-1 x

Ņemsim taisnleņķa trijstūri ABC ar leņķi BCA kā θ. Mala AB ir perpendikulāra (p), bet mala BC ir bāze (b). Tagad, kad mēs pētījām, ka tangenss ir vienāds ar perpendikulāru pamatni.

t.i. iedegums θ = perpendikulārs/bāze = p/b

ārmstronga numurs

Un, izmantojot iepriekš minēto izteiksmi,

θ = iedegums ^-1 (p/b)

Arktāna identitātes

Ir dažādas Arctan identitātes, ko izmanto dažādu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Dažas no svarīgākajām arktāna identitātēm ir norādītas zemāk,

• arctan(-x) = -arctan(x), visiem x ∈ R
• tan(arktāns x) = x, visiem reālajiem skaitļiem x
• arktāns (iedegums x) = x, ja x ∈ (-π/2, π/2)
• arktāns(1/x) = π/2 – arktāns(x) = arktāns(x), ja x > 0
• arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π, ja x <0
• sin(arktāns x) = x/ √(1+x²)
• cos(arktāns x) = 1/ √(1+x²)
• arktāns(x) = 2arktāns {x/(1 + √(1+x²))}
• arctan(x) = ∫_O^x1/√(1+z²)dz

Kā uzklāt Arctan formulu?

Arctan Formula tiek izmantota dažādu trigonometrisko problēmu risināšanā, un tas pats ir izskaidrots tālāk pievienotajā piemērā.

Piemērs: Taisnleņķa trijstūrī PQR, ja trijstūra augstums ir √3 vienības un trijstūra pamatne ir 1 vienība. Atrodiet leņķi.

Lai atrastu leņķi (θ)

θ = arktāns (perpendikulārs/augstums)

θ = arktāns (√3/1)

θ = 60°

Arctan domēns un diapazons

Visām trigonometriskajām funkcijām, tostarp tan (x), ir saistība 'daudzi pret vienu'. Tomēr funkcijas apgrieztā vērtība var pastāvēt tikai tad, ja tai ir attiecība viens pret vienu un pret. Šī iemesla dēļ tan x domēns ir jāierobežo, pretējā gadījumā apgrieztais nevar pastāvēt. Citiem vārdiem sakot, trigonometriskā funkcija ir jāierobežo ar tās galveno atzaru, jo mēs vēlamies tikai vienu vērtību.

• Arctan x domēns ir Reālais numurs
• Arktāna (x) diapazons ir (-p/2, p/2)

Mēs zinām, ka trigonometriskās funkcijas domēns un diapazons tiek konvertēti attiecīgi apgrieztās trigonometriskās funkcijas diapazonā un domēnā. Tādējādi mēs varam teikt, ka iedeguma domēns^-1x ir visi reālie skaitļi, un diapazons ir (-π/2, π/2).

Interesants fakts, kas jāņem vērā, ir tas, ka mēs varam paplašināt arktāna funkciju, iekļaujot kompleksos skaitļus. Šādā gadījumā arctāna domēns būs visi kompleksie skaitļi.

Arctan (x) īpašības

Arctan x īpašības tiek izmantotas dažādu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Lai pētītu trigonometriju, ir jāizpēta dažādas trigonometriskās īpašības. Tālāk šajā rakstā ir norādītas dažas svarīgas arctāna funkcijas īpašības:

• tik tā^-1x) = x
• tātad^-1(-x) = -tan^-1x
• tātad^-1(1/x) = bērnu gultiņa^-1x, kad x> 0
• tātad^-1x + tā^-1y = tā^-1[(x + y)/(1 – xy)], ja xy <1
• tātad^-1x - tā^-1y = tā^-1[(x – y)/(1 + xy)], ja xy> -1
• tātad^-1x + bērnu gultiņa^-1x = π/2
• tātad^-1(iedegums x) = x [kad x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2), kur n ∈ Z}]
• tātad^-1(tan x) = x [kad x NAV nepāra π/2 daudzkārtnis. citādi, iedegums^-1(iedegums x) nav definēts.]
• 2 tātad^-1x = grēks^-1(2x / (1+x²)), kad |x| ≤ 1
• 2 tātad^-1x = cos^-1((1-x²) / (1+x²)), ja x ≥ 0
• 2 tātad^-1x = iedegums-1(2x / (1-x²)), kad -1

Arktāna galds

Jebkuru leņķi, kas izteikts grādos, var arī pārvērst radiānos. Lai to izdarītu, pakāpes vērtību reizinām ar koeficientu π/180°. Turklāt funkcija arctan izmanto reālu skaitli kā ievadi un izvada atbilstošo unikālo leņķa vērtību. Tālāk sniegtajā tabulā ir norādītas dažu reālu skaitļu arktāna leņķa vērtības. Tos var izmantot arī, veidojot Arktāna grafiku.

Kā mēs pētījām iepriekš, arktāna vērtību var iegūt ar grādiem vai radiāniem. Tātad, zemāk dotā tabula ilustrē aptuvenās arctāna vērtības.

Arktāna grafiks

Arktāna funkcijas grafiks ir bezgalīgais grafiks. Arktāna domēns ir R (reālie skaitļi), un Arktāna funkcijas diapazons ir (-π/2, π/2). Arctan funkcijas grafiks ir apskatīts zemāk esošajā attēlā:

Grafiku veido, izmantojot zināmo punktu vērtību funkcijai y = tan^-1(x)

• x = ∞ ⇒ y = π/2
• x = √3 ⇒ y = π/3
• x = 1/√3 ⇒ y = π/6
• x = 0 ⇒ y = 0
• x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
• x = -√3 ⇒ y = -π/3
• x = -∞ ⇒ y = -π/2

Arctan x atvasinājums

Arktāna atvasinājums ir ļoti svarīgs matemātikas studijām. Arktāna funkcijas atvasinājumu aprēķina, izmantojot šādu koncepciju:

y = arctan x (let)…(1)

Iedegums abās pusēs

iedegums y = iedegums (arctan x) [mēs zinām, ka iedegums (arctan x) = x]

dzeltenbrūns y = x

Abu pušu diferencēšana (izmantojot ķēdes likumu)

sek²y × dy/dx = 1

dy/dx = 1/sek²un

dy/dx = 1 / (1 + iedegums²y) {izmantojot, sek²y = 1 + iedegums²un}

d/dx (arktāns x) = 1/(1 + x ² )

Arctan Integral

Arktāna integrālis ir definēts kā apgrieztās pieskares funkcijas antiatvasinājums. Arctan x integrācija tiek iegūta, izmantojot tālāk sniegto koncepciju,

Ņemsim, ka f(x) = iedegums^-1x un g(x) = 1

Mēs zinām, ka ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx

ieliekot f(x) un g(x) vērtību augstākajā vienādojumā, mēs iegūstam,

∫ iedegums ^-1 x dx = x iedegums ^-1 x – ½ ln |1+x ² | + C

kur C ir integrācijas konstante

Arktāns 0

Arktāns no 0 ir 0. Mēs varam arī teikt, ka iedegums^-1(x) = 0. Tādējādi Arctan(0) = 0

Arctan 2

Arktāns no 2 ir 63,435. Varam arī tā teikt, iedegums^-1(2) = 63,435. Tādējādi Arktāns(2) = 63,435.

Arctan Infinity

Arktāna bezgalība ir dota kā lim_x→∞tātad^-1x = π/2.

Tāpat pārbaudiet

• Trigonometriskā tabula
• Trigonometriskās attiecības
• Trigonometriskās identitātes

Arktāna piemēri

1. piemērs: novērtējiet sevi ^-1 (1).

Risinājums:

tātad^-1(1)

Vērtību 1 var uzrakstīt arī kā,

1 = dzeltenbrūns (45°)

Tagad

tātad^-1(1) = tā^-1(iedegums 45°) = 45°

2. piemērs: novērtējiet sevi ^-1 (1732).

Risinājums:

tātad^-1(1732)

Vērtību 1,732 var uzrakstīt arī kā

1,732 = dzeltenbrūns (60°)

Tagad

tātad^-1(1,732) = tā^-1(iedegums 60°) = 60°

3. piemērs. Atrisiniet tā ^-1 x + tā ^-1 1/x

Risinājums:

• Mēs to zinām, tan^-1x + tā^-1y = tā^-1[(x + y)/(1–xy)]

= tā^-1x + tā^-11/x

= tā^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= tā^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= tā^-1[(x + 1/x)/(1–1)]

= tā^-1[(x + 1/x)/(0)]

= tā^-1[∞]

= π/2

4. piemērs. Atrodiet iedeguma atvasinājumu ^-1 √x

Risinājums:

Mēs to zinām, d/dx (tan^-1x) = 1 / (1 + x²)

⇒ d/dx (tātad^-1√x)

Izmantojot Ķēdes noteikums

= 1 / (1 + [√x]²)

= 1 / (1+x) × d/dx (1/√x)

= 1/(1+x) × 1/2√x

= √x/{2x(x+1)}

Tādējādi d/dx atvasinājums (tan^-1√x) ir √x/{2x(x+1)}

java salīdzināšanas metode

Arctan prakses jautājumi

Q1. Atrodiet iedeguma atvasinājumu ^-1 (2x ² + 3)

Q2. Atrodiet iedeguma integrāli ^-1 √x

Q3. Novērtē sevi tā ^-1 (10)

Q4. Atrisiniet tā ^-1 (x) + iedegums ^-1 (x ² )

Arctan-FAQ

1. Kas ir Arktāns?

Pieskares funkcijas apgriezto vērtību sauc par Arktānu. Tas ir apzīmēts kā arctan x vai iedegums^-1x. Arktāna vērtības noteikšanai izmantotā formula ir θ = iedegums ^-1 (x)

2. Atrodiet Arktāna atvasinājumu.

Arktāna atvasinājums ir, d/dx (arktāns x) = 1 / (1 + x ² )

3. Vai Arctan funkcija ir iedeguma apgrieztā funkcija?

Jā, arktāna funkcija ir apgriezta iedeguma funkcijai. Ja iedegums x = y nekā x = iedegums^-1un

4. Vai Arctan ir līdzīgs Cot?

Nē, arktāns nav līdzīgs bērnu gultiņai. Bērnu gultiņa ir abpusēja iedeguma funkcija. t.i., iedegums x = 1/gultiņa x, turpretim Arktāns ir iedeguma funkcijai apgrieztā krāsā arctan x = iedegums^-1x

5. Kas ir Bezgalības Arktāns?

Kā jau mēs zinām, ka iedeguma vērtība (π/2) = ∞. Arktāns ir iedeguma apgrieztā funkcija, mēs varam teikt, ka arctan(∞) = π/2.

6. Ir Arctan un iedegums^-1tas pats?

Jā, Arktāns un iedegums^-1ir tāds pats kā Arctan ir cits iedeguma nosaukums^-1(x)

7. Kāpēc Arctan (1) pi ir lielāks par 4?

Grēka vērtība^-1(π/4) ir 1/√2 un cos^-1(π/4) ir 1/√2, un mēs to zinām, iedegums^-1(π/4) ir grēks-¹(π/4)/cos^-1(π/4) un arcsin un arccos vērtība ir vienāda, tad arctan (1) vērtība ir π/4.