NEPĀRTRAUKTA UN DISKRĒTA VIENMĒRĪGA SADALĪJUMA FORMULA

Vienota izplatīšana ir varbūtības sadalījums, kas atspoguļo vienādi iespējamos rezultātus, t.i., katra iznākuma iespējamība ir vienāda. Pastāv divu veidu vienmērīgs sadalījums: Diskrēts vienmērīgs sadalījums un nepārtraukts vienmērīgs sadalījums (visbiežāk sastopamais veids elementārajā statistikā). Tas definē gadījuma lieluma blīvuma funkciju, vidējo un dispersiju.

Šajā rakstā mēs uzzināsim par vienotu sadalījumu, vienota sadalījuma veidiem un vienotas sadalījuma formulām, kā arī dažus atrisinātus piemērus, pamatojoties uz to.

Satura rādītājs

Vienota izplatīšana
Vienotā izplatīšanas formula
Vienotās izplatīšanas veidi
Nepārtraukti vienmērīgi sadalījumi vai taisnstūrveida sadalījumi
Diskrēts vienmērīgs sadalījums

Vienota izplatīšana

Vienmērīgs sadalījums ir sadalījums, kura iespējamība ir nemainīga vienlīdz iespējamu notikumu dēļ. To sauc arī par taisnstūrveida sadalījumu (nepārtrauktu vienmērīgu sadalījumu). Tam ir divi parametri a un b: a = minimums un b = maksimums. Sadalījumu raksta kā U (a, b).

Vienotā sadalījuma definīcija

Vienmērīgs sadalījums ir varbūtības sadalījuma veids, kurā katram iespējamajam rezultātam ir vienāda iestāšanās iespējamība. Tas nozīmē, ka visas vērtības noteiktā diapazonā tiek novērotas vienādi.

Vienotā sadalījuma grafiks

Taisnstūra augstuma aprēķināšana:

Mainīgā X maksimālā varbūtība ir 1, tāpēc taisnstūra kopējam laukumam jābūt 1.

bash kamēr cilpa

Taisnstūra laukums = pamatne × augstums = 1

(b – a) × f(x) = 1

f(x) = 1/(b – a) = taisnstūra augstums

$Kumulatīvā sadalījuma funkciju grafiks$

Kumulatīvā sadalījuma funkciju grafiks

Piezīme: Diskrēts vienmērīgs sadalījums: Px = 1/n. Kur, P_x= diskrēta mainīgā varbūtība, n = vērtību skaits diapazonā

Vienotā izplatīšanas formula

Tiek uzskatīts, ka gadījuma lielums X ir vienmērīgi sadalīts pa intervālu -∞

Varbūtības blīvuma funkcija (pdf)	f(x) = 1/(b – a), a ≤ x ≤ b
Vidējais (μ)	int_{a}^{b} x.f(x) ,dx =frac{1}{b-a}[frac{x^2}{2}]_a^b = (a + b)/2
Izkliede (σ²)	int_{a}^{b} x.f(x) ,dx =frac{1}{b-a}[frac{x^2}{2}]_a^b = m₂' - m²=int_{a}^{b}x^2.frac{1}{b-a}dx hspace{0.1cm}-(frac{a+b}{2})^2 = (b–a)²/12
Standarta novirze (σ)	= sqrt {frac{(b – a)^2}{12}} nginx
Kumulatīvās sadales funkcija (cdf)	= (x – a)/(b – a) pie x ∈ [a , b]
Mediāna	= (a + b)/2
Nosacītajai varbūtībai = P( c	= (d – c ) × f(x) = (d–c)/(b–a)

Vienotās izplatīšanas veidi

Vienveidīgas izplatīšanas veidi ir:

Nepārtraukta vienmērīga izplatīšana: Nepārtraukts vienmērīgs varbūtības sadalījums ir sadalījums, kuram ir bezgalīgs skaits vērtību, kas definētas noteiktā diapazonā. Tam ir taisnstūra formas grafiks, ko sauc par taisnstūra sadalījumu. Tas darbojas uz vērtībām, kas pēc būtības ir nepārtrauktas. Piemērs: nejaušo skaitļu ģenerators
Diskrēts vienmērīgs sadalījums: Diskrēts vienmērīgs varbūtības sadalījums ir sadalījums, kuram ir noteikts vērtību skaits, kas definēts noteiktā diapazonā. Tās grafikā ir dažādas vertikālas līnijas katrai ierobežotai vērtībai. Tas darbojas uz vērtībām, kurām ir diskrēts raksturs. Piemērs: tiek izmests kauliņš.

Sīkāk apspriedīsim šos veidus.

Nepārtraukti vienmērīgi sadalījumi vai taisnstūrveida sadalījumi

Nepārtraukti vienmērīgi sadalījumi, kas pazīstami arī kā taisnstūrveida sadalījumi, ir varbūtības sadalījumi, kuros varbūtības blīvuma funkcija (PDF) ir nemainīga noteiktā intervālā un nulle citur. Tas nozīmē, ka visi rezultāti šajā intervālā ir vienādi iespējami.

Nepārtraukti vienmērīgi sadalījumi nodrošina vienkāršu, bet jaudīgu sistēmu nejaušības izpratnei un modelēšanai noteiktos intervālos, padarot tos par būtiskiem instrumentiem varbūtību teorijā un pielietotajā statistikā.

Varbūtības blīvuma funkcija (PDF)

The varbūtības blīvuma funkcija Nepārtraukta vienmērīga sadalījuma (PDF) definē varbūtību, ka gadījuma lielums ietilpst noteiktā intervālā. Nepārtrauktam vienmērīgam sadalījumam intervālā [a, b] PDF failu iegūst šādi:

f(x) = 1 / (b – a) ja a ≤ x ≤ b

un f(x) = 0 pretējā gadījumā.

Kumulatīvās sadales funkcija (CDF)

Nepārtraukta vienmērīga sadalījuma kumulatīvā sadalījuma funkcija (CDF) dod varbūtību, ka nejaušais mainīgais ir mazāks vai vienāds ar noteiktu vērtību. Nepārtrauktam vienmērīgam sadalījumam [a, b] CDF definē kā:

F(x) = (x – a) / (b – a) ja a ≤ x ≤ b

un F(x) = 0 x b.

Funkciju ģenerēšana

Ģenerēšanas funkcijas nodrošina veidu, kā attēlot skaitļu secības kā pakāpju sērijas. Varbūtību teorijā ģenerēšanas funkcijas bieži izmanto, lai manipulētu ar nejaušo mainīgo secībām. Tie var vienkāršot aprēķinus un palīdzēt iegūt svarīgas nejaušo mainīgo un sadalījumu īpašības.

Standarta vienota izplatīšana

Standarta vienmērīgais sadalījums ir īpašs nepārtraukta vienmērīga sadalījuma gadījums, kur intervāls ir [0, 1]. To plaši izmanto simulācijās, nejaušu skaitļu ģenerēšanā un dažādās statistikas lietojumprogrammās.

Nepārtrauktu vienmērīgu sadalījumu īpašības

Vienāds varbūtības blīvums intervālā.
Kumulatīvā sadalījuma funkcija intervālā lineāri palielinās.
Nepārtraukta vienmērīga sadalījuma vidējais lielums ir intervāla viduspunkts.
Nepārtraukta vienmērīga sadalījuma dispersija ir [(b – a)²] / 12.

Nepārtrauktas vienmērīgas sadales pielietojumi

Nenoteiktības modelēšana dažādās jomās, piemēram, inženierzinātnēs, finansēs un fizikā.
Nejaušo skaitļu ģenerēšana simulācijām un spēlēm.
Izmanto statistiskajā kvalitātes kontrolē, lai modelētu ražošanas procesu vienveidību.
Kriptogrāfijā atslēgu ģenerēšanai un nejaušu permutāciju izveidošanai.
Kā bāzes sadalījums salīdzināšanai ar citiem sadalījumiem statistiskajā analīzē.

Diskrēts vienmērīgs sadalījums

Diskrēts vienmērīgs sadalījums ir a varbūtība sadalījums, kas apraksta iznākumu iespējamību, ja katrs gala kopas rezultāts ir vienlīdz iespējams. To raksturo pastāvīga varbūtības masas funkcija (PMF) ierobežotā vērtību diapazonā.

Diskrētais vienmērīgais sadalījums kalpo kā fundamentāls modelis varbūtību teorijā un statistikā, nodrošinot vienkāršu, bet efektīvu veidu, kā aprakstīt nenoteiktību situācijās, kad rezultāti ir vienlīdz iespējami. Tās īpašības un pielietojums aptver dažādas disciplīnas, padarot to par daudzpusīgu rīku datu analīzei un lēmumu pieņemšanas procesos.

Maksimuma aplēse

In statistika , maksimuma novērtējums attiecas uz metodēm, ko izmanto, lai novērtētu lielāko vērtību vai maksimālo novērojumu datu kopā. Šim nolūkam parasti tiek izmantotas tādas metodes kā pasūtījumu statistika un maksimālās iespējamības novērtēšana.

Izlases permutācija

Nejauša permutācija ir vienumu vai elementu kopas nejaušs izkārtojums. To bieži izmanto dažādās jomās, piemēram, kriptogrāfijā, statistikā un datorzinātnēs. Nejaušu permutāciju ģenerēšana ir būtiska algoritmos, simulācijās un eksperimentālos projektos.

Diskrētā vienmērīgā sadalījuma īpašības

Katram iznākumam izlases telpā ir vienāda iestāšanās iespējamība.
Varbūtības masas funkcija (PMF) ir nemainīga visu iespējamo rezultātu diapazonā.
Diskrēta vienmērīga sadalījuma vidējais lielums ir minimālās un maksimālās vērtības vidējais lielums.
Diskrēta vienmērīga sadalījuma dispersija ir [(n^2 – 1) / 12], kur n ir iespējamo iznākumu skaits.

Diskrētā vienmērīgā sadalījuma pielietojumi

Godīgu kauliņu ripināšana vai godīgu monētu mešana, kur katram iznākumam ir vienāda iespējamība.
Scenāriju modelēšana, kad nav priekšroka vai neobjektivitāte pret kādu konkrētu rezultātu.
Paraugu ņemšana bez aizstāšanas, piemēram, izlases paraugu atlase no ierobežotas kopas.
Nejaušu skaitļu ģenerēšana simulācijām, Montekarlo metodēm un randomizētiem algoritmiem.
Nejaušas permutācijas izveide kāršu kavu jaukšanai, eksperimentu projektēšana un kriptogrāfijas lietojumprogrammas.

Lasīt vairāk,

Puasona izplatība
Binomiālais sadalījums
Normāls sadalījums

Jautājumu paraugi

1. jautājums: nejaušam mainīgajam X ir vienmērīgs sadalījums pa (-2, 2),

(i) atrast k, kuram P(X>k) = 1/2 (ii) Novērtēt P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Risinājums:

(i) X =f(x) = 1/(b-a) = 1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2
izpildlaika kļūda

Atrisinot, iegūstam k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

2. jautājums: ja X ir vienmērīgi sadalīts (-1 , 4), tad

i) tā vidējais rādītājs ir __________________.

(ii) tā dispersija ir __________________.

iii) tā standarta novirze ir ___________.

(iv) tā mediāna ir __________________.

Risinājums:

Šeit a = -1 un b = 4

(i) Vidējais (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Izkliede (σ²) = (4+1)²/12 = 2,08

(iii) Standarta novirze(σ) =√2,08 = 1,443

(iv) Mediāna = (4-1)/2 = 1,5

3. jautājums: ja tradicionālajā kāršu komplektā ir 52 kārtis ar četriem uzvalkiem: sirsniņām, lāpstām, nūjām un dimantiem. Katrā komplektā ir 13 kārtis, no kurām 3 ir sejas kārtis. Jaunais klājs tiek veidots, izslēdzot kāršu skaitu. Tad kāda ir varbūtība iegūt sirds karti no modificētā klāja?

pele un peļu veidi

Risinājums:

Jautājumā dotais karšu skaits ir ierobežots, tāpēc tas ir diskrēts vienmērīgs sadalījums.

Formula varbūtības noteikšanai diskrētā vienmērīgā sadalījumā ir P(X) = 1/n

Sirds iegūšanas varbūtība modificētajā klājā = 1/4 = 0,25

4. jautājums: izmantojot gadījuma lieluma X vienmērīgu sadalījuma varbūtības blīvuma funkciju (0, 20), atrodiet P(3

Risinājums:

Šeit a = 0, b = 20

f(x) = 1/(20–0) = 1/20

P(3

5. jautājums: nejaušam mainīgajam X ir vienmērīgs sadalījums pa (-5 , 6), atrodiet kumulatīvā sadalījuma funkciju x = 3.

Risinājums:

Šeit a = -5, b = 6, x = 3

CDF = (3 – (-5))/(6 – (-5)) = 8/11

Vienotā izplatīšanas formula — FAQ
Kas ir vienmērīgs sadalījums?

Vienmērīgs sadalījums attiecas uz varbūtības sadalījuma veidu, kurā katram iespējamajam rezultātam ir vienāda iestāšanās iespējamība. Citiem vārdiem sakot, vienādi iespējams, ka tiks ievērotas vērtības noteiktā diapazonā. Vienmērīgs sadalījums var būt nepārtraukts vai diskrēts.
pēc pasūtījuma šķērsošana

Kas ir nepārtraukts vienmērīgs sadalījums?

Nepārtraukts vienmērīgs sadalījums ir varbūtības sadalījums, kas piešķir vienādu varbūtības blīvumu visiem rezultātiem noteiktā intervālā. Tas nozīmē, ka jebkurai vērtībai intervālā ir vienāda iespēja rasties. Varbūtības blīvuma funkcija (PDF) paliek nemainīga visā intervālā un ir nulle ārpus intervāla. Piemēri ietver standarta vienmērīgo sadalījumu pa intervālu [0, 1] un šī sadalījuma variācijas pa citiem intervāliem.

Kas ir diskrēts vienmērīgs sadalījums?

Diskrēts vienmērīgs sadalījums ir varbūtības sadalījums, kurā pastāv ierobežots iznākumu skaits un katram iznākumam ir vienāda iestāšanās iespējamība. Būtībā tā ir diskrēta nepārtrauktas vienotas izplatīšanas versija. Kā piemērus var minēt godīga kauliņa mešanu, kur katrai sejai ir vienāda iespējamība 1/6, vai kārts izvilkšanu no standarta klāja, kur katras kārts varbūtība ir 1/52, ja tā tiek izvilkta nejauši un bez aizstāšanas.

Kā aprēķināt vienota sadalījuma vidējo vērtību?

Nepārtraukta vienmērīga sadalījuma vidējā vai paredzamā vērtība ir 2 m =2 a + b .

Kā no grafika var noteikt vienmērīgu sadalījumu?

Vienmērīgs sadalījuma grafiks ir plakans, norādot, ka katram rezultātam norādītajā diapazonā ir vienāda iestāšanās iespējamība.

Kādi ir daži vienotas izplatīšanas piemēri?

Kā piemērus var minēt godīgu kauliņu metināšanu, kur katrs iznākums ir vienlīdz iespējams, vai nejauši izvēlēta punkta gar ceļa posmu.

Vai vienmērīgs sadalījums var būt šķībs?

Nē, pēc definīcijas vienmērīgi sadalījumi nav šķībi, jo katram rezultātam diapazonā ir vienāda iespējamība.

Kā reālajā dzīvē tiek izmantota vienota sadale?

To izmanto simulācijās, nejaušu skaitļu izveidošanai datorprogrammās un kvalitātes kontroles procesos.

Kāda ir atšķirība starp diskrētu un nepārtrauktu vienmērīgu sadalījumu?

Diskrēti vienmērīgi sadalījumi attiecas uz scenārijiem ar ierobežotu rezultātu kopu, savukārt nepārtraukti vienmērīgi sadalījumi attiecas uz scenārijiem, kur jebkura vērtība nepārtrauktā diapazonā ir vienlīdz iespējama.