Trigonometrija ir svarīga matemātikas nozare, kas pēta attiecības starp taisnleņķa trijstūra leņķiem un malu garumiem. Sešas trigonometriskās attiecības vai funkcijas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kosekants un sekants, un trigonometriskā attiecība ir attiecība starp taisnleņķa trijstūra malām. Sinusa, kosinusa un pieskares funkcijas ir trīs svarīgas trigonometriskās funkcijas, jo pārējās trīs, t.i., kosekantes, sekantes un kotangentes funkcijas, ir attiecīgi sinusa, kosinusa un pieskares funkciju abpusējas funkcijas.

• sin θ = pretējā puse/hipotenūza
• cos θ = Blakus puse/Hipotenūza
• iedegums θ = pretējā puse/blakuspuse
• cosec θ = hipotenūza/pretēja puse
• sec θ = hipotenūza/blakus puse
• gultiņa θ = blakus puse/pretējā puse

Pieskares funkcija ir viena no 6 izmantotajām trigonometriskajām funkcijām trigonometrijas formulas .

Satura rādītājs

• Pieskares formula
• Dažas pamata pieskares formulas
• Pieskares funkcija sinusa funkcijas izteiksmē
• Pieskares funkcija kosinusa funkcijas izteiksmē
• Pieskares funkcija kotangentes funkcijas izteiksmē
• Pieskares funkcija kosekanta funkcijas izteiksmē
• Pieskares funkcija sekanta funkcijas izteiksmē

Pieskares formula

Leņķa pieskares taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas garuma attiecība pret blakus esošās malas garumu pret doto leņķi. Pieskares funkciju rakstām kā iedegumu. Apskatīsim taisnleņķa trīsstūri XYZ, un viens no tā asajiem leņķiem ir θ. Pretēja puse ir mala, kas ir pretēja leņķim θ, un blakus esošā puse ir mala, kas atrodas blakus leņķim θ.

Tagad dotā leņķa θ pieskares formula ir,

iedegums θ = pretējā puse/blakuspuse

Dažas pamata pieskares formulas

Pieskares funkcija kvadrantos

Pieskares funkcija ir pozitīva pirmajā un trešajā kvadrantā un negatīva otrajā un ceturtajā kvadrantā.

• iedegums (2π + θ) = iedegums θ (1^stkvadrants)
• iedegums (π – θ) = – iedegums θ (2^ndkvadrants)
• iedegums (π + θ) = iedegums θ (3^rdkvadrants)
• iedegums (2π – θ) = – iedegums θ (4^thkvadrants)

Pieskares funkcija kā negatīva funkcija

Pieskares funkcija ir negatīva funkcija, jo negatīvā leņķa tangensa ir pozitīvā pieskares leņķa negatīvā.

iedegums (-θ) = – iedegums θ

Pieskares funkcija sinusa un kosinusa funkcijas izteiksmē

Pieskares funkciju sinusa un kosinusa funkciju izteiksmē var uzrakstīt kā,

tan θ = sin θ/cos θ

Mēs zinām, ka iedegums θ = pretējā puse/blakuspuse

Tagad sadaliet gan skaitītāju, gan saucēju ar hipotenūzu

iedegums θ = (pretējā puse/hipotenūza)/(blakuspuse/hipotenūza)

Mēs zinām, ka grēks θ = pretējā puse/hipotenūza

cos θ = blakus esošā puse/hipotenūza

Tādējādi tan θ = sin θ/cos θ

Pieskares funkcija sinusa funkcijas izteiksmē

Pieskares funkciju sinusa funkcijas izteiksmē var uzrakstīt kā,

iedegums θ = sin θ/(√1 – grēks ² i)

Mēs to zinām,

tan θ = sin θ/cos θ

kādi mēneši ir Q1

No Pitagora identitātēm mums ir,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – grēks²i

cos θ = √(1 – sin²i)

Tātad iedegums θ = grēks θ/(√1 – grēks²i)

Pieskares funkcija kosinusa funkcijas izteiksmē

Pieskares funkciju kosinusa funkcijas izteiksmē var uzrakstīt kā,

iedegums θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Mēs to zinām,

tan θ = sin θ/cos θ

No Pitagora identitātēm mums ir,

bez²θ + cos²θ = 1

bez²θ = 1 – cos²i

sin θ = √(1 – cos²i)

Tādējādi iedegums θ = (√1 – cos²i)/cos i

Pieskares funkcija kotangentes funkcijas izteiksmē

Pieskares funkciju kotangentes funkcijas izteiksmē var uzrakstīt kā,

iedegums θ = 1/gultiņa θ

vai

iedegums θ = bērnu gultiņa (90° – θ) (vai) gultiņa (π/2 – θ)

Pieskares funkcija kosekanta funkcijas izteiksmē

Pieskares funkciju kosekantu funkcijas izteiksmē var uzrakstīt kā,

iedeguma θ = 1/√ (kosek ² es - 1)

No Pitagora identitātēm mums ir,

cosec²θ – bērnu gultiņa²θ = 1

bērnu gultiņa²θ = cosec²es - 1

bērnu gultiņa θ = √ (kosek²es - 1)

Mēs to zinām,

iedegums θ = 1/gultiņa θ

Tādējādi iedegums θ = 1/√ (kosek²es - 1)

Pieskares funkcija sekanta funkcijas izteiksmē

Pieskares funkciju sekanta funkcijas izteiksmē var uzrakstīt kā,

iedegums θ = √sek ² es - 1

No Pitagora identitātēm mums ir,

sek²θ – tātad²θ = 1

iedegums θ = sek²es - 1

Tādējādi iedegums θ = √ (sek²es - 1)

Pieskares funkcija dubultā leņķa izteiksmē

Pieskares funkcija dubultam leņķim ir,

iedegums 2θ = (2 tan θ)/(1 – iedegums ² i)

Pieskares funkcija trīskāršā leņķa izteiksmē

Trīskāršā leņķa pieskares funkcija ir,

iedegums 3θ = (3 tan θ – iedegums ³ θ) / (1–3 iedegums ² i)

Pieskares funkcija pusleņķa izteiksmē

Pieskares funkcija pusleņķim ir,

iedegums (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

iedegums (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Pieskares funkcija divu leņķu saskaitīšanas un atņemšanas izteiksmē

Pieskares funkcijas summas un starpības formulas ir,

iedegums (A + B) = (iedegums A + iedegums B)/(1 — iedegums A iedegums B)

iedegums (A–B) = (iedegums A — iedegums B)/(1 + iedegums A iedegums B)

Trigonometrisko attiecību tabula

Atrisināts pieskares formulu piemērs

1. piemērs. Atrodiet tan θ vērtību, ja sin θ = 2/5 un θ ir pirmais kvadranta leņķis.

Risinājums:

Ņemot vērā,

• sin θ = 2/5

No Pitagora identitātēm, kas mums ir,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – grēks²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Tā kā θ ir pirmais kvadranta leņķis, cos θ ir pozitīvs.

cos θ = √21/5

Mēs to zinām,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

iedeguma θ = 2√21/21

Tātad tan θ vērtība, kad sin θ = 2/5 un θ atrodas pirmajā kvadrantā, ir (2√21) /(21)

2. piemērs. Atrodiet tan x vērtību, ja sec x = 13/12 un x ir ceturtā kvadranta leņķis.

Risinājums:

Ņemot vērā, sek x = 13/12

No Pitagora identitātēm mums ir,

sek²x - tā²x = 1

tātad²x = sek²x – 1= (13/12)²- 1

tātad²x = (169/144) – 1 = 25/144

iedegums x = ± 5/12

Tā kā x ir ceturtā kvadranta leņķis, tan x ir negatīvs.

iedegums x = – 5/12

Tāpēc iedegums x = – 5/12

3. piemērs: ja iedegums X = 2/3 un iedegums Y = 1/2, tad kāda ir iedeguma (X + Y) vērtība?

ipconfig uz Ubuntu

Risinājums:

Ņemot vērā,

iedegums X = 2/3 un iedegums Y = 1/2

Mēs to zinām,

iedegums (X + Y) = (iedegums X + iedegums Y)/(1 — iedegums X iedegums Y)

iedegums (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3) × (1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Tāpēc iedegums(X + Y) = 7/4

4. piemērs: Aprēķiniet pieskares funkciju, ja taisnleņķa trijstūra blakus un pretējās malas ir attiecīgi 4 cm un 7 cm.

Risinājums:

Ņemot vērā,

Blakus esošā puse = 4 cm

Pretējā puse = 7 cm

Mēs to zinām,

iedegums θ = pretējā puse/blakuspuse

iedegums θ = 7/4 = 1,75

Tāpēc iedeguma θ = 1,75

5. piemērs: Vīrietis skatās uz pulksteņa torni 60° leņķī pret torņa virsotni, kura augstums ir 100 m. Kāds ir attālums starp cilvēku un torņa pamatni?

Risinājums:

Ņemot vērā,

Torņa augstums = 100 m un θ = 60°

Ļaujiet attālumam starp cilvēku un torņa pēdu = d

Mums ir,

iedegums θ = pretējā puse/blakuspuse

iedegums 60° = 100/d

√3 = 100/d [kopš, tātad 60° = √3]

d = 100/√3

Tāpēc attālums starp cilvēku un torņa pēdu ir 100/√3

6. piemērs: atrodiet tan θ vērtību, ja sin θ = 7/25 un sec θ = 25/24.

Risinājums:

Ņemot vērā,

sin θ = 7/25

sek θ = 25/24

Mēs to zinām,

sec θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Mums ir,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Tāpēc iedeguma θ = 7/24

7. piemērs. Atrodiet tan θ vērtību, ja cosec θ = 5/3 un θ ir pirmais kvadranta leņķis.

Risinājums:

Dots, cosec θ = 5/3

No Pitagora identitātēm mums ir,

string.format java

cosec²θ – bērnu gultiņa²θ = 1

bērnu gultiņa²θ = cosec²es - 1

bērnu gultiņa θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

bērnu gultiņa θ = ±√16/9 = ± 4/3

Tā kā θ ir pirmais kvadranta leņķis, gan kotangenses, gan tangenses funkcijas ir pozitīvas.

bērnu gultiņa θ = 4/3

Mēs to zinām,

bērnu gultiņa θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

iedegums θ = 3/4

Tāpēc iedegums θ = 3/4

8. piemērs. Atrodiet tan 3θ, ja sin θ = 3/7 un θ ir pirmais kvadranta leņķis.

Risinājums:

Ņemot vērā, grēks θ = 12/13

No Pitagora identitātēm, kas mums ir,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – grēks²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Tā kā θ ir pirmais kvadranta leņķis, cos θ ir pozitīvs.

cos θ = 5/13

Mēs to zinām,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Tādējādi iedegums θ = 12/5

Tagad mēs zinām, ka

iedegums 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1–3 tan2θ)

iedegums 3θ = 3 × (12/5)