logo

TechCodeview

Matemātiskās indukcijas princips

Matemātiskā indukcija ir matemātikas jēdziens, ko izmanto, lai pierādītu dažādus matemātiskos apgalvojumus un teorēmas. Matemātiskās indukcijas principu dažreiz sauc par PMI. Tas ir paņēmiens, ko izmanto, lai pierādītu matemātikas pamatteorēmas, kas ietver risinājumu līdz n galīgiem naturāliem terminiem.

Matemātiskās indukcijas princips tiek plaši izmantots dažādu apgalvojumu pierādīšanai, piemēram, pirmā summa n naturālie skaitļi tiek dota pēc formulas n(n+1)/2. To var viegli pierādīt, izmantojot matemātiskās indukcijas principu.

Šajā rakstā mēs detalizēti uzzināsim par matemātiskās indukcijas principu, tā apgalvojumu, piemēru un citiem.



Satura rādītājs

Kas ir matemātiskā indukcija?

Matemātiskā indukcija ir viena no pamatmetodēm pierādījumu rakstīšanai, un to izmanto, lai pierādītu doto apgalvojumu par jebkuru labi organizētu kopu. Parasti to izmanto, lai pierādītu rezultātus vai izveidotu apgalvojumus, kas ir formulēti n , kur n ir naturāls skaitlis.

Pieņemsim, ka P(n) ir apgalvojums n naturālam skaitlim, tad to var pierādīt, izmantojot matemātiskās indukcijas principu. Pirmkārt, mēs pierādīsim P(1), tad lai P(k) ir patiess, tad pierādīsim P(k+1) . Ja P(k+1) ir spēkā, mēs sakām, ka P(n) ir patiess pēc matemātiskās indukcijas principa.

Mēs varam salīdzināt matemātisko indukciju ar krītošiem domino kauliņiem. Kad domino nokrīt, tas pēc kārtas notriec nākamo domino. Pirmais domino nogāž otro, otrais notriec trešo utt. Galu galā visi domino kauliņi tiks pārspēti. Bet ir jāievēro daži nosacījumi:

  • Pamata solis ir tāds, ka sākuma domino kauliņam ir jānokrīt, lai aktivizētu klauvēšanas procesu.
  • Attālumam starp domino kauliņiem jābūt vienādam jebkuriem diviem blakus esošajiem domino kauliņiem. Pretējā gadījumā noteikts domino var nokrist, nespēlējot nākamo. Tad reakciju secība apstāsies. Vienāda starpdomino attāluma saglabāšana nodrošina, ka P(k) ⇒ P(k + 1) katram veselam skaitlim k ≥ a. Šis ir induktīvais solis.

Matemātiskās indukcijas paziņojuma princips

Jebkuru apgalvojumu P(n), kas attiecas uz n naturālu skaitli, var pierādīt, izmantojot matemātiskās indukcijas principu, veicot tālāk norādītās darbības.

1. darbība: Pārbaudiet, vai apgalvojums ir patiess triviāliem gadījumiem ( n = 1) i., pārbaudiet, vai P(1) ir patiess.

2. darbība: Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess n = k gadījumā, ja k ≥ 1, t.i., P(k) ir patiess.

3. darbība: Ja P(k) patiesība nozīmē P(k + 1) patiesumu, tad apgalvojums P(n) ir patiess visiem n ≥ 1 .

Tālāk pievienotajā attēlā ir visas matemātiskās indukcijas darbības

Pirmais apgalvojums ir fakts, un, ja nav iespējams visiem P(n) būt patiesiem pie n = 1, tad šie apgalvojumi ir patiesi dažām citām n vērtībām, piemēram, n = 2, n = 3 un citiem.

Ja apgalvojums ir patiess attiecībā uz P(k), tad, ja ir pierādīts, ka P(k+1) ir patiess, mēs sakām, ka P(n) ir patiess visiem n, kas pieder pie naturālajiem skaitļiem (N).

Matemātiskās indukcijas soļi

Dažādi soļi, kas tiek izmantoti matemātiskajā indukcijā, ir attiecīgi nosaukti. Matemātiskās indukcijas principā izmantotie dažādu soļu nosaukumi ir:

  • Pamata solis: Pierādīt, ka P(k) ir patiess, ja k =1
  • Pieņēmuma solis: Pieņemsim, ka P(k) ir patiess visiem k N un k> 1
  • Indukcijas solis: Pierādiet, ka P(k+1) ir patiess, izmantojot matemātiskās pamatīpašības.

Ja tiek pierādīti iepriekš minētie trīs soļi, mēs varam teikt, ka pēc matemātiskās indukcijas principa P(n) ir patiess visiem n, kas pieder pie N.

Matemātiskās indukcijas piemērs

Matemātiskā indukcija tiek izmantota, lai pierādītu dažādus apgalvojumus, mēs to varam uzzināt, izmantojot šādu piemēru.

Jebkuram pozitīvam veselam skaitlim n pierādiet, ka n3+ 2n vienmēr dalās ar 3

Risinājums:

Ļaujiet P(n): n3Dotais apgalvojums + 2n dalās ar 3.

1. darbība: pamata darbība

Pirmkārt, mēs pierādam, ka P(1) ir patiess. Pieņemsim, ka n = 1 n3+ 2n
= 13+ 2(1)
= 3

Tā kā 3 dalās ar 3. Tādējādi P(1) ir patiess.

2. solis: pieņēmuma solis

Pieņemsim, ka P(k) ir patiess

Tad, k3+ 2k dalās ar 3

Tādējādi mēs to varam rakstīt kā k3+ 2k = 3n, (kur n ir jebkurš pozitīvs vesels skaitlis)….(i)

kali linux terminālis

3. darbība: ievadīšanas soļi

Tagad mums ir jāpierāda, ka algebriskā izteiksme (k + 1)3+ 2(k + 1) dalās ar 3

= (k + 1)3+ 2 (k + 1)

= k3+ 3k2+ 5k + 3

= (k3+ 2 k) + (3 k2+ 3k + 3)

no vienād.(i)

= 3n + 3 (k2+ k + 1)

= 3(n + k2+ k + 1)

Tā kā tas ir 3 reizinājums, mēs varam teikt, ka tas dalās ar 3.

Tādējādi P(k+1) ir patiess, t.i., (k + 1)3+ 2(k + 1) ir dalāms ar 3. Tagad, izmantojot matemātiskās indukcijas principu, mēs varam teikt, ka P(n): n3+ 2n dalās ar 3 ir taisnība.

Lasīt vairāk,

Atrisināti piemēri par matemātisko indukciju

1. piemērs: Visiem n ≥ 1 pierādiet, ka 1 2 + 2 2 + 3 2 +….+n 2 = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Risinājums:

Dotais apgalvojums ir P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Tagad pieņemsim pozitīvu veselu skaitli k un pieņemsim, ka P(k) ir patiess, t.i.,

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Tagad mēs pierādīsim, ka arī P(k + 1) ir patiess, tāpēc tagad mums ir,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)2

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Tādējādi P(k + 1) ir patiess, ja P(k) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem. Līdz ar to matemātiskās indukcijas procesā dotais rezultāts ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem.

2. piemērs: Visiem n ≥ 1 pierādiet, ka 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Risinājums:

Dotais apgalvojums ir S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Tagad pieņemsim pozitīvu veselu skaitli k un pieņemsim, ka S(k) ir patiess, t.i.,

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Tagad mēs pierādīsim, ka arī S(k + 1) ir patiess, tāpēc tagad mums ir,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Tādējādi S(k + 1) ir patiess, kad S(k) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem. Un mēs sākotnēji parādījām, ka S (1) ir patiess, tādējādi S (n) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem.

3. piemērs: Visiem n ≥ 1 pierādiet, ka 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n 2

Risinājums:

Dotais apgalvojums ir S(n),

un S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n2

Ja n = 1, 2 × 1 – 1 = 12Tādējādi S(1) ir patiess.

Tagad pieņemsim pozitīvu veselu skaitli k un pieņemsim, ka S(k) ir patiess, t.i.,

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k2

Tagad mēs pierādīsim, ka arī S(k + 1) ir patiess, tāpēc tagad mums ir,

1+3+5+…+ (2(k+1)–1) = (k+1)2

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k–1) + 2k + 2–1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k2+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)2

⇒ L.H.S = R.H.S

Tādējādi S(k + 1) ir patiess, kad S(k) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem. Un mēs sākotnēji parādījām, ka S (1) ir patiess, tādējādi S (n) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem.

4. piemērs: Visiem n ≥ 1 pierādiet, ka 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Risinājums:

Dotais apgalvojums ir S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Tagad pieņemsim pozitīvu veselu skaitli k un pieņemsim, ka S(k) ir patiess, t.i.,

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Tagad mēs pierādīsim, ka arī S(k + 1) ir patiess, tāpēc tagad mums ir,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Tādējādi S(k + 1) ir patiess, kad S(k) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem. Un mēs sākotnēji parādījām, ka S (1) ir patiess, tādējādi S (n) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem.

5. piemērs: pierādi a n = a 1 + (n – 1) d, ir jebkuras aritmētiskās secības vispārīgais termins.

Risinājums:

Ja n = 1, mums ir an= a1+ (1–1) d = a1, tāpēc formula ir patiesa n = 1,

Pieņemsim, ka formula ak= a1+ (k – 1) ir taisnība visiem naturālajiem skaitļiem.

Tagad mēs pierādīsim, ka formula ir patiesa arī k+1, tāpēc tagad mums ir,

ak+1= a1+ [(k + 1) – 1] d = a1+ k · d.

Mēs pieņēmām, ka ak= a1+ (k – 1) d, un pēc aritmētiskās secības definīcijas ak+1– ak= d,

Tad, ak+1– ak

= (a1+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a1– a1+ kd – kd + d
= d

Tādējādi formula ir patiesa k + 1, kad tā ir patiesa k. Un mēs sākotnēji parādījām, ka formula ir patiesa n = 1. Tādējādi formula ir patiesa visiem naturālajiem skaitļiem.

Bieži uzdotie jautājumi par matemātisko indukciju

Kas ir matemātiskās indukcijas princips?

Matemātiskās indukcijas princips ir princips, kas saka, ka jebkuram apgalvojumam P(n), ja tas ir patiess jebkurai patvaļīgai vērtībai 'a', ja P(a) ir patiess un ja mēs pieņemam P(k) par patiesu, tad pierādot P( k+1) lai būtu patiess, mēs varam pierādīt, ka P(n) ir patiess visiem n ≥ a, un n, kas pieder pie naturālajiem skaitļiem.

java objektu vienlīdzība

Kāda ir matemātiskās indukcijas izmantošana?

Matemātiskā indukcija ir pamatprincips, ko matemātikā izmanto, lai pierādītu matemātikas pamatprasības, kuras nevar viegli pierādīt ar citiem līdzekļiem.

Kāds ir matemātiskās indukcijas princips matricās?

Matemātiskās indukcijas princips matricās ir pamatprincips, kas tiek izmantots, lai pierādītu pamata apgalvojumus matricās, kurus nav viegli pierādīt ar citiem līdzekļiem.

Kā pielietot matemātiskās indukcijas principu?

Matemātiskās indukcijas princips tiek izmantots, lai pierādītu matemātiskos apgalvojumus, pieņemot, ka mums ir jāpierāda apgalvojums P(n), tad tiek piemēroti šādi soļi:

1. darbība: Pierādīt, ka P(k) ir patiess, ja k =1

2. darbība: Pieņemsim, ka P(k) ir patiess visiem k N un k> 1

3. darbība: Pierādiet, ka P(k+1) ir patiess, izmantojot matemātiskās pamatīpašības.

Tādējādi, ja P(k+1) ir patiess, tad mēs sakām, ka P(n) ir patiess.

Kādi ir soļi, lai atrisinātu problēmu, izmantojot matemātisko indukciju?

Trīs pamata soļi, ko izmanto matemātiskajā indukcijā, ir

  • Pamata solis
  • Pieņēmuma solis
  • Indukcijas solis