Paskāla trīsstūris ir skaitlisks raksts, kas sakārtots trīsstūrveida formā. Šis trīsstūris nodrošina jebkuras binomināla izteiksmes izplešanās koeficientus ar skaitļiem, kas sakārtoti tā, lai tie veidotu trīsstūrveida formu. t.i., Paskāla trijstūra otrā rinda apzīmē koeficientus (x+y)²un tā tālāk.

Paskāla trīsstūrī katrs skaitlis ir iepriekš minēto divu skaitļu summa. Paskāla trīsstūrim ir dažādi pielietojumi varbūtību teorijā, kombinatorikā, algebrā un dažādās citās matemātikas nozarēs.

Ļaujiet mums uzzināt vairāk par Paskāla trīsstūris, tā konstrukcija un dažādi Paskāla trīsstūra raksti ir detalizēti šajā rakstā.

Satura rādītājs

• Kas ir Paskāla trīsstūris?
• Kas ir Paskāla trīsstūris?
• Paskāla trīsstūra definīcija
• Paskāla trīsstūra konstrukcija
• Paskāla trijstūra formula
• Paskāla trijstūra binomiālā izplešanās
• Kā lietot Paskāla trīsstūri?
• Paskāla trīsstūra raksti
• Rindu pievienošana
• Pirmskaitļi Paskāla trijstūrī
• Diagonāles Paskāla trijstūrī
• Fibonači secība Paskāla trīsstūrī
• Paskāla trīsstūra īpašības
• Paskāla trīsstūra piemēri

Kas ir Paskāla trīsstūris?

Tas ir nosaukts slavenā filozofa un matemātiķa Balīzes Paskāla vārdā, kurš izstrādāja skaitļu modeli, kas sākas ar 1, un skaitļi zem tā ir iepriekš minēto skaitļu summēšana. Vispirms pierakstiet skaitli 1, lai sāktu veidot Paskāla trīsstūri. Otro rindu atkal pieraksta divi 1. Citas rindas tiek ģenerētas, izmantojot iepriekšējās rindas, lai izveidotu skaitļu trīsstūri. Katra rinda sākas un beidzas ar 1.

Paskāla trīsstūra pamatstruktūra ir parādīta tālāk pievienotajā attēlā,

Kas ir Paskāla trīsstūris?

Mēs definējam Paskāla trīsstūri kā skaitļu pamatkopu, kas sakārtoti trīsstūrveida masīvā tā, ka katrs Paskāla trijstūra elements ir divu virs tā esošo skaitļu summa. Paskāla trijstūris sākas ar 1, un to pirmo reizi ierosināja slavenais franču matemātiķis Balise Paskāls, un tāpēc to nosauca par Paskāla trīsstūri.

Šis trīsstūris attēlo dažādu pakāpju binoma izplešanās koeficientus. (mums ir jāpārliecinās, ka jauda binoma izvērsumā ir tikai naturāls skaitlis, tad tikai Paskāla trīsstūris attēlo binoma izplešanās koeficientus).

Paskāla trīsstūra definīcija

Paskāla trīsstūris ir trīsstūrveida skaitļu masīvs, kurā katrs skaitlis ir divu tieši virs tā esošo skaitļu summa.

Paskāla trīsstūra konstrukcija

Mēs varam viegli izveidot Pad=scal trijstūri, vienkārši pievienojot divus skaitļus no iepriekšējās rindas, lai iegūtu nākamo skaitli zemāk esošajā rindā. Var pieņemt, ka nulles rinda sākas ar vienu elementu 1 un tad otrajā rindā elements ir 1 1, ko veido, saskaitot 1+0 un 1+0. Līdzīgi elementi otrajā rindā ir, 1 2 1 2, kas tiek veidoti, saskaitot, 1+0, 1+1 un 1+0, un tādējādi tiek iegūti trešās rindas elementi. Paplašinot šo jēdzienu līdz n-tajai rindai, mēs iegūstam Paskāla trīsstūri ar n+1 rindām.

Paskāla trīsstūris līdz 3. rindai ir parādīts zemāk esošajā attēlā,

rudyard kipling ja paskaidrojums

No iepriekš redzamā attēla mēs viegli novērojam, ka pirmais un pēdējais elements katrā rindā ir 1.

Paskāla trijstūra formula

Paskāla trijstūra formula ir formula, kas tiek izmantota, lai atrastu skaitli, kas jāaizpilda m-tajā kolonnā un n-tajā rindā. Kā zināms, Paskāla trijstūra termini ir terminu summēšana augstāk minētajā rindā. Tāpēc mums ir nepieciešami elementi (n-1) rindā un (m-1) un n-tajā kolonnā, lai iegūtu vajadzīgo skaitu m. kolonnā un n-tajā rindā.

Lasiet sīkāk: Paskāla trijstūra formula

Ir doti Paskāla trijstūra n-tās rindas elementi,ⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,…,ⁿC_n.

Formula jebkura skaitļa atrašanai Paskāla trīsstūrī ir šāda:

ⁿ Cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _m

kur,

• ⁿ C _m apzīmē (m+1)-to elementu n-tajā rindā. un
• n ir nenegatīvs vesels skaitlis [0 ≤ m ≤ n]

Mēs varam saprast šo formulu, izmantojot tālāk apskatīto piemēru,

Piemērs: Atrodiet trešo elementu Paskāla trīsstūra trešajā rindā.

Risinājums:

Mums jāatrod trešais elements Paskāla trijstūra trešajā rindā.

Paskāla trijstūra formula ir,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

kurⁿC_kpārstāvēt (k+1)^thelements n^thrinda.

Tādējādi trešais elements 3. rindā ir,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Tādējādi trešais elements Paskāla trijstūra trešajā rindā ir 3.

Paskāla trijstūra binomiālā izplešanās

Mēs varam viegli atrast koeficientu binoma izplešanās izmantojot Paskāla trīsstūri. Elementi Paskāla trijstūra (n+1) rindā attēlo polinoma (x + y) paplašinātās izteiksmes koeficientu.ⁿ.

Mēs zinām, ka (x + y)ⁿir,

(x + y)ⁿ= a₀xⁿ+ a₁x^n-1un + a₂x^n-2un²+ … + a_n-1xy^n-1+ a_nunⁿ

Šeit, a₀, a₁, a₂, a₃, …., a_nir termini Paskāla trijstūra (n+1) rindā

Piemēram, skatiet (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀x⁴+⁴C₁x³un +⁴C₂x²un²+⁴C₃xy³+⁴C₄x⁰un⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²un²+ (4)xy³+ (1) g⁴

Šeit koeficienti 1, 4, 6, 4 un 1 ir Paskāla trijstūra ceturtās rindas elementi.

Kā lietot Paskāla trīsstūri?

Mēs izmantojam Paskāla trīsstūri, lai atrastu dažādus iespējamo iznākumu gadījumus varbūtības apstākļos. To var saprast ar šādu piemēru, kad vienu reizi metot monētu, mēs iegūstam divus rezultātus, t.i., H un T, to attēlo elements Paskāla trijstūra pirmajā rindā.

Līdzīgi, metot monētu divas reizes, mēs iegūstam trīs rezultātus, t.i., {H, H}, {H, T}, {T, H} un {T, T} šo nosacījumu attēlo elements Paskāla trijstūra otrajā rindā.

Tādējādi mēs varam viegli noteikt iespējamo rezultātu skaitu, metot monētu eksperimentā, vienkārši novērojot attiecīgos elementus Paskāla trīsstūrī.

Zemāk redzamā tabula stāsta par gadījumiem, kad monēta tiek izmesta vienu, divas, trīs un četras reizes, un to atbilstību Paskāla trīsstūrim

Paskāla trīsstūra raksti

Mēs novērojam dažādus modeļus Paskāla trīsstūrī, tie ir:

• Rindu pievienošana
• Pirmskaitļi trīsstūrī
• Diagonāles Paskāla trijstūrī
• Fibonači raksts

Rindu pievienošana

Cieši novērojot Paskāla trijstūri, varam secināt, ka jebkuras rindas summa Paskāla trijstūrī ir vienāda ar pakāpju 2. Formula ir šāda: Jebkuram (n+1)^thrindā Paskāla trijstūrī visu elementu summa ir 2ⁿ

Lietojot šo formulu Paskāla trīsstūra pirmajās 4 rindās, mēs iegūstam,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Pirmskaitļi Paskāla trijstūrī

Vēl viens ļoti interesants Paskāla trijstūra modelis ir tāds, ka, ja rinda sākas ar pirmskaitli (katras rindas sākumā neņemot vērā 1), tad visi elementi šajā rindā dalās ar šo pirmskaitli. Šis modelis neattiecas uz saliktajiem skaitļiem.

Piemēram, Paskāla trijstūra astotā rinda ir:

1 7 21 35 35 21 7 1

Šeit visi elementi dalās ar 7.

Rindām, kas sākas ar saliktiem cipariem, piemēram, piektajai rindai,

1 4 6 4 1

Raksts neatbilst patiesībai, jo 4 nedala 6.

Diagonāles Paskāla trijstūrī

Katra Paskāla trijstūra labā diagonāle, ja to uzskata par secību, apzīmē dažādus skaitļus, piemēram, pirmā labās puses diagonāle apzīmē skaitļa 1 secību, otrā labās puses diagonāle apzīmē trīsstūrveida skaitļus, trešā labā diagonāle apzīmē tetraedriskus skaitļus, ceturtā labā diagonāle. apzīmē Penelopes skaitļus un tā tālāk.

Fibonači secība Paskāla trīsstūrī

Mēs varam viegli iegūt Fibonači secību, vienkārši saskaitot skaitļus Paskāla trīsstūra diagonālēs. Šis modelis ir parādīts tālāk pievienotajā attēlā,

Paskāla trīsstūra īpašības

Paskāla trīsstūra dažādas īpašības ir,

• Katrs skaitlis Paskāla trijstūrī ir virs tā esošā skaitļa summa.
• Sākuma un beigu skaitlis Paskāla trijstūrī vienmēr ir 1.
• Pirmā diagonāle Paskāla trijstūrī ir naturāls skaitlis vai skaitīšanas skaitļi.
• Elementu summa katrā Paskāla trijstūra rindā tiek dota, izmantojot pakāpju 2.
• Elementi katrā rindā ir 11 jaudas cipari.
• Paskāla trīsstūris ir simetrisks trīsstūris.
• Elementus jebkurā Paskāla trijstūra rindā var izmantot, lai attēlotu binomiālās izplešanās koeficientus.
• Gar Paskāla trijstūra diagonāli mēs novērojam Fibonači skaitļus.

Raksti, kas saistīti ar Paskāla trīsstūri:

• Binomiālā teorēma
• Binomiālie nejaušie mainīgie un binomiālais sadalījums

Paskāla trīsstūra piemēri

1. piemērs: atrodiet Paskāla trīsstūra piektā rinda.

Risinājums:

Paskāla trīsstūris ar 5 rindām ir parādīts zemāk esošajā attēlā,

2. piemērs: izvēršana, izmantojot Paskāla trīsstūri (a + b) ² .

Risinājums:

Vispirms uzrakstiet vispārīgās izteiksmes bez koeficientiem.

(a + b)²= c₀a²b⁰+ c₁a¹b¹+ c₂a⁰b²

bloķējiet Android lietotni

Tagad izveidosim Paskāla trīsstūri 3 rindām, lai uzzinātu koeficientus.

Pēdējās rindas vērtības dod mums koeficientu vērtību.

c₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a + b)²= a²b⁰+ 2a¹b¹+ a⁰b²

Tādējādi pārbaudīts.

3. piemērs: izvēršana, izmantojot Paskāla trīsstūri (a + b) ⁶ .

Risinājums:

Vispirms uzrakstiet vispārīgās izteiksmes bez koeficientiem.

(a + b)⁶= c₀a⁶b⁰+ c₁a⁵b¹+ c₂a⁴b²+ c₃a³b³+ c₄a²b⁴+ c₅a¹b⁵+ c₆a⁰b⁶

Tagad izveidosim Paskāla trīsstūri 7 rindām, lai uzzinātu koeficientus.

Pēdējās rindas vērtības dod mums koeficientu vērtību.

c₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄=15, c₅= 6 un c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

4. piemērs: Atrodiet otro elementu Paskāla trīsstūra trešajā rindā.

Risinājums:

Mums jāatrod otrais elements Paskāla trijstūra trešajā rindā.

Mēs zinām, ka Paskāla trijstūra n-tā rinda irⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,ⁿC_3…

Paskāla trijstūra formula ir,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

kurⁿC_kpārstāvēt (k+1)^thelements n^thrinda.

Tādējādi 2. elements 3. rindā ir,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Tādējādi otrais elements Paskāla trijstūra trešajā rindā ir 3.

5. piemērs: Monēta tiek izmesta četras reizes, atrodiet varbūtību iegūt tieši 2 astes.

Risinājums:

Izmantojot Paskāla trīsstūra formulu,

Kopējais rezultātu skaits = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Šeit mēs iegūstam četrus gadījumus, kuros mēs iegūstam 2 astes,

Tādējādi

Varbūtība iegūt divas astes = labvēlīgs rezultāts/kopējais rezultāts

= 4/16 = 1/4

Tātad varbūtība iegūt tieši divas astes ir 1/4 vai 25%

Kopsavilkums - Paskāla trīsstūris

Paskāla trijstūris ir trīsstūrveida skaitļu izkārtojums, kur katrs skaitlis ir divu skaitļu summa, kas atrodas tieši virs tā. Šis trijstūris, kas nosaukts matemātiķa Blēza Paskāla vārdā, sākas ar vienu 1 augšpusē, un katra rinda sākas un beidzas ar 1. Cipari Paskāla trijstūrī atbilst binoma izplešanās koeficientiem, padarot to noderīgu algebrā, varbūtībā un. kombinatorika. Raksti trīsstūrī ietver rindu summas, kas ir 2 pakāpes, savienojumus ar Fibonači secību un pirmskaitļu klātbūtni. Paskāla trīsstūris ir noderīgs arī kombināciju aprēķināšanā un varbūtības eksperimentu, piemēram, monētu mešanas, rezultātu izpratnē.

Bieži uzdotie jautājumi par Paskāla trīsstūri

Kas ir Paskāla trīsstūris?

Slavenā matemātiķa Balisa Paskāla piedāvāto skaitļu trijstūra masīvu sauc par Paskāla trīsstūri. Šis trīsstūris sākas ar 1, un nākamajā rindā sākuma un beigu skaitļi ir fiksēti kā 1, tad vidējais skaitlis tiek ģenerēts, ņemot divu iepriekš minēto skaitļu summu.

Kādi ir Paskāla trīsstūra pielietojumi?

Paskāla trijstūriem ir dažādi lietojumi,

• To izmanto, lai atrastu binoma izplešanās koeficientu.
• Tas nodrošina alternatīvu veidu, kā paplašināt binomiālos vārdus.
• To izmanto algebrā, varbūtību teorijā, permutācijās un kombinācijās un citās matemātikas nozarēs.

Kāda ir Paskāla trijstūra izmantošana binomiālajā paplašināšanā?

Mēs izmantojam Paskāla trīsstūri, lai viegli atrastu jebkura vārda koeficientu binomiālajā izvērsumā. Jebkura Paskāla trijstūra rinda (teiksim, n-tā) apzīmē (x+y) binomiālā izplešanās koeficientu.ⁿ. Piemēram, Paskāla trijstūra otrā rinda ir 1 2 1 un (x+y) izvērsums²

pretrunīga meklēšana

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

Šeit katra vārda koeficients ir 1 2 1, kas atgādina Paskāla trijstūra 2. rindu.

Kādi ir Paskāla trīsstūrī atrodamie dažādie raksti?

Dažādi modeļi, kurus mēs viegli atradām Paskāla trīsstūrī, ir:

• Trīsstūrveida raksts
• Pāra un nepāra raksts
• Fibonači raksts
• Simetrisks raksts

Kas ir 5^thPaskāla trīsstūra rinda?

Paskāla trīsstūra piektā rinda ir attēlota zemāk,

1 5 10 10 5 1

Mēs zinām, ka visu elementu summa jebkurā rindā tiek dota, izmantojot 2ⁿkur n apzīmē rindu skaitu. Tādējādi visu 5. rindas terminu summa ir,

2⁵= 32

Kāds ir Paskāla trīsstūra katras rindas pirmais elements?

Katras Paskāla trijstūra rindas pirmais elements ir 1. Mēs šo terminu saucam par rindas 0. biedru.