Logaritma kārtulas vai žurnāla kārtulas ir ļoti svarīgas sarežģītu formulējumu vienkāršošanai, kas ietver logaritmiskās funkcijas. Žurnāla noteikumi atvieglo logaritmu aprēķināšanu un manipulēšanu ar dažādiem matemātiskajiem un zinātniskajiem lietojumiem. No visiem šiem žurnāla noteikumiem trīs visizplatītākie ir produkta kārtula, koeficienta noteikums un jaudas noteikums. Izņemot šos, mums ir daudz logaritma noteikumu, kurus mēs sīkāk apspriedīsim rakstā. Šajā rakstā ir detalizēti izpētīti visi žurnālu noteikumi, tostarp atvasinātie un integrāļi, kā arī logaritma noteikumu piemēri. Tātad, sāksim mācīties par visiem logaritmu noteikumiem.

Satura rādītājs

• Kas ir žurnāla noteikumi?
• Logaritmu veidi
• Logaritma noteikumu saraksts
• Dabas baļķu noteikumi
• Logaritma pielietojumi
• Produkta logaritmu likums
• Logaritma jaudas likums
• Logaritmu koeficientu likums
• Atrisināja žurnāla noteikumu piemērus
• Praktizējiet jautājumus par žurnāla noteikumiem

Kas ir žurnāla noteikumi?

Logaritma likumi matemātikā ir likumi un likumi, kas tiek izmantoti logaritmisko funkciju izteiksmju vienkāršošanā un manipulācijās. Šie principi rada attiecības starp eksponenciālām un logaritmiskām formām un sniedz sistemātisku paņēmienu sarežģītu logaritmisko aprēķinu veikšanai.

Galvenie noteikumi ir šādi: produkta noteikums : kas ļauj sadalīt reizinājumu logaritma ietvaros atsevišķu logaritmu summā; koeficienta noteikums : kas ļauj mums sadalīt koeficientu logaritma ietvaros logaritmu starpībā; jaudas noteikums: kas ļauj mums iegūt eksponentus no logaritma iekšpuses; bāzes slēdža noteikums vai bāzes noteikuma maiņa : kas ļauj mainīt logaritma bāzi.

Šie likumi ir ļoti svarīgi daudzos matemātiskos un zinātniskos lietojumos, padarot logaritmus par vērtīgu rīku vienādojumu risināšanai, eksponenciālās izaugsmes modelēšanai un liela datu apjoma analīzei.

Logaritmu veidi

Mēs parasti strādājam ar divu veidu logaritmiem:

• Kopējais logaritms
• Dabiskais logaritms

Piezīme: Var būt logaritms, kura bāze ir jebkurš reālais skaitlis, taču šie divi, t.i., parastais un dabiskais logaritms, ir visizplatītākie un standarta.

Apspriedīsim šos veidus sīkāk.

Kopējais logaritms

Kopējais logaritms, ko bieži sauc par loga bāzi 10 vai vienkārši logaritmi, ir matemātiska funkcija, kas attēlo eksponentu, līdz kuram jāpalielina dotais skaitlis, lai sasniegtu noteiktu skaitli. Tas aprēķina desmit jaudu, kas nepieciešama, lai iegūtu noteiktu skaitli.

Piemēram, žurnāls₁₀(100) ir vienāds ar 2, jo 10, kas palielināts līdz pakāpei 2, ir vienāds ar 100. Kopējais logaritms 100 šajā gadījumā ir 2, kas parāda, ka 10²= 100. Parastie logaritmi tiek izmantoti daudzās nozarēs, tostarp zinātnē, inženierzinātnēs un finansēs, lai vienkāršotu milzīgu skaitļu attēlojumu un palīdzētu aprēķinos, kuriem nepieciešamas 10 jaudas.

Dabiskais logaritms

Dabiskais logaritms ir matemātiska funkcija, kas izsaka logaritmu līdz bāzei “e” (Eilera skaitlis, aptuveni 2,71828). Tā ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība un atspoguļo laiku, kas nepieciešams, lai daudzums palielinātos vai samazinātos ar nemainīgu koeficientu.

Piemēram, ln (10) ≈ 2,30259 nozīmē, ka e, kas reizināts ar 2,30259, ir vienāds ar 10. Dabisko logaritmu izmanto daudzās jomās, tostarp matemātikā, fizikā un finansēs, lai aprakstītu parādības, kas uzrāda eksponenciālu pieaugumu vai samazināšanos, piemēram, iedzīvotāju skaita pieaugumu. radioaktīvā sabrukšana un salikto procentu aprēķini.

Kas ir logaritma noteikumi?

Logaritmiskās darbības var veikt saskaņā ar īpašiem noteikumiem. Šie noteikumi ir pazīstami kā:

• Produkta noteikums
• Koeficientu noteikums
• Nulles noteikums
• Identitātes noteikums
• Jaudas noteikums vai eksponenciālais noteikums
• Pamatnoteikuma maiņa
• Savstarpējs noteikums

Izņemot šos vispārīgos noteikumus, mums var būt arī daži neparasti noteikumi, piemēram:

• Logaritma apgrieztā īpašība
• Log atvasinājums
• Žurnāla integrācija

Produkta žurnāla noteikumi

Saskaņā ar reizinājuma likumu, reizinājuma logaritms ir tā elementu logaritmu summa.

Formula: žurnāls_a(XY) = žurnāls_aX + žurnāls_aUN

Piemērs: žurnāls₂(3 × 5) = žurnāls₂(3) + baļķis₂(5)

Koeficientu likums

Koeficienta noteikums apgalvo, ka koeficienta logaritms ir vienāds ar skaitītāja un saucēja logaritmu starpību.

Formula: žurnāls_a(X/Y) = log_aX – žurnāls_aUN

Piemērs: žurnāls₃(9/3) = žurnāls₃(9) – žurnāls₃(3)

Nulles žurnāla noteikums

Saskaņā ar nulles likumu 1 logaritms jebkurai bāzei vienmēr ir 0.

Formula: žurnāls_a(1) = 0

Piemērs: žurnāls₄(1) = 0

Žurnāla identitātes noteikums

Saskaņā ar identitātes likumu bāzes logaritms pašam vienmēr ir 1.

Formula: žurnāls_a(a) = 1

Piemērs: žurnāls₇(7) = 1

Savstarpējs noteikums

Saskaņā ar logaritmu savstarpējo likumu, skaitļa reciprokāla logaritms (1 dalīts ar šo skaitli) ir vienāds ar sākotnējā skaitļa logaritma negatīvo vērtību. Matemātiskajā apzīmējumā:

Formula: žurnāls_a(1/X) = – log_a(X)

Piemērs: žurnāls_a(1/2) = – log_a(2)

Jaudas likums vai žurnāla eksponenciālais likums

Saskaņā ar jaudas likumu skaitļa, kas palielināts līdz eksponentam, logaritms ir vienāds ar eksponentu, kas reizināts ar bāzes logaritmu.

Formula: žurnāls_a(Xⁿ) = n × log_aX

Piemērs: žurnāls₅(9²) = 2 × log₅(9)

Žurnāla pamatnoteikuma maiņa

Bāzes noteikuma maiņa ļauj aprēķināt skaitļa logaritmu citā bāzē, izmantojot kopīgu logaritmu (parasti bāzi 10 vai bāzi e). Tiek saukta arī pamata noteikuma maiņa Pamata slēdža noteikums.

Formula: žurnāls_a(X) = logᵦ (X) / logᵦ (a)

Piemērs: žurnāls₃(7) = žurnāls₁₀(7) / žurnāls₁₀(3)

Logaritma apgrieztā īpašība

Logaritma apgrieztā īpašība apgalvo, ka, aprēķinot eksponenciālās vērtības logaritmu, tiek iegūts sākotnējais eksponents.

Formula: žurnāls_a(aⁿ) = n

Piemērs: log₄(4²) = 2

Log atvasinājums

Funkcijas naturālā logaritma atvasinājums ir funkcijas reciproks, kas reizināts ar funkcijas atvasinājumu.

Formula: d/dx [ln(f(x))] = f'(x)/f(x)

Piemērs: Ja y = ln(x²), tad dy/dx = 2x/x²= 2/x

Žurnāla integrācija

Izņemot diferenciāciju, mēs varam aprēķināt arī logaritma integrāli. Log funkcijas integrālis ir norādīts šādi:

Formula: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Dabas baļķu noteikumi

Tā kā abiem dabīgajiem un parastajiem baļķiem ir tikai atšķirības bāzē, tāpēc dabīgā baļķa noteikumi ir tādi paši kā parastajiem baļķiem, kas jau ir apspriesti. Vienīgā atšķirība ir tāda, ka dabiskā baļķa noteikumos baļķa vietā (parastā baļķa simbols ar 10. bāzi) mēs izmantojam ln (dabiskā baļķa bāzes e simbols). Šos noteikumus var formulēt šādi:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• Tas ir^{ln x}= x

Logaritma pielietojumi

Apskatīsim dažus žurnāla lietojumus.

• Mēs izmantojam logaritmus, lai aprēķinātu ķīmisko šķīdumu skābumu un sārmainību.
• Zemestrīces intensitātes aprēķināšanai izmanto Rihtera skalu.
• Trokšņa daudzumu mēra decibelos (dB) logaritmiskā skalā.
• Logaritmi tiek izmantoti, lai analizētu eksponenciālus procesus, piemēram, aktīvo izotopu attiecību samazināšanos, baktēriju attīstību, epidēmijas izplatīšanos populācijā un mirušā līķa atdzišanu.
• Lai aprēķinātu aizdevuma atmaksas laiku, tiek izmantots logaritms.
• Logaritmu izmanto aprēķinos, lai diferencētu sarežģītus vienādojumus un aprēķinātu laukumu zem līknēm.

Produkta logaritmu likums

Saskaņā ar logaritmu reizinājuma noteikumu divu vārdu reizināšanas logaritms ir tāds pats kā šo atsevišķo terminu logaritmu saskaitīšana. Citiem vārdiem sakot, šis noteikums ir izteikts kā log_b(mn) = žurnāls_b(m) + žurnāls_b(n). Turpināsim iegūt šo noteikumu.

Atvasināšanas process:

Sāksim, pieņemot žurnālu_b(m) = x un log_b(n) = y. Pārvēršot abas to eksponenciālās formas, mēs iegūstam:

žurnāls_b(m) = x nozīmē m = b^x… (1)

žurnāls_b(n) = y nozīmē n = b^un… (2)

Reizinot vienādojumus (1) un (2) kopā,

mn = b^{x .}b^un

Izmantojot eksponentu reizināšanas noteikumus,

mn = b^{x + y}

Pārvēršot atpakaļ logaritmiskajā formā, iegūst,

žurnāls_b(mn) = x + y

Aizstājot atpakaļ ar x un y,

žurnāls_b(mn) = žurnāls_b(m) + žurnāls_b(n)

Tādējādi mēs esam atvasinājuši logaritmu reizinājuma likumu. Šo noteikumu var izmantot dažādos veidos, piemēram:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Ir svarīgi ņemt vērā, ka logaritmu reizinājuma noteikums neattiecas uz žurnālu (m + n), ko nevar sadalīt atsevišķos logaritmos. Šis noteikums stingri attiecas uz reizinājuma logaritmu log(mn).

Logaritma jaudas likums

Logaritma jaudas noteikums nosaka, ka, kad logaritma arguments tiek paaugstināts līdz pakāpei, šo eksponentu var pārvietot uz logaritma priekšpusi. Citiem vārdiem sakot, logb mn = n logb m. Izpētīsim šī noteikuma atvasinājumu.

Atvasināšanas process:

Sāciet, pieņemot žurnālu_bm ir vienāds ar x. Pārvēršot to eksponenciālajā formā, mēs iegūstam:

b^x= m

Pēc tam paceliet abas puses līdz pakāpei n, kā rezultātā:

java virknes indekss

(dzim^x)ⁿ= mⁿ

Lietojot eksponenta jaudas noteikumu, tiek iegūts:

b^nx= mⁿ

Pārvēršot atpakaļ logaritmiskajā formā, mēs iegūstam:

žurnāls_bmⁿ= nx

Aizstājot x ar žurnālu_bm, mēs nonākam pie:

žurnāls_bmⁿ= n log_bm

Tas noslēdz logaritma jaudas noteikuma atvasināšanu. Tālāk ir sniegti vairāki šī noteikuma piemērošanas piemēri.

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Logaritmu koeficientu likums

Saskaņā ar logaritmu koeficienta likumu, divu skaitļu dalījuma logaritms ir katra skaitļa logaritmu atņemšana.

Konkrēti, noteikums nosaka, ka žurnāls_b(m/n) = log_bm – baļķis_bn. Turpināsim iegūt šo noteikumu.

Atvasināšanas process:

Pieņemsim, ka žurnāls_bm ir vienāds ar x un log_bn ir vienāds ar y. Mēs tos izteiksim eksponenciālajās formās.

žurnāls_bm = x nozīmē m = b^x… (1)

žurnāls_bn = y nozīmē n = b^un… (2)

Kad mēs dalām vienādojumu (1) ar vienādojumu (2),

m/n = b^x/b^un

Piemērojot koeficienta noteikumu eksponentiem,

m/n = b^x–y

Pārvēršot atpakaļ logaritmiskā formā,

žurnāls_b(m/n) = x – y

Aizstājot atpakaļ ar x un y,

žurnāls_b(m/n) = log_bm – baļķis_bn

Tādējādi mēs esam atvasinājuši koeficienta likumu logaritmiem. Šo noteikumu var izmantot šādi:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Ir svarīgi atzīmēt, ka koeficienta noteikums neko nenozīmē log (m–n).

Saistītās tēmas:

• Antilogu tabula
• Žurnāla kalkulators
• Dabīgais baļķis
• Baļķu tabula

Atrisināja žurnāla noteikumu piemērus

1. piemērs. Vienkāršojiet žurnālu ₂ (4 × 8).

Risinājums:

Izmantojot produkta kārtulu, mēs sadalām reizinājumu logaritmu summā:

žurnāls₂(4 × 8) = žurnāls₂(4) + baļķis₂(8) = 2 + 3 = 5.

2. piemērs. Vienkāršojiet žurnālu ₄ (16/2).

Risinājums:

Izmantojot koeficienta noteikumu, mēs dalām koeficientu logaritmu starpībā:

žurnāls₄(16/2) = žurnāls₄(16) – žurnāls₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

3. piemērs. Vienkāršojiet žurnālu ₅ (25 ³ ).

Risinājums:

Izmantojot jaudas likumu, mēs varam samazināt eksponentu kā koeficientu:

žurnāls₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

4. piemērs: konvertēt žurnālu ₃ (7) izteiksmē ar 10. bāzi.

Risinājums:

Izmantojot bāzes slēdža noteikumu, mēs dalām ar jaunās bāzes logaritmu:

žurnāls₃(7) = log₀₀(7) / log₀₀(3) ≈ 1,7712

5. piemērs. Novērtējiet žurnālu ₇ (49), izmantojot bāzes noteikuma maiņu ar 2. bāzi.

Risinājums:

Izmantojot bāzes noteikuma maiņu ar 2. bāzi:

žurnāls₇(49) = žurnāls₂(49) / žurnāls₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (aptuveni).

Praktizējiet jautājumus par žurnāla noteikumiem

1. problēma: Vienkāršojiet izteicienu: log₂(4) + baļķis₂(8).

2. problēma: Vienkāršot: žurnāls₅(25) – žurnāls₅(5).

3. problēma: Vienkāršojiet izteicienu: log₃(9²).

4. problēma: Express žurnāls₄(25) parasto logaritmu izteiksmē.

5. problēma: Vienkāršojiet, izmantojot žurnāla noteikumus: žurnāls₇(49) + 2 baļķi₇(3).

6. problēma: Atrisiniet x: log₂(x) = 3.

7. problēma: Atrisiniet x: 2^3x-1= 8.

pievienojot virkni java

Žurnāla noteikumi — FAQ

Kas ir logaritma noteikumi?

Logaritma noteikumi ir ieteikumu kopums, lai manipulētu ar formulām un vienkāršotu tās, izmantojot logaritmiskās funkcijas. Tie piedāvā sistemātisku metodi sarežģītu aprēķinu veikšanai un eksponenciālu un logaritmu mijiedarbībai.

Cik ir atslēgas logaritma kārtulu?

Produkta noteikums, koeficienta noteikums, jaudas noteikums, bāzes slēdža noteikums un bāzes noteikuma maiņa ir visi galvenie logaritma noteikumi. Šie principi pieļauj logaritmiskās izteiksmes modifikācijas un aprēķinus.

Kas ir logaritmiskā produkta noteikums?

Saskaņā ar reizinājuma likumu, reizinājuma logaritms ir vienāds ar atsevišķu faktoru logaritmu summu: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Kādi ir divu veidu logaritmi?

Divi visbiežāk izmantotie logaritmu veidi ir:

• Kopējais logaritms vai 10. bāzes logaritms
• Dabiskais logaritms vai bāzes e logaritms

Kas ir žurnāla noteikums bāzes maiņai?

Saskaņā ar baļķa pamata noteikuma maiņu, baļķi_a(b)=[log_c(b)]/[log_c(a)], kur c ir jebkurš pozitīvs reālais skaitlis.

Kas ir žurnāls 0?

Nulles logaritms nav zināms. Mēs nekad neiegūstam skaitli 0, paaugstinot jebkuru vērtību jebkuras citas vērtības pakāpē.

Kas ir žurnāls 1?

Nulles likuma dēļ logaritms no 1 jebkurai bāzei vienmēr ir 0, t.i., logaritms_a(1) = 0.

Kas ir jebkura skaitļa logaritms pats par sevi kā bāze?

Saskaņā ar identitātes likumu bāzes logaritms pats sev vienmēr ir 1, t.i., log_a(a) = 1.

Kāda ir saistība starp logaritmiem un eksponenciāliem?

Logaritmi un eksponenciāli ir apgrieztas darbības. Logaritms norāda eksponentu, kas nepieciešams, lai sasniegtu noteiktu skaitli, savukārt eksponenciāls paaugstina bāzi līdz eksponentam.

Kādi ir 7 logaritmu noteikumi?

7 logaritmu noteikumi ietver

• Produkta noteikums
• Koeficientu noteikums
• Jaudas noteikums
• Pamatnoteikumu maiņa
• Nulles noteikums
• Identitātes noteikums
• Negatīvs noteikums

Šie noteikumi tiek izmantoti logaritmisko izteiksmju vienkāršošanai.

Kas ir žurnāla eksponenta kārtula?

Žurnāla eksponenta noteikums nosaka, ka loga bāze b no a^xir vienāds ar x reizes ar log bāzes b no a, t.i., log_ba^x= x log_ba.

Kāda ir galvenā atšķirība starp parasto baļķi un dabisko baļķi?

Galvenā atšķirība starp parasto un dabisko baļķi ir tā, ka parastie baļķi izmanto 10. bāzi, savukārt dabiskie baļķi izmanto matemātisko konstanti “e”.

Kas ir žurnāla atvasinātais noteikums?

Atvasinātais noteikums žurnāla funkcijām ir: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), kur “b” ir logaritma bāze.

Kas ir pamata slēdža noteikums?

Saskaņā ar bāzes pārslēgšanas noteikumu jebkura logaritma bāzi var mainīt uz jebkuru citu vēlamo bāzi, izmantojot formulu: loga(X) = logb(X) / logb(a).