MATRICAS INVERSS

The Matricas inverss ir matrica, kuru reizinot ar sākotnējo matricu, tiek iegūta identitātes matrica. Jebkurai matricai A tās apgrieztā vērtība tiek apzīmēta kā A^-1.

Sīkāk uzzināsim par Matrix Inverse, tostarp tās definīciju, formulu, metodes, kā atrast matricas apgriezto vērtību, un piemērus.

Satura rādītājs

Matricas inversā
Noteikumi, kas saistīti ar Matrix Inverse
Kā atrast matricas inversu?
Matricas formulas inverss
Apgrieztās matricas metode
2×2 matricas piemēra inverss
Apgrieztās matricas noteicējs
Matricas apgrieztās īpašības
Matricas apgriezti atrisinātie piemēri

Matricas inversā

Matricas apgrieztā vērtība ir cita matrica, kuru reizinot ar doto matricu, iegūst multiplikatīva identitāte .

Matricai A un tās apgrieztajai A^-1, ir identitātes īpašums.

A.A ^-1 = A ^-1 A = I

kur es ir identitātes matrica.

Tālāk uzskaitītā terminoloģija var palīdzēt skaidrāk un vieglāk saprast matricas apgriezto vērtību.

Noteikumi	Definīcija	Formula/process	Piemērs ar matricu A
Nepilngadīga	Matricas elementa minoritāte ir matricas determinants, kas izveidots, noņemot šī elementa rindu un kolonnu.	Elementam a_ij, noņemiet i-to rindu un j-to kolonnu, lai izveidotu jaunu matricu un atrastu tās determinantu.	Neliela no a _vienpadsmit ir noteicošais faktors A = egin{bmatrix}5 & 6 6 & 7end{bmatrix}
Kofaktors	Elementa kofaktors ir šī elementa mazais, kas reizināts ar (-1) ^i+j , kur i un j ir elementa rindu un kolonnu indeksi.	Kofaktors a_ij= (-1)^i+jNepilngadīgais no a_ij	Kofaktors no a _vienpadsmit = (-1) ¹⁺¹ × Neliela no a _vienpadsmit = Minor of a _vienpadsmit
Noteicējs	Matricas determinants tiek aprēķināts kā jebkuras rindas vai kolonnas elementu un to attiecīgo kofaktoru reizinājumu summa.	Rindai (vai kolonnai) summējiet katra elementa un tā kofaktora reizinājumu.	Determinants A = a _vienpadsmit × Kofaktors no a _vienpadsmit + a ₁₂ × Kofaktors no a ₁₂ + a ₁₃ × Kofaktors no a ₁₃ .
vietnieks	Matricas adjoints ir tās kofaktora matricas transponēšana.	Katram sākotnējās matricas elementam izveidojiet kofaktoru matricu un pēc tam transponējiet to.	A adjoints ir matricas transpozīcija, ko veido visu A elementu kofaktori.

Vienskaitlī matrica

Matricu, kuras determinanta vērtība ir nulle, sauc par singulāro matricu, t.i., jebkuru matricu A sauc par singulāro matricu, ja |A| = 0. Singulārās matricas apgrieztā vērtība nepastāv.

Nevienskaitļa matrica

Matricu, kuras determinanta vērtība nav nulle, sauc par ne-singulāru matricu, t.i., jebkuru matricu A sauc par nevienskaitli, ja |A| ≠ 0. Pastāv nevienskaitļa matricas apgrieztā vērtība.

Identitātes matrica

Kvadrātveida matricu, kurā visi elementi ir nulle, izņemot galvenos diagonālos elementus, sauc par identitātes matricu. Tas tiek attēlots, izmantojot I. Tas ir matricas identitātes elements tāpat kā jebkurai matricai A,

A × I = A

Identitātes matricas piemērs ir:

es_{3 × 3}= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Šī ir identitātes matrica 3 × 3 secībā.

Lasīt vairāk :

Identitātes matrica

Kā atrast matricas inversu?

Ir divi veidi, kā atrast matricas apgriezto vērtību matemātikā:

Matricas formulas izmantošana
Inversās matricas metožu izmantošana

Matricas formulas inverss

Matricas A apgrieztā vērtība, tas ir, A^-1tiek aprēķināts, izmantojot matricas apgriezto formulu, kas ietver matricas adjunkta dalīšanu ar tās determinantu.

Matricas formulas inverss

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

kur,

adj A = matricas A adjoints un
|A| = matricas A determinants.

Piezīme : šī formula darbojas tikai kvadrātveida matricās.

Lai atrastu matricas apgriezto apvērsumu, izmantojot matricas formulas apgriezto vērtību, veiciet šīs darbības.

1. darbība: Nosakiet visu A elementu nepilngadīgos.

2. darbība: Pēc tam aprēķiniet visu elementu kofaktorus un izveidojiet kofaktoru matricu, aizstājot A elementus ar to attiecīgajiem kofaktoriem.

3. darbība: Veiciet A kofaktora matricas transponēšanu, lai atrastu tās adjunktu (rakstīts kā adj A).

4. darbība: Reiziniet adj A ar determinanta A apgriezto vērtību.

Tagad jebkurai nevienskaitlīgai kvadrātveida matricai A,

A ^-1 = 1 / |A| × Adj (A)

Piemērs: Atrodiet matricas apgriezto vērtībuA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]izmantojot formulu.

Mums ir,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Atrodiet matricas A adjunktu, aprēķinot katra elementa kofaktorus un pēc tam iegūstot kofaktora matricas transponēšanu.

adj A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Atrodiet matricas determinanta vērtību.

|A| = 4 (18–25) – 3 (54–5) + 8 (30–2)

⇒ |A| = 49

Tātad matricas apgrieztā vērtība ir

A^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Apgrieztās matricas metode

Ir divas apgrieztās matricas metodes, lai atrastu apgriezto matricu:

Determinanta metode
Elementārās transformācijas metode

1. metode: noteicošā metode

Vissvarīgākā metode matricas apgrieztās vērtības atrašanai ir determinanta izmantošana.

atšifrēt base64 javascript

Apgrieztā matrica tiek atrasta arī, izmantojot šādu vienādojumu:

A ^-1 = adj(A) / det(A)

kur,

adj(A) ir matricas A adjunkts, un
tas (A) ir matricas A determinants.

Lai atrastu matricas A adjunktu, ir nepieciešama A kofaktoru matrica. Tad adjoints (A) ir A kofaktora matricas transponēšana, t.i.,

adj (A) = [C _ij ] ^T

Matricas kofaktoram, t.i., C_ij, mēs varam izmantot šādu formulu:

C _ij = (-1) ^i+j tas (M _ij )

kur M _ij attiecas uz (i, j) ^th minora matrica kad i ^th rinda un j ^th kolonna tiek noņemta.

2. metode: elementārās transformācijas metode

Veiciet tālāk norādītās darbības, lai atrastu apgriezto matricu ar elementārās transformācijas metodi.

1. darbība: Uzrakstiet doto matricu kā A = IA, kur I ir identitātes matrica tādā pašā secībā kā A.

2. darbība: Izmantojiet rindu vai kolonnu darbību secību, līdz tiek sasniegta identitātes matrica LHS, izmantojiet arī līdzīgas elementāras darbības RHS, lai iegūtu I = BA. Tādējādi matrica B uz RHS ir apgriezta matricai A.

3. darbība: Veicot elementāras darbības, noteikti izmantojiet operāciju ar rindu vai kolonnu.

Mēs varam viegli atrast 2 × 2 matricas apgriezto vērtību, izmantojot elementāro darbību. Sapratīsim to ar piemēra palīdzību.

Piemērs: Atrodiet apgriezto vērtību 2 × 2, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}izmantojot elementāro operāciju.

Risinājums:

Ņemot vērā:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Tagad, R₁⇢ R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂– R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R₁⇢ R₁– R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Tādējādi matricas A apgrieztā vērtība = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} ir

A^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

2×2 matricas piemēra inverss

2 × 2 matricas apgriezto vērtību var aprēķināt arī, izmantojot īsinājumtaustiņu metodi, izņemot iepriekš aprakstīto metodi. Apskatīsim piemēru, lai saprastu īsinājumtaustiņu metodi 2 × 2 matricas apgrieztās vērtības aprēķināšanai.

Dotajai matricai A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Mēs zinām, |A| = (reklāma — bc)

un adj A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

pēc tam izmantojot apgriezto formulu

A^-1= (1 / |A|) × Adj A

⇒ A^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

Tādējādi tiek aprēķināta 2 × 2 matricas apgrieztā vērtība.

3X3 matricas piemēra inverss

Ņemsim jebkuru 3×3 matricu A =egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

3 × 3 matricas apgrieztā vērtība tiek aprēķināta, izmantojot apgrieztās matricas formula ,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Apgrieztās matricas noteicējs

Apgrieztās matricas determinants ir sākotnējās matricas determinanta reciproks. i.,

tas (A ^-1 ) = 1/it(A)

Iepriekš minētā apgalvojuma pierādījums ir apspriests tālāk:

det(A × B) = det (A) × det(B) (jau zināms)

⇒ A × A^-1= I (pēc apgrieztās matricas īpašības)

⇒ tas(A × A^-1) = tas (es)

⇒ it(A) × it(A^-1) = det(I) [ bet, det(I) = 1]

⇒ it(A) × it(A^-1) = 1

⇒ tas (A^-1) = 1/it(A)

Tātad, pierādīts.

Matricas apgrieztās īpašības

Apgrieztajai matricai ir šādas īpašības:

Jebkurai nevienskaitļa matricai A, (A ^-1 ) ^-1 = A
Jebkurām divām nevienskaitļa matricām A un B, (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
Nevienskaitļa matricas apgrieztā vērtība pastāv, singulārai matricai apgrieztā vērtība neeksistē.
Jebkuram nevienskaitlim A, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Saistīts:

Apgriežamā matrica
Matricas: īpašības un formulas
Matemātiskā operācija uz matricām
Matricas noteicējs
Kā atrast Matricas noteicēju?

Matricas apgriezti atrisinātie piemēri

Atrisināsim dažus piemēru jautājumus par Matrix inversu.

1. piemērs: Atrodiet matricas apgriezto vērtībuold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}izmantojot formulu.

Risinājums:

Mums ir,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Atrodiet matricas A adjunktu, aprēķinot katra elementa kofaktorus un pēc tam iegūstot kofaktora matricas transponēšanu.

adj A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Atrodiet matricas determinanta vērtību.

|A| = 2 (4–6) – 3 (4–4) + 1 (3–2)

= –3

Tātad matricas apgrieztā vērtība ir

A^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

2. piemērs: Atrodiet matricas A=old{ apgriezto vērtību, izmantojot formulu.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Risinājums:

Mums ir,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Atrodiet matricas A adjunktu, aprēķinot katra elementa kofaktorus un pēc tam iegūstot kofaktora matricas transponēšanu.

adj A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Atrodiet matricas determinanta vērtību.

|A| = 6 (0–4) – 2 (0–8) + 3 (0–0)

= 16

Tātad matricas apgrieztā vērtība ir

A^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

3. piemērs: Atrodiet matricas A= apgriezto vērtībuold{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } izmantojot formulu.

Risinājums:

Mums ir,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Atrodiet matricas A adjunktu, aprēķinot katra elementa kofaktorus un pēc tam iegūstot kofaktora matricas transponēšanu.

adj A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Atrodiet matricas determinanta vērtību.

|A| = 1 (1–0) – 2 (0–0) + 3 (0–0)

= 1

Tātad matricas apgrieztā vērtība ir

A^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

4. piemērs: Atrodiet matricas A= apgriezto vērtībuold{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } izmantojot formulu.

Risinājums:

Mums ir,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Atrodiet matricas A adjunktu, aprēķinot katra elementa kofaktorus un pēc tam iegūstot kofaktora matricas transponēšanu.

adj A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Atrodiet matricas determinanta vērtību.

|A| = 1 (1–16) – 2 (2–12) + 3 (8–3)

= 20

Tātad matricas apgrieztā vērtība ir

A^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Bieži uzdotie jautājumi par matricas inverso

Kas ir matricas inverss?

Matricas apgriezto vērtību sauc par matricas apgriezto vērtību. Apgriežamas ir tikai kvadrātveida matricas ar determinantiem, kas nav nulle. Pieņemsim, ka jebkurai kvadrātmatricai A ar apgriezto matricu B to reizinājums vienmēr ir tādas pašas kārtas identitātes matrica (I).

[A] × [B] = [I]

Kas ir Matrix?

Matrica ir taisnstūrveida skaitļu masīvs, kas ir sadalīts noteiktā skaitā rindu un kolonnu. Rindu un kolonnu skaits matricā tiek saukts par tās dimensiju vai secību.

Kas ir 2 × 2 matricas apgrieztā vērtība?

Jebkurai matricai A vai secībai 3×3 tās apgrieztā vērtība tiek atrasta, izmantojot formulu,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Kas ir 3 × 3 matricas apgrieztā vērtība?

Jebkuras kvadrātveida 3 × 3 matricas apgrieztā vērtība (teiksim A) ir tādas pašas kārtas matrica, ko apzīmē ar A^-1tā, lai viņu produkts būtu identitātes matrica 3 × 3 secībā.

[A] _{3 × 3} × [A ^-1 ] _3×3 = [es] _{3 × 3}
stdin c programmēšana

Vai adjoints un matricas inverss ir viens un tas pats?

Nē, matricas adjoints un matricas apgrieztā vērtība nav viens un tas pats.

Kā lietot matricas apgriezto?

Matricas apgriezto vērtību izmanto algebrisko izteiksmju risināšanai matricas formā. Piemēram, lai atrisinātu AX = B, kur A ir koeficientu matrica, X ir mainīgā matrica un B ir konstante matrica. Šeit mainīgā matrica tiek atrasta, izmantojot apgriezto darbību kā,

X = A ^-1 B

Kas ir apgriežamās matricas?

Matricas, kuru apvērsums pastāv, sauc par invertējamām. Invertējamās matricas ir matricas, kurām ir determinants, kas nav nulle.

Kāpēc 2 × 3 matricas apgrieztā matrica nepastāv?

Eksistē tikai kvadrātveida matricas apgrieztā vērtība. Tā kā 2 × 3 matrica nav kvadrātveida matrica, bet drīzāk taisnstūra matrica, tās apgrieztā matrica nepastāv.

Tāpat arī 2 × 1 matrica nav kvadrātveida matrica, bet drīzāk taisnstūra matrica, tāpēc tās apgrieztā matrica neeksistē.

Kas ir identitātes matricas apgrieztā vērtība?

Identitātes matricas apgrieztā vērtība ir pati identitātes matrica. Tas ir tāpēc, ka identitātes matrica, kas apzīmēta kā es (vai es _n priekš an n × n matrica), ir vienīgā matrica, kurai katrs elements gar galveno diagonāli ir 1 un visi pārējie elementi ir 0. Reizinot identitātes matricu ar sevi (vai tās apgriezto), mēs iegūstam identitātes matricu vēlreiz.

Matricas inversā

Noteikumi, kas saistīti ar Matrix Inverse

Vienskaitlī matrica

Nevienskaitļa matrica

Identitātes matrica

Kā atrast matricas inversu?

Matricas formulas inverss

Apgrieztās matricas metode

1. metode: noteicošā metode

2. metode: elementārās transformācijas metode

2×2 matricas piemēra inverss

3X3 matricas piemēra inverss

Apgrieztās matricas noteicējs

Matricas apgrieztās īpašības

Matricas apgriezti atrisinātie piemēri

Bieži uzdotie jautājumi par matricas inverso

Kas ir matricas inverss?

Kas ir Matrix?

Kas ir 2 × 2 matricas apgrieztā vērtība?

Kas ir 3 × 3 matricas apgrieztā vērtība?

Vai adjoints un matricas inverss ir viens un tas pats?

Kā lietot matricas apgriezto?

Kas ir apgriežamās matricas?

Kāpēc 2 × 3 matricas apgrieztā matrica nepastāv?

Kas ir identitātes matricas apgrieztā vērtība?