grēka x integrālis ir -cos(x) plus konstante (C). Tas apzīmē laukumu zem sinusa līknes. Funkcija atkārtojas ik pēc 2π radiāniem tās periodiskuma dēļ. Šajā rakstā ir izskaidrots sinusa funkcijas integrālis, parādot tā formulu, pierādījumus un pielietojumu konkrētu noteiktu integrāļu atrašanā. Turklāt tajā ir minētas atrisinātās problēmas un bieži uzdotie jautājumi.

Satura rādītājs

• Kas ir grēka x integrālis?
• Sin x formulas integrālis
• Sin x integrāļa grafiskā nozīme
• Grēka integrāls x Pierādījums ar aizstāšanas metodi
• Sin x noteikts integrālis
• Sin x integrālis No 0 līdz π
• Sin x integrālis No 0 līdz π/2

Kas ir grēka x integrālis?

Sin(x) integrālis attiecībā uz x ir -cos(x) plus konstante (C). Tas nozīmē, ka, atšķirot -cos(x) attiecībā pret x, tiek iegūts sin(x). Integrācijas konstante (C) apzīmē jebkuru papildu konstantes vērtību, kas var būt sākotnējā funkcijā.

Sin x integrālis fiziski apzīmē laukumu, kas pārklāts zem sinusa līknes.

mācīties,

• Aprēķini matemātikā
• Integrācija matemātikā

Sin x formulas integrālis

Sinusa funkcijas integrālis ∫ sin(x) dx ir vienāds ar -cos(x) + C, kur C ir integrācijas konstante.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Šeit cos(x) ir kosinusa funkcija, un C apzīmē konstanti, kas tiek pievienota antiatvasinājumam, jo ​​konstantes atvasinājums ir nulle.

Sin x integrāļa grafiskā nozīme

Sin(x) integrālim no (a) līdz (b) ir grafiska nozīme, lai aprēķinātu laukumu zem līknes šajā intervālā. Izpētīsim grafisko nozīmi, izmantojot gan noteiktā integrāļa metodi, gan ģeometrisko metodi.

Noteikta integrālā metode

Sin(x) integrāli no (a) līdz (b) aprēķina šādi:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Tas attēlo apgabalu ar zīmi starp līkni sin(x) un x asi no (a) līdz (b).

Ģeometriskā metode

Apsveriet sin(x) grafiku no (a) līdz (b). Laukumu zem līknes var iedalīt divos reģionos:

• Pozitīvā zona: Reģioni, kuros sin(x) ir pozitīvs (virs x ass). Tas veicina pozitīvo laukumu zem līknes.
• Negatīvais apgabals: Reģioni, kuros sin(x) ir negatīvs (zem x ass). Tas veicina negatīvo laukumu zem līknes.

Kopējā platība ir šo pozitīvo un negatīvo apgabalu algebriskā summa.

java cilpu veidiem

Piemērs:

Lai atrastu laukumu zem sin(x) līknes no (a = 0) līdz (b = π/2).

Izmantojot noteiktu integrālo metodi:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Tas ir apzīmētais laukums zem līknes.

Izmantojot ģeometrisko metodi:

Sin(x) grafiks no 0 līdz (π/2) ir apļa ceturtdaļa, un laukums patiešām ir 1.

Grēka x pierādījuma integrācija ar aizstāšanas metodi

Lai atrastu sin(x) integrāli, izmantojot aizstāšanas metodi, aplūkosim integrāli:

Viena izplatīta trigonometrisko integrāļu aizstāšana ietver iespēju u būt vienādam ar izteiksmi trigonometriskās funkcijas iekšpusē. Šajā gadījumā pieņemsim, ka u = cos(x). Pēc tam aprēķiniet du dx izteiksmē:

du/dx = -sin(x)

Tagad atrisiniet dx:

dx = -1/sin(x) du

Tagad sākotnējā integrālī aizstājiet u un dx ar u:

Sin(x) integrālis dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Vienkāršojiet izteiksmi:

Sin(x) integrālis dx = -∫ du

Tagad integrējiet attiecībā pret jums:

Sin(x) integrālis dx = -u + C

Tagad aizstājiet ar u, kas tika definēts kā cos (x):

Sin(x) integrālis dx = -cos(x) + C

Tātad, izmantojot aizstāšanas metodi, mēs esam nonākuši pie tāda paša rezultāta kā pierādīšanā ar atvasinājumiem. Sin(x) integrālis ir -cos(x) + C, kur C ir integrācijas konstante.

Sin x noteikts integrālis

Sin(x) noteiktais integrālis no a līdz b, apzīmēts kā

∫ ^b _a sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Tas aprēķina neto laukumu zem sinusa līknes starp x = a un x = b, ņemot vērā laukuma virzienu virs un zem x ass.

mācīties, Noteikts integrālis

Sin x integrālis No 0 līdz Pi

Lai atrastu sin(x) integrāli no 0 līdz π, mēs varam izmantot antiatvasinājumu. Sin(x) antiatvasinājums ir -cos(x). Novērtējot šo antiatvasinājumu no 0 līdz π, mēs iegūstam:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Tā kā cos(π) ir -1 un cos(0) ir 1, izteiksme tiek vienkāršota līdz:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Tātad sin(x) integrālis no 0 līdz π ir vienāds ar 2. Tas ir apzīmētais laukums starp sin(x) līkni un x asi no x = 0 līdz x = π.

Sin x integrālis No 0 līdz Pi /2

Noteiktais integrālis ir apzīmēts laukums starp līkni un x asi dotajā intervālā.

Integrālis tiek dots šādi:

∫₀^p/2sin(x) dx

Izmantojot antiatvasinājumu -cos(x), lai novērtētu integrāli:

cos(x) |[0 līdz π/2]

Tagad aizstājiet π/2 ar -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Atgādiniet, ka cos(π/2) = 0 un cos(0) = 1. Aizstājiet šīs vērtības:

(0) – (-1)

Vienkāršot:

0 + 1 = 1

Sin(x) noteikts integrālis no 0 līdz π/2 ir vienāds ar 1. Tas nozīmē, ka apzīmētais laukums starp sinusa līkni un x asi no x = 0 līdz x = π/2 ir 1.

Tāpat pārbaudiet

• Cos x integrācija
• Tan x integrācija
• Integrācijas formulas

Grēka x integrālis – atrisinātie piemēri

1. piemērs: Atrodiet sin2(x) integrāli

Risinājums:

pievienot masīvam Java

Par bez²(x), varat izmantot formulu, kas ietver cos(2x).

∫ grēks²(x) dx = ∫(1 — cos(2x))/2 dx

Sadaliet to divās daļās:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

dx integrālis ir tikai x. Cos(2x) integrālis ietver sin(2x) formulas izmantošanu. Tas izskatās šādi:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Apvienojiet abus rezultātus un pievienojiet konstanti C, lai ņemtu vērā jebkuru potenciālo konstanti sākotnējā integrālī.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

2. piemērs: Atrodiet sinusa integrāli ³ x.

Risinājums:

Sinusa integrāli kubā attiecībā pret x var uzrakstīt šādi:

∫ grēks³x dx

Izmantojiet trigonometrisko identitāti, lai vienkāršotu:

bez³x = [1 – cos²(x)] grēks (x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Izplatiet un atdaliet terminus:

∫[sin x – grēks x. cos²(x)]dx

Integrējiet katru terminu atsevišķi:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Šeit ( C ) apzīmē integrācijas konstanti.

3. piemērs: atrast sin x integrāli ^-1

Risinājums:

Sin(x) integrālis^-1var izteikt, izmantojot arcsinusa funkciju. Integrāli nosaka:

∫1/sin x = -ln|cosec x + gultiņa x| + C

Šeit (C) ir integrācijas konstante.

4. piemērs: atrast sin x integrāli ²

Risinājums:

Sin²(x) integrāli attiecībā pret x var atrisināt, izmantojot trigonometrisko identitāti.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 — cos(2x)dx

Tagad integrējiet katru terminu atsevišķi:

1/2∫(1−cos(2x))dx = 1/2 (∫1dx−∫cos(2x)dx)

jtextfield

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

kur ( C ) ir integrācijas konstante.

5. piemērs. Atrodiet sin x integrāli ^-3

Risinājums:

grēka(x) integrālis^-3attiecībā uz (x) ietver trigonometrisku aizstāšanu. Lūk, kā to varat atrisināt:

Lai u = sin(x), tad du = cos(x)dx

Tagad aizstājiet tos ar integrāli:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³no

Tagad integrējiet attiecībā pret (u):

∫u⁻³tu = u⁻²/−2+ C

Aizstājiet atpakaļ izteiksmē (x), izmantojot u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Tātad grēka (x) integrālis^-3attiecībā pret (x) ir -1/2sin²x , kur (C) ir integrācijas konstante.

6. piemērs: Atrodiet grēka apgrieztā x integrāli

Risinājums:

Lai atrastu grēka integrāli^-1(x) attiecībā uz (x) varat izmantot integrāciju pa daļām. Detaļu integrēšanas formula ir šāda:

∫udv=uv−∫vdu

u = grēks^-1(x) un dv = dx

Tagad atrodiet (du) un (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Lietojiet integrācijas pēc daļām formulu:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

java aizstāt visu

Tagad integrējiet atlikušo termiņu labajā pusē. Jūs varat izmantot aizstāšanu, ļaujot (t = 1 – x²), tad (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Tagad aizstājiet atpakaļ ar (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Saliekot visu kopā:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

kur (C) ir integrācijas konstante.

7. piemērs. Atrodiet integrāli no x sin 2x dx

Risinājums:

Lai atrastu xsin(2x) integrāli attiecībā pret (x), varat izmantot integrāciju pa daļām. Detaļu integrēšanas formulu nosaka:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x un dv = sin(2x)dx

Tagad atrodiet (du) un (v):

du = dx un v = -1/2cos (2x)

Lietojiet integrācijas pēc daļām formulu:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Tagad integrējiet atlikušo termiņu labajā pusē. Integrāli -1/2cos(2x) var atrast, ļaujot (u = 2x) un izmantojot vienkāršu aizstāšanu:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Aizstājiet šo rezultātu atpakaļ sākotnējā vienādojumā:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Tātad xsin(2x) integrālis attiecībā pret (x) ir -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, kur (C) ir integrācijas konstante.

8. piemērs: atrast integrāli no sin x cos 2x

Risinājums:

Lai atrastu sin(x) cos(2x) integrāli attiecībā pret (x), var izmantot integrāciju pa daļām. Integrācijas pēc daļām formula ir:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) un dv = cos(2x)dx

Tagad atrodiet (du) un (v):

du = cos(x) dx un v = 1/2 sin(2x)

Lietojiet integrācijas pēc daļām formulu:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1/2sin(x)sin(2x) − ∫1/2sin(2x)cos(x)dx

Tagad integrējiet atlikušo termiņu labajā pusē. Atkal varat izmantot integrāciju pa daļām:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Turpiniet procesu, līdz integrālis kļūst vadāms. Pēc vienkāršošanas jūs iegūsit gala rezultātu:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

kur (C) ir integrācijas konstante.

Grēka x integrālis – prakses jautājumi

Q1. Atrodiet sinusa integrāli no 0 līdz pi.

Q2. Aprēķināt sinusa integrāli no -π/2 līdz π/2.

Q3. Atrodiet sinusa plus kosinusa integrāļa vērtību attiecībā pret x.

Q4. Novērtējiet sinusa(2x) integrāli no 0 līdz π/3.

Q5. Atrodiet sinusa(3x) antiatvasinājumu attiecībā pret x.

Q6. Aprēķiniet sinusa(2x) integrāli no π līdz 2π.

Q7. Integrējiet funkcijas sinusu kvadrātā attiecībā pret x.

saistītais saraksts

Q8. Novērtējiet sinusa integrāli kvadrātā no -π/4 līdz π/4.

Grēka x integrālis – bieži uzdotie jautājumi

Kas ir grēka x integrālis?

Sin x integrālis ir -cos x

Kas ir grēks x?

Sin(x) ir trigonometrijas funkcija, kas attēlo leņķim pretējās malas garuma attiecību pret hipotenūzas garumu taisnleņķa trijstūrī.

Kas ir grēka x diapazons?

Sin x diapazons ir [-1, 1].

Kas ir grēka x integrālis un atvasinājums?

Sin x integrālis ir -cos x un si x atvasinājums ir cos x

Kas ir Sin x un Cos x integrālis?

Sin x integrālis ir -cos x + C un cos x integrālis ir sin x

Kas ir grēka integrāls 2x?

Sin 2x integrācija ir (-cos2x)/2 + c