Lielumu, ko raksturo ne tikai lielums, bet arī tā virziens, sauc par vektoru. Ātrums, spēks, paātrinājums, impulss utt. ir vektori.

Vektorus var reizināt divos veidos:

• Skalārais produkts vai punktu produkts
• Vector produkts vai krustveida produkts

Satura rādītājs

• Vektoru skalārais reizinājums/punktu reizinājums
• Viena vektora projekcija uz citu vektoru
• Skalārā produkta īpašības
• Nevienādības, pamatojoties uz punktu preci
• Vektoru krustprodukts/vektorprodukts
• Šķērsprodukta īpašības
• Krustprodukts noteicošā formā
• Punkts un krustojums
• Bieži uzdotie jautājumi par punktu un krustojumu produktiem vektoros

Vektoru skalārais reizinājums/punktu reizinājums

Rezultātā divu vektoru skalārais reizinājums/punkts vienmēr ir skalārs lielums. Apsveriet divus vektorus a un b . Skalāro reizinājumu aprēķina kā a, b lieluma un leņķa kosinusa reizinājumu starp šiem vektoriem.

Skalārais reizinājums = |a||b| cos α

k tuvākā kaimiņa algoritms

Šeit,

• |a| = vektora lielums a,
• |b| = vektora lielums b , un
• α = leņķis starp vektoriem.

Vektori a un b ar leņķi α starp tiem

Viena vektora projekcija uz citu vektoru

Vektors a var projicēt uz līnijas l, kā parādīts zemāk:

CD = vektora a projekcija uz vektoru b

No iepriekš redzamā attēla ir skaidrs, ka mēs varam projicēt vienu vektoru pār citu vektoru. AC ir vektora A lielums. Iepriekš redzamajā attēlā AD ir novilkta perpendikulāri taisnei l. CD apzīmē vektora projekciju a uz vektora b .

Tādējādi trīsstūris ACD ir taisnleņķa trīsstūris, un mēs varam izmantot trigonometriskās formulas.

Ja α ir leņķa ACD mērs, tad

cos α = CD/AC

vai, CD = AC cos a

No attēla ir skaidrs, ka CD ir vektora a projekcija uz vektoru b

Tātad, mēs varam secināt, ka vienu vektoru var projicēt pār otru vektoru ar leņķa kosinusu starp tiem.

Skalārā produkta īpašības

• Divu vektoru skalārais reizinājums vienmēr ir reāls skaitlis (skalārs).
• Skalārais reizinājums ir komutatīvais, t.i., a.b =b.a= |a||b| cos α
• Ja α ir 90°, tad skalārais reizinājums ir nulle, jo cos(90) = 0. Tātad vienību vektoru skalārais reizinājums x, y virzienos ir 0.
• Ja α ir 0°, tad skalārais reizinājums ir lielumu reizinājums a un b |a||b|.
• Vienības vektora skalārais reizinājums ar sevi ir 1.
• Vektora a skalārais reizinājums ar sevi ir |a|²
• Ja α ir 180⁰, vektoru a un b skalārais reizinājums ir -|a||b|
• Skalārais produkts ir sadalošs salīdzinājumā ar saskaitīšanu

a. ( b + c ) = a.b + a.c

• Jebkuram skalāram k un m, tad

l a. (m b ) = km a.b

• Ja vektoru komponentu forma ir norādīta šādi:

a = a₁x + a₂un + a₃Ar

b = b₁x + b₂y + b₃Ar

tad skalārais reizinājums tiek dots kā

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

• Skalārais reizinājums ir nulle šādos gadījumos:
  • Vektora a lielums ir nulle
  • Vektora b lielums ir nulle
  • Vektori a un b ir perpendikulāri viens otram

Nevienādības, pamatojoties uz punktu preci

Ir dažādas nevienādības, kuru pamatā ir vektoru punktu reizinājums, piemēram:

• Košī – Švarca nevienlīdzība
• Trijstūra nevienlīdzība

Apspriedīsim tos sīkāk šādi:

Košī – Švarca nevienlīdzība

Saskaņā ar šo principu jebkuriem diviem vektoriem a un b , punktveida reizinājuma lielums vienmēr ir mazāks vai vienāds ar vektora a un vektora b lielumu reizinājumu

|a.b| ≤ |a| |b|

Pierādījums:

Tā kā a.b = |a| |b| cos α

Mēs zinām, ka 0

Tātad, mēs secinām, ka |a.b| ≤ |a| |b|

Trijstūra nevienlīdzība

Jebkuriem diviem vektoriem a un b , mums tas vienmēr ir bijis

| a + b | ≤ | a | + | b |

Trijstūra nevienlīdzība

Pierādījums:

| a + b |²=| a + b || a + b |

= a.a + a.b + ba + b.b

= | a |²+ 2 a.b +| b |²(punktu produkts ir mainīgs)

≤ | a |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

Tas pierāda, ka | a + b | ≤ | a | + | b|

programma java

Vektoru punktu produkta piemēri

1. piemērs. Aplūkosim divus vektorus, kuros |a|=6 un |b|=3 un α = 60°. Atrodiet viņu punktu produktu.

Risinājums:

a.b = |a| |b| cos α

Tātad, a.b = 6,3.cos (60°)

=18(1/2)

a.b = 9

2. piemērs. Pierādīt, ka vektori a = 3i+j-4k un vektors b = 8i-8j+4k ir perpendikulāri.

Risinājums :

Mēs zinām, ka vektori ir perpendikulāri, ja to punktu reizinājums ir nulle

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3) (8) + (1) (-8) + (-4) (4)

=24-8-16 =0

Tā kā skalārais reizinājums ir nulle, mēs varam secināt, ka vektori ir perpendikulāri viens otram.

Vektoru krustprodukts/vektorprodukts

Lasītāji jau ir iepazinušies ar trīsdimensiju labās puses taisnstūra koordinātu sistēmu. Šajā sistēmā x ass pagriešana pretēji pulksteņrādītāja virzienam uz pozitīvo y asi norāda, ka labās puses (standarta) skrūve virzīsies uz priekšu pozitīvās z ass virzienā, kā parādīts attēlā.

3D Taisnstūra koordinātu sistēma

css necaurredzamības pāreja

The divu vektoru vektora reizinājums vai krustojums a un b ar leņķi α starp tiem matemātiski aprēķina kā

a × b = |a| |b| bez α

Jāatzīmē, ka šķērsreizinājums ir vektors ar noteiktu virzienu. Rezultāts vienmēr ir perpendikulārs gan a, gan b.

Turklāt, ja tiek doti divi vektori,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)unmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), to šķērsreizinājumu, kas apzīmēts ar a × b, aprēķina šādi:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Ja a un b ir paralēli vektori, rezultāts ir nulle, jo sin(0) = 0

Krusta produkta īpašības

• Cross Product ģenerē vektora daudzumu. Rezultāts vienmēr ir perpendikulārs gan a, gan b.
• Paralēlo vektoru/kolineāro vektoru šķērsreizinājums ir nulle, jo sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• Divu savstarpēji perpendikulāru vektoru ar lieluma vienības šķērsreizinājums ir vienotība. (Tā kā sin(0)=1)
• Šķērsprodukts nav mainīgs.

a × b nav vienāds ar b × a

• Šķērsprodukts sadala, salīdzinot ar pievienošanu

a × ( b + c ) = a × b + a × c

• Ja k ir skalārs, tad

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

xdxd nozīme

• Virzoties pulksteņrādītāja virzienā un ņemot jebkura divu vienību vektoru pāra krustojumu, mēs iegūstam trešo un pretēji pulksteņrādītāja virzienam iegūstam negatīvo rezultātu.

Šķērsojiet produktu pulksteņrādītāja virzienā un pretēji pulksteņrādītāja virzienam

Var noteikt šādus rezultātus:

Krustprodukts noteicošā formā

Ja vektors a ir pārstāvēts kā a = a1x + a2y + a3z un vektors b ir pārstāvēts kā b = b1x + b2y + b3z

Tad krustprodukts a × b var aprēķināt, izmantojot determinanta formu

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Tad a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Ja a un b ir paralelograma OXYZ blakus malas un α ir leņķis starp vektoriem a un b.

Tad paralelograma laukumu uzrāda | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektori a un b kā paralelograma blakus malas

Piemēri no C Ross produkts no Vectors

1. piemērs. Atrodiet divu vektoru a un b šķērsreizinājumu, ja to lielumi ir attiecīgi 5 un 10. Ņemot vērā, ka leņķis starp tiem ir 30°.

Risinājums:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 perpendikulāri a un b

Piemērs 2. Atrodiet paralelograma laukumu, kura blakus malas ir

a = 4i+2j -3k

virkne c

b = 2 i + j-4k

Risinājums :

Platību aprēķina, atrodot blakus esošo malu šķērsreizinājumu

a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Tāpēc platības lielums irsqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Punkts un krustojums

Dažas no izplatītākajām atšķirībām starp vektoru punktu un krustojumu ir:

Lasīt vairāk,

• Vektoru algebra
• Skalārs un vektors
• Divu vektoru skalārais reizinājums
• Vektoru produkts

Bieži uzdotie jautājumi par punktu un krustojumu produktiem vektoros

Ko ģeometriski attēlo punktu reizinājums?

Divu vektoru punktu reizinājums attēlo viena vektora projekciju uz otru, mērogojot pēc to lieluma un leņķa kosinusa starp tiem.

Kā punktu produkts tiek izmantots ģeometrijā?

To izmanto, lai atrastu leņķus starp vektoriem, noteiktu ortogonālos vektorus, aprēķinātu projekcijas un izmērītu vektoru līdzību.

Kas notiek, ja divu vektoru punktu reizinājums ir nulle?

Ja punktveida reizinājums ir nulle, tas nozīmē, ka vektori ir ortogonāli (perpendikulāri) viens otram.

Ko ģeometriski attēlo krustojums?

Divu vektoru šķērsreizinājums attēlo vektoru, kas ir perpendikulārs plaknei, kurā ir sākotnējie vektori. Tā lielums ir vienāds ar vektoru veidotā paralelograma laukumu.

Kā jūs varat atrast krustveida produkta virzienu?

Izmantojiet labās rokas likumu: pavērsiet labo īkšķi pirmā vektora virzienā, rādītājpirkstu otrā vektora virzienā, un vidējais pirksts rādīs krusta reizinājuma virzienā.