De Morgana likums ir visizplatītākais likums kopu teorijā un Būla algebrā, kā arī kopu teorijā. Šajā rakstā mēs uzzināsim par De Morgana likumu, De Morgana likumu kopu teorijā un De Morgana likumu Būla algebrā kopā ar pierādījumiem, patiesības tabulām un loģisko vārtu diagrammām. Rakstā ir iekļauts arī atrisinātais De Morgana likuma piemērs un bieži uzdotie jautājumi par De Morgana likumu. Uzziniet par De Morgana likumu.

Satura rādītājs

• Kas ir De Morgana likums
• De Morgana likums kopu teorijā
• Pirmais De Morgana likums
• Otrais De Morgana likums
• Pierādījums, izmantojot kopu algebru
• De Morgana likums Būla algebrā
• No Morgana likuma formulas
• Atrisināja piemērus par De Morgana likumu
• De Morgana likuma loģikas pielietojums

Kas ir De Morgana likums

De Morgana likums ir likums, kas nosaka saistību starp savienību, krustojumu un papildinājumiem kopu teorijā. Būla algebrā tas sniedz saistību starp UN, VAI un mainīgā papildinājumiem, un loģikā tas sniedz attiecību starp UN, VAI vai paziņojuma noliegumu. Ar De Morgana likuma palīdzību mēs varam optimizēt dažādas Būla shēmas, kas ietver loģiskos vārtus, kas palīdz mums veikt vienu un to pašu darbību, bet ar ļoti mazām ierīcēm.

De Morgana likums kopu teorijā

De Morgana likums kopu teorija definē attiecības starp kopu savienību, krustpunktu un papildinājumiem un ir norādīts gan savienojuma papildinājumam, gan divu kopu krustpunktam. Kopu teorijā ir divi De Morgana likumi, kas ir:

• Pirmais De Morgana likums
• Otrais De Morgana likums

Izpratīsim šos likumus sīkāk, kā norādīts tālāk:

Pirmais De Morgana likums

Pirmkārt, De Morgana likums to nosaka Divu kopu savienības papildinājums ir vienāds ar katras kopas papildinājumu krustpunktu.

Lai A un B ir divas kopas, tad matemātiski pirmais De Morgana likums tiek dots šādi:

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Kur

• IN attēlo Savienības darbību starp komplektiem,
• ∩ apzīmē krustojuma darbību starp kopām un
• ' apzīmē komplementa darbību komplektā.

To sauc arī De Morgana savienības likums.

Detalizēti De Morgana likuma pierādījums

Pierādījums, izmantojot kopu algebru

Mums jāpierāda, (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Lai X = (A ∪ B)' un Y = A' ∩ B'

Lai p ir jebkurš X elements, tad p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)'

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A vai p ∉ B

⇒ p ∈ A’ un p ∈ B’

⇒ p ∈ A' ∩ B'

⇒ p ∈ Y

∴X ⊂Y. . . (Jo)

Atkal pieņemsim, ka q ir jebkurš Y elements, tad q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’

⇒ q ∈ A’ un q ∈ B’

⇒ q ∉ A vai q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)'

⇒ q ∈ X

∴Y ⊂X. . . (ii)

No (i) un (ii) X = Y

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Lasi arī - De-Morgana likumu pierādījums Būla algebrā

Pierādījums, izmantojot Venna diagrammu

Venna diagramma (A ∪ B)'

Venna diagramma A'∩B'

No abām diagrammām mēs varam skaidri pateikt,

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Tas ir pirmais De Morgana likums.

Otrais De Morgana likums

Otrais De Morgana likums to nosaka Divu kopu krustojuma papildinājums ir vienāds ar katras kopas papildinājumu savienību.

Lai A un B ir divas kopas, tad matemātiski pirmais De Morgana likums tiek dots šādi:

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Kur

• IN attēlo Savienības darbību starp komplektiem,
• ∩ apzīmē krustojuma darbību starp kopām, un
• ' apzīmē komplementa darbību komplektā.

To sauc arī De Morgana krustošanās likums .

Pierādījums, izmantojot kopu algebru

Otrais De Morgana likums: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Lai X = (A ∩ B)’ un Y = A’ ∪ B’

Lai p ir jebkurš X elements, tad p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)'

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A un p ∉ B

⇒ p ∈ A’ vai p ∈ B’

⇒ p ∈ A' ∪ B'

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

Atkal, lai q ir jebkurš Y elements, tad q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’

⇒ q ∈ A' vai q ∈ B'

⇒ q ∉ A un q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)'

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

No (i) un (ii) X = Y

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Pierādījums, izmantojot Venna diagrammu

Venna diagramma (A ∩ B)'

Venna diagramma A'∪ B'

No abām diagrammām mēs varam skaidri pateikt

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Tas ir Otrais De Morgana likums.

De Morgana likums Būla algebrā

De Morgana likums Būla algebra definē saistību starp VAI, UN un mainīgo papildinājumiem, un tā ir dota gan divu vērtību UN, gan VAI papildinājumam. Būla algebrā ir divi De Morgana likumi, kas ir:

• Pirmais De Morgana likums
• Otrais De Morgana likums

Izpratīsim šos likumus sīkāk, kā norādīts tālāk:

Pirmais De Morgana likums Būla algebrā

Pirmkārt, De Morgana likums to nosaka Divu vai vairāku mainīgo VAI papildinājums ir vienāds ar katra mainīgā papildinājuma UN.

Ļaujiet A un B ir divi mainīgie, tad matemātiski pirmais De Morgana likums tiek dots šādi:

sonu nigam

(A + B)’ = A’ . B'

Kur

• + apzīmē operatoru VAI starp mainīgajiem,
• . apzīmē operatoru UN starp mainīgajiem un
• ' apzīmē komplementa darbību mainīgajam.

Pirmie De Morgana likumu loģikas vārti

Saistībā ar loģikas vārtiem un Būla algebru De Morgana likums nosaka, ka abas loģisko vārtu ķēdes, t.i., NOT gate tiek pievienots VAI vārtiem, un NOT gate tiek pievienots UN vārtu ievadei, ir līdzvērtīgas. Šīs divas loģisko vārtu ķēdes ir norādītas šādi:

Pirmā De Morgana likuma patiesības tabula

Pirmā De Morgana likuma patiesības tabula ir dota šādi:

Otrais De Morgana likums Būla algebrā

Otrais De Morgana likums to nosaka Divu vai vairāku mainīgo UN papildinājums ir vienāds ar katra mainīgā papildinājuma VAI.

Lai A un B ir divi mainīgie, tad matemātiski Otrais De Morgana likums tiek dots šādi:

(A . B)' = A' + B'

Kur

• + apzīmē operatoru VAI starp mainīgajiem,
• . apzīmē operatoru UN starp mainīgajiem un
• ' apzīmē komplementa darbību mainīgajam.

Otrais De Morgana likuma loģikas vārti

Saistībā ar loģikas vārtiem un Būla algebru De Morgana likums nosaka, ka abas loģisko vārtu ķēdes, t.i., NOT gate tiek pievienots UN vārtiem, un NOT gate tiek pievienots VAI vārtu ievadei, ir līdzvērtīgas. Šīs divas loģisko vārtu ķēdes ir norādītas šādi:

Otrā De Morgana likuma patiesības tabula

Otrā De Morgana likuma patiesības tabula ir dota šādi:

No Morgana likumu loģikas

De Morgana loģikas likumā šādi prievārdi ir tautoloģija:

∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

kur,

• ∧ attēlo apgalvojumu savienojumu,
• ∨ attēlo apgalvojumu disjunkciju,
• ~ attēlo apgalvojuma noliegumu un
• ≡ atspoguļo apgalvojumu līdzvērtību.

No Morgana likuma formulas

Apkoposim visas De Morgana likuma formulas nākamajā sarakstā.

Kopu teorijai:

• (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Būla algebrai:

• (A + B)’ = A’ . B'
• (A . B)' = A' + B'

Loģikai:

• ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Atrisināja piemērus par De Morgana likumu

1. uzdevums: ņemot vērā, ka U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} un B = {2, 3, 9}. Pierādiet De Morgana otro likumu.

Risinājums:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} un B = {2, 3, 9}

Lai pierādītu: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)' = {3, 7, 8, 9}

A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

A’ = {3, 8, 9}

B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B' = {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

2. problēma: Ņemot vērā, ka U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} un B = {4, 6, 9}. Pierādiet De Morgana pirmo likumu.

Risinājums:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} un B = {4, 6, 9}

Lai pierādītu: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = {8}

A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A’ = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B' = {1, 8}

A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A’ ∩ B’ = {8}

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Līdz ar to pierādīts

3. problēma: vienkāršojiet Būla izteiksmi: Y = [(A + B).C]'

Risinājums:

Y = [(A + B).C]'

Piemērojot De Morgana likumu (A . B)’ = A’ + B’

Y = (A + B)' + C'

Piemērojot De Morgana likumu (A + B)’ = A’. B'

Y = A'. B'+C'

4. problēma: vienkāršojiet Būla izteiksmi: X = [(A + B)' + C]'

Risinājums:

X = [(A + B)' + C]'

Piemērojot De Morgana likumu (A + B)’ = A’. B'

X = [(A + B)’]’ . C'

X = (A + B). C'

Pārbaudiet šos avotus, lai uzzinātu vairāk:

Parādiet De Morgana likuma piemērus

No Morgana likuma praktiskiem piemēriem

1. piemērs: picas pildījumi

Iedomājieties, ka esat picas ballītē un jums saka, ka varat izvēlēties jebkuru piedevu, izņemot sēnes un olīvas kopā.

• Izmantojot De Morgana likumu : Tas nozīmē, ka, ja nevēlaties gan sēnes, gan olīvas (Nav (Sēnes un olīvas)), varat vai nu neēst sēnes (Nav sēnes), vai arī nelietot olīvas (Nav olīvas) uz jūsu picas. Tātad, jūs varētu baudīt picu tikai ar sēnēm, tikai olīvām vai ne ar vienu!

2. piemērs: Bibliotēkas grāmatas

Jūsu skolotājs saka, ka jūs nevarat ienest klasē grāmatas par burvjiem vai pūķiem.

• Izmantojot De Morgana likumu : Tas nozīmē, ka, ja jums nav atļauts ienest grāmatas par burvjiem vai pūķiem (Nav (Wizards or Dragons)), jūs nevarat ņemt līdzi grāmatas par burvjiem (Nav burvjiem) un jūs nevarat ņemt līdzi grāmatas par pūķiem (Nav pūķiem). Tātad grāmatas par kosmosu vai dzīvniekiem joprojām ir piemērotas!

3. piemērs: spēlēšana ārā

Tava mamma saka, ka nevar spēlēt ārā, ja vienlaikus līst lietus un auksts.

• Izmantojot De Morgana likumu : Tas nozīmē, ka, ja jūs neejat ārā tāpēc, ka līst un ir auksts (nav (lietus un auksts)), jūs neizietu ārā, ja tikai līst (not Raining) vai vienkārši auksts (nav auksts). Bet, ja ir saulains un silts laiks, varat doties!

4. piemērs: filmas izvēle

Jūsu draugs saka, ka nevēlas skatīties filmu, kas ir biedējoša vai garlaicīga.

• Izmantojot De Morgana likumu : Tas nozīmē, ka, ja jūsu draugs nevēlas filmu, kas ir biedējoša vai garlaicīga (nav (Scary or Boring)), viņš nevēlas biedējošu filmu (Not Scary) un viņš nevēlas garlaicīgu filmu (Not Boring) . Tātad, smieklīga vai aizraujoša filma būtu ideāla!

De Morgana likuma loģikas pielietojums

No Morgana likuma — FAQ

Štata De Morgana pirmais likuma paziņojums kopu teorijā.

De Morgana pirmais kopu teorijas likums nosaka, ka divu kopu savienības papildinājums ir vienāds ar to individuālo papildinājumu krustpunktu.

Nosakiet De Morgana otro likumu Būla algebrā.

De Morgana otrais likums Būla algebrā nosaka, ka divu vai vairāku mainīgo UN papildinājums ir vienāds ar katra mainīgā papildinājuma VAI.

Uzrakstiet De Morgana likuma formulu kopu teorijā.

De Morgana likuma formula kopu teorijā:

(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Uzrakstiet De Morgana likuma formulu Būla algebrā.

De Morgana likuma formula Būla algebrā:

(i) (A + B)’ = A’ . B'

(ii) (A . B)' = A' + B'

Uzrakstiet dažus De Morgana likuma pielietojumus.

Daži De Morgana likuma pielietojumi ir sarežģītās Būla izteiksmes samazināšana un vienkāršošana.

Kā pierādīt De Morgana likumu?

De Morgana likumu kopu teorijā var pierādīt ar Venna diagrammām un De Morgana likumu Būla algebrā var pierādīt ar patiesības tabulām.