Būla algebra ir algebras veids, kas tiek izveidots, darbinot bināro sistēmu. 1854. gadā Džordžs Būls, angļu matemātiķis, ierosināja šo algebru. Šis ir Aristoteļa propozicionālās loģikas variants, kas izmanto simbolus 0 un 1 vai patiesu un nepatiesu. Būla algebra ir saistīta ar binārajiem mainīgajiem un loģiskām operācijām.

Būla algebra ir būtiska digitālo elektronikas sistēmu izstrādē, jo tās visas izmanto jēdzienu Būla algebra lai izpildītu komandas. Papildus digitālajai elektronikai šī algebra tiek izmantota arī kopu teorijā, statistikā un citās matemātikas nozarēs.

Šajā rakstā mēs detalizēti uzzināsim par Būla pamatoperācijām, Būla izteiksmēm, patiesības tabulām, Būla likumiem un citiem.

Satura rādītājs

• Būla algebras operācijas
• Būla Algberas tabula
• Būla izteiksme un mainīgie
• Būla algebras terminoloģijas
• Patiesības tabulas Būla algebrā
• Būla algebras noteikumi
• Būla algebras likumi
• Būla algebras teorēmas
• Atrisināti Būla algebras piemēri

Būla algebras operācijas

Būla algebrā tiek izmantotas dažādas darbības, taču tās ir pamatoperācijas, kas veido Būla algebras pamatu.

• Negācija vai NAV darbība
• Savienojums vai operācija UN
• Disjunkcija vai VAI operācija

Būla algebras izteiksme

Pārbaudiet: Būla algebras pamati digitālajā elektronikā

Šīm darbībām ir savi simboli un prioritāte, un tālāk pievienotajā tabulā ir parādīts šo operatoru simbols un prioritāte.

Mēs varam viegli definēt šīs darbības, izmantojot divus Būla mainīgos.

Ņemsim divus Būla mainīgos A un B, kuriem var būt jebkura no divām vērtībām 0 vai 1, t.i., tie var būt IZSLĒGTI vai IESLĒGTI. Pēc tam šīs darbības tiek izskaidrotas šādi:

Negācijas vai NĒ operācija

Izmantojot NĒ darbība apvērš Būla mainīgā vērtību no 0 uz 1 vai otrādi. To var saprast šādi:

• Ja A = 1, tad, izmantojot operāciju NOT, mums ir (A)’ = 0

• Ja A = 0, tad, izmantojot operāciju NOT, mums ir (A)’ = 1
• Mēs arī attēlojam nolieguma darbību kā ~ A, t.i., ja A = 1, ~ A = 0

Pārbaudiet: Būla algebras īpašības

Saikne vai operācija UN

Izmantojot UN darbība apmierina nosacījumu, ja gan atsevišķu mainīgo lielumu vērtība ir patiesa, gan arī, ja kāda no vērtībām ir nepatiesa, šī darbība dod negatīvu rezultātu. To var saprast kā

• Ja A = patiess, B = patiess, tad A . B = patiess

• Ja A = patiess, B = nepatiess vai A = nepatiess, B = patiess, tad A . B = nepatiess

• Ja A = aplams, B = aplams, tad A . B = nepatiess

Pārbaudiet: Būla algebriskās teorēmas

Disjunkcijas (OR) darbība

Izmantojot VAI operācija apmierina nosacījumu, ja kāda atsevišķu mainīgo vērtība ir patiesa, tā dod negatīvu rezultātu tikai tad, ja abas vērtības ir nepatiesas. To var saprast kā

• Ja A = patiess, B = patiess, tad A + B = patiess

• Ja A = patiess, B = nepatiess, vai A = aplams, B = patiess, tad A + B = patiess

• Ja A = Aplams, B = Aplams, tad A + B = Aplams

Būla algebras tabula

Zemāk ir dota Būla algebras izteiksme

Būla izteiksme un mainīgie

Būla izteiksme ir izteiksme, kas, novērtējot, rada Būla vērtību, t.i., tā rada vai nu patiesu, vai nepatiesu vērtību. Tā kā Būla mainīgie ir mainīgie, kas glabā Būla skaitļus.

P + Q = R ir Būla frāze, kurā P, Q un R ir Būla mainīgie, kas var saglabāt tikai divas vērtības: 0 un 1. 0 un 1 ir nepatiesa un patiesa sinonīmi, un tos dažreiz izmanto Būla algebrā. mēs arī izmantojam Jā vietā True un Nē vietā False.

Tādējādi mēs varam teikt, ka paziņojumi, kas izmanto Būla mainīgos un darbojas ar Būla operācijām, ir Būla izteiksmes. Daži Būla izteiksmju piemēri ir:

• A + B = patiess
• A.B = taisnība
• (A) = nepatiess

Pārbaudiet: Būla algebras aksiomas

Būla algebras terminoloģijas

Ir dažādas terminoloģijas, kas saistītas ar Būla algebru, ko izmanto, lai izskaidrotu dažādus parametrus Būla algebra . Tas ietver,

• Būla algebra
• Būla mainīgie
• Būla funkcija
• Burtiski
• Papildināt
• Patiesības tabula

Tagad mēs apspriedīsim svarīgās Būla algebras terminoloģijas tālāk esošajā rakstā,

Būla algebra

Algebras nozari, kas nodarbojas ar binārām vai loģiskajām operācijām, sauc par Būla algebru. To 19. gadsimta vidū ieviesa Džordžs Būls. To izmanto, lai analizētu un manipulētu ar loģiskām funkcijām bināros mainīgajos. To plaši izmanto dažādās jomās, piemēram, digitālajā loģikas dizainā, datorzinātnēs un telekomunikācijās.

Būla mainīgie

Būla algebrā lietotos mainīgos, kas saglabā loģiskās vērtības 0 un 1, sauc par Būla mainīgajiem. Tos izmanto, lai saglabātu patiesas vai nepatiesas vērtības. Būla mainīgie ir būtiski svarīgi, lai attēlotu loģiskos stāvokļus vai priekšlikumus Būla izteiksmēs un funkcijās.

Būla funkcija

Būla algebras funkciju, kas veidojas, izmantojot Būla mainīgos un Būla operatorus, sauc par Būla funkciju. To veido, apvienojot Būla mainīgos un loģiskās izteiksmes, piemēram, UN, VAI un NOT. To izmanto, lai modelētu loģiskās attiecības, nosacījumus vai darbības.

Burtiski

Mainīgo vai mainīgā papildinājumu Būla algebrā sauc par burtu. Literāļi ir Būla izteiksmju un funkciju pamatelementi. Tie attēlo operandus loģiskās operācijās.

Papildināt

Būla mainīgā apgriezto vērtību sauc par mainīgā papildinājumu. Papildinājums 0 ir 1 un papildinājums 1 ir 0. To apzīmē ar ‘ vai (¬) virs mainīgā. Papildinājumi tiek izmantoti, lai attēlotu loģiskās noliegumus Būla izteiksmēs un funkcijās.

Patiesības tabula

Tabulu, kurā ir visas iespējamās loģisko mainīgo vērtības un mainīgā kombinācija kopā ar doto darbību, sauc par patiesības tabulu. Rindu skaits patiesības tabulā ir atkarīgs no šajā funkcijā izmantoto Būla mainīgo kopskaita. To nosaka, izmantojot formulu,

Rindu skaits patiesības tabulā = 2 ⁿ

kur n ir izmantoto Būla mainīgo skaits.

Pārbaudiet:

• Kopu teorija
• Statistika

Patiesības tabulas Būla algebrā

Patiesības tabula attēlo visas ievades vērtību un izvades kombinācijas tabulas veidā. Tajā ir parādītas visas ievades un izvades iespējas, un līdz ar to arī nosaukums patiesības tabula. Loģikas uzdevumos patiesības tabulas parasti izmanto dažādu gadījumu attēlošanai. T vai 1 patiesības tabulā apzīmē “patiesu” un F vai 0 apzīmē “nepatiesu”.

Piemērs: uzzīmējiet nosacījumu A + B un A.B patiesības tabulu, kur A un b ir Būla mainīgie.

Risinājums:

Nepieciešamā patiesības tabula ir,

Būla algebras noteikumi

Būla algebrā ir dažādi loģiskās izteiksmes pamatnoteikumi.

• Binārais attēlojums: Būla algebrā mainīgajiem var būt tikai divas vērtības 0 vai 1, kur 0 apzīmē zemu un 1 apzīmē augstu. Šie mainīgie apzīmē sistēmas loģiskos stāvokļus.
• Papildinājuma attēlojums: Mainīgo lielumu papildinājums tiek attēlots ar (¬) vai (‘) virs mainīgā. Tas norāda uz mainīgā vērtības loģisku noliegšanu vai inversiju. Tātad mainīgā A papildinājumu var attēlot aroverline{A}, ja vērtība A=0, tad tā papildinājums ir 1.
• VAI Darbība: Operāciju VAI apzīmē ar (+) starp mainīgajiem. VAI operācija atgriež patieso vērtību, ja vismaz viens no operandiem ir patiess. Piemēriem ņemsim trīs mainīgos A, B, C, operāciju VAI var attēlot kā A+B+C.
• UN darbība: Operācija UN ir apzīmēta ar (.) starp mainīgajiem. UN operācija atgriež patieso vērtību tikai tad, ja visi operandi ir patiesi. Piemēriem ņemsim trīs mainīgos A, B, C, operāciju UN var attēlot A.B.C vai ABC.

Būla algebras likumi

Būla algebras pamatlikumi ir pievienoti zemāk pievienotajā tabulā,

Sīkāk uzzināsim par šiem likumiem.

Identitātes likums

Būla algebrā mums ir identitātes elementi gan operācijām AND(.), gan OR(+). Identitātes likums nosaka, ka Būla algebrā mums ir tādi mainīgie, ka, darbojoties ar operāciju UN un VAI, mēs iegūstam vienu un to pašu rezultātu, t.i.

• A + 0 = A
• A.1 = A

Komutatīvais likums

Būla algebras binārie mainīgie ievēro komutatīvo likumu. Šis likums nosaka, ka Būla mainīgo A un B darbība ir līdzīga Būla mainīgo B un A darbībai. Tas ir,

• A. B = B. A
• A + B = B + A

Asociatīvās tiesības

Asociatīvās tiesības nosaka, ka Būla operatora izpildes secība ir neloģiska, jo to rezultāts vienmēr ir vienāds. To var saprast kā

• ( A . B ) . C = A. ( B . C )
• ( A + B ) + C = A + ( B + C)

Sadales likums

Būla mainīgie ievēro arī sadales likumu, un sadales likuma izteiksme tiek dota šādi:

• A . (B + C) = (A . B) + (A . C)

Inversijas likums

Inversijas likums ir unikāls Būla algebras likums. Šis likums nosaka, ka jebkura skaitļa papildinājuma papildinājums ir pats skaitlis.

• (A’)’ = A

Papildus šiem likumiem tālāk ir minēti citi:

UN Likums

Būla algebras UN likums izmanto AND operatoru, un UN likums ir,

• A . 0 = 0
• A . 1 = A
• A . A = A

VAI Likums

Būla algebras VAI likums izmanto operatoru VAI, un VAI likums ir,

• A + 0 = A
• A + 1 = 1
• A + A = A

Tiek saukti arī par De Morgana likumiem No Morgana teorēmas . Tie ir vissvarīgākie likumi Būla algebra un tie ir pievienoti zem virsraksta Būla algebras teorēma

Būla algebras teorēmas

Būla algebrā ir divas ļoti svarīgas pamatteorēmas, kas ir De Morgana pirmie likumi un De Morgana otrie likumi. Tās sauc arī par De Morgana teorēmām. Tagad uzzināsim par abiem sīkāk.

De Morgana pirmie likumi

(P.Q)' = (P)' + (Q)'

(P + Q)' = (P)'. (Q)'

virkņu masīvam java

Pierādījums:

Patiesības tabula tam pašam ir sniegta zemāk:

Mēs skaidri redzam, ka patiesības vērtības vērtībai (P + Q)’ ir vienādas ar (P)’.(Q)’ patiesības vērtībām, kas atbilst vienai un tai pašai ievadei. Tādējādi De Morgana otrais likums ir patiess.

Lasīt vairāk,

• Būla algebras īpašības
• Matemātiskās indukcijas princips
• Loģiskie vārti

Atrisināti Būla algebras piemēri

Uzzīmējiet patiesības tabulu P + P.Q = P

Risinājums:

Patiesības tabula P + P.Q = P

P	J	P.Q	P + P.Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	F
F	F	F	F

Patiesības tabulā redzams, ka patiesības vērtības P + P.Q ir tieši tādas pašas kā P.

Uzzīmējiet patiesības tabulu P.Q + P + Q

Risinājums:

Patiesības tabula P.Q + P + Q

P	J	P.Q	P.Q+P+Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	F

Atrisināt extbf{(overline{A} + B cdot C)}

Risinājums:

Izmantojot De Morgana likumu

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Izmantojot sadales likumu

binārā meklēšanas koks]

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Tātad dotā vienādojuma vienkāršota izteiksmeoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Secinājums

Būla algebra kalpo kā pamats loģisko izteiksmju attēlošanai un manipulēšanai, izmantojot bināros mainīgos un loģiskos operatorus. Tam ir izšķiroša nozīme dažādās jomās, piemēram, digitālajā loģikas projektēšanā, datorprogrammēšanā un ķēdes analīzē. Nodrošinot sistemātisku veidu, kā aprakstīt un analizēt loģiskās attiecības, Būla algebra ļauj izstrādāt sarežģītas sistēmas un algoritmus. Tās principi un darbības, tostarp UN, OR, NOT, XOR, NAND, NOR un XNOR, veido pamatelementus loģisko shēmu projektēšanai, efektīva koda rakstīšanai un loģisku problēmu risināšanai.

Būla algebra — FAQ

Kas ir Būla algebra?

Būla algebra sauc arī Loģiskā algebra ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar Būla mainīgajiem, piemēram, 0 un 1.

Kas ir galvenie Būla operatori?

Ir trīs galvenie Būla operatori, kas ir,

• UN (savienojums)
• VAI (disjunkcija)
• NĒ (noliegums)

Kā samazināt Būla funkciju?

Ir vairākas metodes Būla funkciju samazināšanai, tostarp:

• Algebriskā vienkāršošana:
• Karnaugh Maps (K-Maps):
• Quine-Cluskey algoritms:
• Tabulēšanas metode:
• Bezrūpības nosacījumi:

Kādi ir Būla algebras pielietojumi?

Būla algebra ir dažādas lietojumprogrammas. To izmanto, lai vienkāršotu loģiskās shēmas, kas ir mūsdienu tehnoloģiju mugurkauls.

Ko 0 apzīmē Būla algebrā?

0 collas Būla algebra apzīmē nepatiesu stāvokli vai izslēgšanās stāvokli.

Ko 1 apzīmē Būla algebrā?

1 colla Būla algebra ir patiess nosacījums vai tas ir ieslēgšanas nosacījums.

Kādi ir Būla algebras likumi?

Būla algebras likumi ir noteikumi manipulēšanai ar loģiskām izteiksmēm ar bināriem mainīgajiem, nodrošinot konsekvenci un vienkāršošanu tādās darbībās kā saskaitīšana, reizināšana un papildināšana, kas ir ļoti svarīgas tādās jomās kā digitālā elektronika un datorzinātne.

Kādi ir 5 Būla algebras likumi?

Būla algebra To regulē pieci primārie likumi, kas kalpo par pamatu manipulācijām ar loģiskām izteiksmēm:

1. Identitātes likums UN

2. Identitātes likums OR

3. Papildināt likumu par UN

4. Papildināt likumu par OR

5. Idempotentais likums

Kādi ir 3 Būla loģikas likumi?

Trīs Būla loģikas pamatlikumi ir

• Identitātes likums (pievienojot nulli vai reizinot ar vienu, mainīgais paliek nemainīgs)
• Dominēšanas likums (pievienojot mainīgo tā komplementam, iegūst 1 un reizinot to ar tā komplementa rezultātu ar 0)
• Komutatīvais likums (mainīgo secību var pārslēgt saskaitot vai reizināt, nemainot rezultātu).

Kas ir de Morgana teorēma?

De Morgana teorēma nosaka, ka t loģiskās darbības UN papildinājums ir līdzvērtīgs atsevišķu terminu papildinājumu darbībai VAI, un otrādi. Tas ir Būla algebras pamatprincips, ko izmanto loģisko izteiksmju vienkāršošanai un loģisko shēmu optimizēšanai.