Apļa horda ir līnija, kas savieno jebkurus divus punktus uz apļa apkārtmēra. Aplim var būt dažādi akordi, un lielākā apļa horda ir apļa diametrs. Mēs varam viegli aprēķināt akorda garumu, izmantojot akorda garuma formulu. Kā norāda nosaukums, tā ir formula horda garuma aprēķināšanai aplī ģeometrijā.

Šajā rakstā mēs uzzināsim par horda definīciju, akordu un apļa teorēmām, izskaidrosim tās īpašības un formulas, lai aprēķinātu horda garumu, izmantojot dažādas metodes. Rakstā ir arī dažas atrisinātas problēmas labākai izpratnei.

Satura rādītājs

• Apļa definīcija
• Apļa akords Definīcija
• Kas ir akorda garuma formula?
• Apļa akords Teorēmas
• Apļa akordu īpašības
• Atrisinātas problēmas
• FAQ

Apļa definīcija

Aplis ir perfekta apaļa forma, kas sastāv no visiem plaknes punktiem, kas atrodas noteiktā attālumā no noteiktā punkta. Tie sastāv no slēgtas izliektas līnijas ap centrālo punktu. Līnijā esošie punkti atrodas vienādā attālumā no centrālā punkta. Attālumu līdz apļa centram sauc par rādiusu.

Apļa akords Definīcija

Līnijas segmentu, kas savieno jebkurus divus punktus apļa apkārtmērā, sauc par apļa hordu. Tā kā diametrs arī savieno divus punktus uz riņķa līnijas, tas ir arī horda ar apli. Faktiski diametrs ir garākais akords līdz aplim. Citiem vārdiem sakot, horda ir līnijas segments, kura abi gali atrodas uz apļa apkārtmēra. Tālāk sniegtā ilustrācija var palīdzēt mums saprast vairāk.

Kas ir akorda garuma formula?

Akorda garuma aprēķināšanai ir divas pamata metodes vai formulas. hordas garumu var noteikt, izmantojot perpendikulāro attālumu no apļa centra, kā arī ar trigonometrisko metodi. Tādējādi var atrast akorda garumu

tostring java metode

• Izmantojot Pitagora teorēmu
• Izmantojot kosinusu likumu

Sīkāk sapratīsim šīs metodes šādi:

1. metode: Pitagora teorēmas izmantošana

Nākamajā diagrammā hordai, kā mēs zinām, perpendikuls, kas novilkts no apļa centra uz hordu, sadala to divās daļās.

Trīsstūros OAM, izmantojot Pitagora teorēma ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Tā kā x ir puse no akorda garuma,

Tādējādi jebkura apļa horda garums, kura attālums ir perpendikulārs no centra, ir norādīts kā

Apļa akorda garums = 2 × [√(r ² – d ² )]

kur,

• r ir apļa rādiuss un
• d ir perpendikulārs attālums starp apļa centru un hordu.

2. metode: kosinusa likuma izmantošana

Kā mēs zinām trīsstūrim ABC ar malām a, b un c, Kosinusa likums valstis,

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Izmantojot šo likumu nākamajā diagrammā, kurā redzama horda, kas apļveida centrā saspiež θ leņķi, mēs varam atrast hordas garumu.

Trijstūrī OAB, izmantojot kosinusa likumu,

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1 — cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Tādējādi akorda garumu nosaka:

Akorda garums = 2r × sin [θ/2]

kur,

• i ir leņķis, ko centrā noliek horda, un
• r ir apļa rādiuss.

Cita saistītā akorda garuma formula

Ja diviem apļiem ir kopīgs akords, šī kopīgā akorda garumu var aprēķināt, izmantojot formulu

Divu apļu kopējā akorda garums = 2R ₁ × R ₂ / D

kur,

• R ₁ un R ₂ attiecas uz apļu rādiusu
• D ir attālums starp diviem apļa centriem

Apļa akords Teorēmas

Apļa horda noliek leņķi apļa centrā, kas palīdz mums pierādīt dažādas apļa koncepcijas. Ir dažādas teorēmas, kuru pamatā ir apļa horda,

• 1. teorēma: Vienādi akordi Vienādu leņķi Teorēma
• 2. teorēma: Vienādu leņķu vienādu akordu teorēma (1. teorēmas apvērsums)
• 3. teorēma: Vienādi akordi vienādā attālumā no centra teorēmas

Tagad apspriedīsim to pašu tālāk esošajā rakstā.

1. teorēma: vienādi akordi vienādi leņķi Teorēma

Paziņojumi: Vienādas hordas noliek vienādus leņķus apļa centrā, t.i., leņķi, kas atrodas no horda, ir vienādi, ja horda ir vienāda.

Pierādījums:

No attēla

∆AOB un ∆DOC

• AB = CD …ekv(i) (dota)
• OA = OD …eq(ii) (apļa rādiuss)
• OB = OC …eq(iii) (apļa rādiuss)

Tādējādi pēc SSS kongruences nosacījumiem trijstūris ∆AOB un ∆COD ir kongruenti.

Tādējādi

∠AOB = ∠DOC (pēc CPCT)

Tādējādi teorēma ir pārbaudīta.

2. teorēma: vienādi leņķi, vienādi akordi teorēma (1. teorēmas apvērsums)

Paziņojums, apgalvojums: Akordi, kas apļa centrā ir vienādos leņķos, ir vienādi garumā. Tas ir pretējs pirmajai teorēmai.

No attēla

∆AOB un ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (dota)
• OA = OD …eq(ii) (apļa rādiuss)
• OB = OC …eq(iii) (apļa rādiuss)

Tādējādi pēc SAS kongruences nosacījumiem trijstūris ∆AOB un ∆COD ir kongruenti.

Tādējādi

AB = CD (pēc CPCT)

Tādējādi teorēma ir pārbaudīta.

3. teorēma: vienādi akordi vienādā attālumā no centra teorēmas

Paziņojums, apgalvojums: Vienādas hordas atrodas vienādā attālumā no centra, t.i., attālums starp apļa centru un vienādu hordu vienmēr ir vienāds.

No attēla

∆AOL un ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 grādi)
• OA = OC …eq(ii) (apļa rādiuss)
• OL = OM …eq(iii) (ievērots)

Tādējādi pēc RHS kongruences nosacījumiem trijstūris ∆AOB un ∆COD ir kongruenti.

Tādējādi

AL = CM (pēc CPCT)…(iv)

Tagad mēs zinām, ka perpendikuls, kas novilkts no centra, sadala akordus uz pusēm.

No ekv(iv)

2AL=2CM

AB = CD

Tādējādi teorēma ir pārbaudīta.

Apļa akordu īpašības

Apļa akordiem ir dažādas īpašības, dažas no tām ir šādas:

• Akordu, kas iet cauri apļa centram, sauc par diametru, un tā ir apļa garākā horda.
• Perpendikulārs hordam, kas novilkts no apļa centra, sadala hordu uz pusēm.
• Akordi, kas atrodas vienādā attālumā no apļa centra, ir vienādi garumā.
• Ir tikai viens aplis, kas iet cauri trim kolineāriem punktiem.
• Akordi, kuru garums ir vienāds, apļa centrā noliek vienādus leņķus.
• Hordas perpendikulārā bisektrise iet caur apļa centru.
• Ja rādiuss ir perpendikulārs hordai, tad tas sadala hordu un loku, ko tas pārtver. To sauc par perpendikulāro bisektriņu teorēmu.
• Ja akorda savilktie leņķi ir vienādi, tad arī akordu garums ir vienāds.
• Ja riņķī krustojas divas hordas, tad vienas hordas segmentu reizinājums ir vienāds ar otra horda posmu reizinājumu. To sauc par krustojošo akordu teorēmu.
• Leņķis, ko centrā sasver horda, ir divreiz lielāks par leņķi, ko nosaka horda apkārtmērā.

Lasīt vairāk,

• Apļa vienādojums
• Apļa laukums
• Apļa apkārtmērs

Atrisināja problēmas saistībā ar apļa akordu

1. uzdevums: aplis ir 70 grādu leņķis, kura rādiuss ir 5 cm. Aprēķiniet apļa horda garumu.

Risinājums:

Ņemot vērā

• Rādiuss = 5 cm
• Leņķis = 70°

Tagad

horda garums = 2R × Sin [leņķis/2]

= 2 × 5 × sin [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

2. problēma: aplī , rādiuss ir 7 cm, un perpendikulārais attālums no apļa centra līdz tā hordām ir 6 cm. Aprēķiniet akorda garumu.

Risinājums:

Ņemot vērā

• Rādiuss = 7 cm
• Attālums = 6 cm

Tagad

Akorda garums = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2 √13 cm

3. uzdevums: aplis ir 60 grādu leņķis, kura rādiuss ir 12 cm. Aprēķiniet apļa horda garumu.

Risinājums:

Ņemot vērā

• Rādiuss = 12 cm
• Leņķis = 60°

Tagad

horda garums = 2R × Sin [leņķis/2]

⇒ 2 × 12 × sin [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

4. uzdevums: aplī rādiuss ir 16 cm, un perpendikulārais attālums no apļa centra līdz tā hordām ir 5 cm. Aprēķiniet akorda garumu.

Risinājums:

Ņemot vērā

• Rādiuss = 16 cm
• Attālums = 5 cm

Tagad

Akorda garums = 2 √r²– d²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256-25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

6. uzdevums: Aprēķiniet kopīgās hordas garumu starp attiecīgi 6 cm un 5 cm rādiusa apļiem. Un attālums starp abiem centriem tika izmērīts 8 cm.

Risinājums:

Ņemot vērā

Attālums starp abiem centriem = 8 cm

Abu apļu rādiuss ir R₁un R₂ar garumiem attiecīgi 6cm un 5cm

Tagad

Divu apļu kopējā akorda garums = (2R₁× R₂) / Attālums starp diviem apļu centriem

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Bieži uzdotie jautājumi par loka akordu

Definējiet akordu.

Līnijas segments, kas savieno divus punktus apļa apkārtmērā, ir pazīstams kā horda.

Kas ir akorda garuma formula?

Akorda garuma formula aprēķina akorda garumu aplī.

Vai akorda garums var būt lielāks par apļa diametru?

Nē, horda garums nevar būt lielāks par diametru, jo diametrs ir apļa garākā horda.

Kā tiek ietekmēts akorda garums, ja tas ir tuvāk apļa centram?

Kad horda tuvojas apļa centram, tā garums tuvojas maksimālajam garumam, t.i., diametram.

Kā tiek ietekmēts akorda garums, ja tas ir tuvāk apļa malai?

Kad horda tuvojas apļa malai, tās garums tuvojas 0. Tādējādi hordas garumam un attālumam no malas ir apgriezta attiecība.

Kāda ir saistība starp akorda garumu un apļa centrālo leņķi?

Attiecība starp e hordas garumu un apļa centrālo leņķi ir šāda:

Akorda garums = 2r × sin [θ/2]

kur,

• i ir leņķis, ko nosaka horda centrā, un
• r ir apļa rādiuss.

Vai akorda garuma formulu var izmantot jebkuram lokam?

Jā, horda garuma formulu var izmantot jebkuram aplim, ja vien ir zināms rādiuss un centrālais leņķis.

Vai diametrs ir apļa akords?

Jā, diametrs ir apļa horda. Tas ir garākais iespējamais apļa akords. Tas ir vienāds ar divkāršu apļa rādiusu.

D = 2r

kur,

• D ir apļa diametrs
• r ir apļa rādiuss