Algebra ir viena no matemātikas pamattēmām. Polinomi ir būtiska algebras sastāvdaļa. Vietas formula tiek izmantota polinomos. Šis raksts ir par Vietas formulu, kas saista sakņu summu un reizinājumu ar polinoma koeficientu. Šī formula ir īpaši izmantota algebrā.
Vietas formula
Vietas formulas ir tās formulas, kas nodrošina attiecību starp polinoma sakņu summu un reizinājumu ar polinomu koeficientiem. Vietas formula apraksta polinoma koeficientus tā saknes summas un reizinājuma formā.
Vietas formula
Vietas formula attiecas uz sakņu summu un reizinājumu un polinoma koeficientu. To lieto, ja mums ir jāatrod polinoms, kad ir dotas saknes, vai mums ir jāatrod sakņu summa vai reizinājums.
Vietas formula kvadrātvienādojumam
- Ja f(x) = ax 2 + bx + c ir kvadrātvienādojums ar saknēm a un b tad,
- Sakņu summa = α + β = -b/a
- Sakņu reizinājums = αβ = c/a
- Ja tiek dota sakņu summa un reizinājums, kvadrātvienādojums tiek iegūts ar:
- x 2 – (sakņu summa) x + (sakņu reizinājums) = 0
Vietas formula kubiskā vienādojumam
- Ja f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ir kvadrātvienādojums ar saknēm a, b un c tad,
- Sakņu summa = α + β + γ = -b/a
- Divu sakņu reizinājuma summa = αβ + αγ + βγ = c/a
- Sakņu reizinājums = αβγ = -d/a
- Ja tiek dota sakņu summa un reizinājums, kubiskais vienādojums tiek iegūts ar:
- x 3 – (sakņu summa)x 2 + (divu sakņu reizinājuma summa)x – (sakņu reizinājums) = 0
Vietas formula vispārinātajam vienādojumam
Ja f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ……… + a 2 x 2 + a 1 x +a 0 ir kvadrātvienādojums ar saknēm r 1 , r 2 , r 3 , …… r n-1 , r n tad,
r 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r n = -a n-1 /a n
(r 1 r 2 + r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 + r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = a n-2 /a n
:
:
r 1 r 2 …r n = (-1) n (a 0 /a n )
Problēmu paraugi
1. uzdevums: Ja α , β ir vienādojuma saknes: x 2 – 10x + 5 = 0 , pēc tam atrodiet (α 2 + b 2 )/(a 2 b + ab 2 ).
Risinājums:
Ņemot vērā Vienādojums:
- x2– 10x + 5 = 0
Pēc Vitas formulas
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Kā2+b2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100–10
(a2+b2) = 90
Tagad vērtība (α2+ b2)/(a2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
2. uzdevums: Ja α , β ir vienādojuma saknes: x 2 + 7x + 2 = 0 , pēc tam atrodiet vērtību 14÷(1/α + 1/ β).
Risinājums:
Dotais vienādojums:
- x2+ 7x + 2 = 0
Pēc Vitas formulas
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Tagad (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Tagad vērtība 14÷(1/α + 1/β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
3. uzdevums: Ja α , β ir vienādojuma saknes: x 2 + 10x + 2 = 0 , pēc tam atrodiet (α/β + β/α) vērtību.
Risinājums:
Dotais vienādojums:
- x2+ 10x + 2 = 0
Pēc Vitas formulas
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Kā2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100–4
= 96
Tagad vērtība (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
= 48
4. uzdevums: ja α un β ir vienādojuma saknes un ņemot vērā, ka α + β = -100 un αβ = -20, tad atrodiet kvadrātvienādojumu.
Risinājums:
Ņemot vērā,
- Sakņu summa = α + β = -100
- Sakņu reizinājums = αβ = -20
Kvadrātvienādojumu nosaka:
x2– (sakņu summa) x + (sakņu reizinājums) = 0
x2– (-100)x + (-20) = 0
x 2 + 100x – 20 = 0
5. uzdevums: Ja α , β un γ ir vienādojuma saknes un ņemot vērā, ka α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 un αβ γ = -6, tad atrodiet kubisko vienādojumu.
Risinājums:
Ņemot vērā,
- sakņu summa = α + β + γ = 10,
- Divu sakņu reizinājuma summa = αβ + αγ + βγ = -1
- Sakņu reizinājums = vid. = -6
Kubisko vienādojumu dod:
x3– (sakņu summa)x2+ (divu sakņu reizinājuma summa)x – (sakņu reizinājums) = 0
x3- 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
x 3 - 10x 2 – x + 6 = 0
6. uzdevums: ja α , β un γ ir vienādojuma x saknes 3 + 1569x 2 – 3 = 0, tad atrodiet vērtību [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
shreya ghoshal pirmais vīrs
Risinājums:
Ņemot vērā,
- Sakņu summa = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Divu sakņu reizinājuma summa = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Sakņu reizinājums = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Kopš, (lpp3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r) (p2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Pieņemsim, p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2 (αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
No (1) vienādojuma:
(lpp3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
lpp3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3 (-1/c) (-1/a) (-1/b )
= -3/vid. = -3/3
= -1
7. uzdevums: Ja α un β ir vienādojuma x saknes 2 – 3x +2 =0, tad atrodiet α vērtību 2 – b 2 .
Risinājums:
Ņemot vērā,
- Sakņu summa = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Sakņu reizinājums = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Kā (a–b)2= (a + b)2-4ab
(a–b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a–b) = 1
Kopš,
a2– b2= (a – b) (a + b) = (1) (3) = 3
a 2 – b 2 = 3