Funkcijas matemātikā var uzskatīt par tirdzniecības automātiem. Ņemot vērā naudu ievades veidā, viņi pretī dod dažas skārdenes vai cepumus. Tāpat funkcijas ņem dažus ievades skaitļus un dod mums kādu rezultātu. Var teikt, ka reālajā dzīvē Visu var noformulēt un atrisināt ar funkciju palīdzību. Sākot ar ēku projektēšanu un arhitektūru un beidzot ar mega debesskrāpjiem, gandrīz visa reālajā dzīvē matemātiskajam modelim ir vajadzīgas funkcijas, tāpēc nevar izvairīties no tā, ka funkcijām mūsu dzīvē ir milzīga nozīme. Domēns un diapazons ir viens no aspektiem, ar kuru palīdzību var aprakstīt funkciju.
Piemēram: Pieņemsim, ka mašīnas augšpusē ir rakstīts, ka, lai kaut ko iegādātos, var izmantot tikai 20 Rs un 50 Rs. Ko darīt, ja kāds izmanto 10 Rs banknotes? Iekārta nedos nekādu izvadi. Tātad domēns parāda, kāda veida ievades mums var būt funkcijā. Šajā gadījumā Rs.20 un Rs.50 banknotes ir tirdzniecības automāta domēns. Tāpat nav nozīmes tam, cik daudz naudas kāds ieliek automātā, viņš/viņa no tā nekad nesaņems sviestmaizes. Tātad šeit tiek izmantots diapazona jēdziens, diapazons ir iespējamās mašīnas iespējas.
Funkcijas diapazons un domēns
Funkcijas domēns:
Domēns ir visas vērtības, kuras var iekļaut funkcijā, kurai tas dod derīgu izvadi. Tā ir visu iespējamo funkcijas ievades datu kopa.
Piemēram: Zemāk redzamajā attēlā f(x) = x2. Visu ieeju kopa tiek saukta par domēnu, un visu izeju kopa tiek uzskatīta par diapazonu.
Kā atrast funkcijas domēnu?
Funkcijas domēnā jāiekļauj visi reālie skaitļi, izņemot punktus, kur saucējs kļūst par nulli un termini zem kvadrātsaknēm kļūst negatīvi. Lai atrastu domēnu, mēģiniet atrast punktus vai ievades vērtības, kurām funkcija nav definēta.
Jautājums 1: Atrodiet domēnu
Atbilde:
Šī funkcija var dot nenoteiktu izvadi, ja x = 1. Tātad domēns ir R–{1} .
2. jautājums: Atrodiet šādas funkcijas domēnu:
Atbilde :
Ir svarīgi nepadarīt funkciju bezgalība vai nenoteikta, tāpēc mums ir jāredz, kādas domēna vērtības var padarīt funkciju Undefined vai Infinity.
Aplūkojot saucēju, ir skaidrs, ka vērtības 3 un 5 padara saucēju 0, tādējādi padarot funkciju bezgalīgu, kas nav vēlama.
Tāpēc vērtības x=3 un x=5 šeit nevar ievietot.
Domēns būs R – {3,5}.
3. jautājums: atrodiet domēna vērtības, kurām funkcijas Y = (2x 2 -1) un Z= (1-3x) ir vienādi.
Atbilde :
Abu funkciju pielīdzināšana:
Java pārvērš veselu skaitli virknē2 x2– 1 = 1 – 3 x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x + 2) – 1 (x+2) = 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Tāpēc domēna vērtības ir {1/2, -2}.
Funkcijas diapazons
Funkcijas diapazons ir visu tās iespējamo izvadu kopa.
Piemērs: Aplūkosim funkciju ƒ: A⇢A, kur A = {1,2,3,4}.
Kopas domēna elementus sauc par iepriekšējiem attēliem, bet kopas līdzdomēna elementus, kas ir kartēti ar iepriekšējiem attēliem, sauc par attēliem. Funkcijas diapazons ir visu domēna elementu attēlu kopa. Šajā piemērā funkcijas diapazons ir {2,3}.
Kā atrast funkcijas diapazonu?
Diapazons ir funkcijas izvades vērtību izkliede. Ja mēs spējam aprēķināt funkcijas maksimālo un minimālo vērtību, mēs varam iegūt priekšstatu par funkcijas diapazonu.
1. jautājums: atrodiet diapazonu. f(x) =
Atbilde:
Tagad, tā kā funkcija ir kvadrātsakne, tā nekad nevar dot negatīvas vērtības kā izvadi. Tātad minimālā vērtība var būt tikai 0 pie x = 1. Maksimālā vērtība var pieaugt līdz bezgalībai, turpinot palielināt x.
Tātad funkcijas diapazons ir [0,∞).
2. jautājums: funkcijas ƒ domēns, ko definē f(x) =
Atbilde:
Dots, f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Izvēloties domēna kopu, ir jānodrošina divas lietas:
- Saucējs nekad nenonāk līdz nullei.
- Termins atrodas kvadrātsaknes iekšpusē, un tas nekļūst negatīvs.
Izvērsīsim to, kas rakstīts kvadrātsaknes ietvaros.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} Šajā gadījumā mēs nevaram ievietot nevienu no vērtībām, x ≥ 0 vai x <0.
Tādējādi f nav definēts nevienam x ∈ R. Tātad domēns ir tukša kopa.
Domēns un kvadrātfunkciju diapazons
Kvadrātfunkcijas ir funkcijas formā f(x) = ax2+ bx + c, kur a, b un c ir konstantes un a ≠ 0. Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabolas formā. Būtībā tā ir izliekta forma, kas atveras uz augšu vai uz leju.
Apskatīsim, kā attēlot kvadrātiskās funkcijas,
Tātad, mūsu kvadrātfunkcijā
- ja a> 0, parabola atveras uz augšu.
- ja <0, parabola atveras uz leju.
Tagad virsotne ir mūsu līknes augstākais vai zemākais punkts atkarībā no kvadrātiskās funkcijas grafika. Atrast vispārīgas kvadrātiskās izteiksmes grafa virsotni.
Standarta kvadrātiskā formā virsotne tiek dota ar
Piezīme: Katra līkne ir simetriska ap tās vertikālo asi.
Apskatīsim dažus piemērus,
pārveidotāja virkne līdz šim
Jautājums: Uzzīmējiet grafiku f(x) = 2x 2 + 4x + 2.
Atbilde:
Salīdzinot šo vienādojumu ar vispārējo kvadrātfunkciju vienādojumu. a = 2, b = -4 un c = 2.
Tā kā a> 0, šī parabola atvērsies uz augšu.
- Virsotnes x vērtība =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Virsotnes y vērtība = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Tātad, virsotne atrodas (-1,0). Tā kā parabola atveras uz augšu, tai ir jābūt funkcijas minimālajai vērtībai.
Punkts, kurā grafs griež y asi, ir (0,2).
Kvadrātisko funkciju diapazonu un domēnu var viegli uzzināt, uzzīmējot grafiku. Ne vienmēr ir nepieciešams attēlot pilnu grafiku, jo diapazonam ir jāzina tikai parabolas virziens (augšup vai lejup) un parabolas vērtība virsotnē. Vērtība virsotnē vienmēr ir vai nu minimālā/maksimālā, atkarībā no parabolas virziena. Šādu funkciju domēns vienmēr ir veseli reālie skaitļi, jo visur ir definēti t.i.; nav tādas ievades vērtības, kas varētu likt tām kā izvadi norādīt nedefinētu.
Apskatīsim citu piemēru par parabolas domēnu un diapazonu.
Jautājums: Uzzīmējiet grafiku un atrodiet dotās funkcijas domēnu un diapazonu, f(x) = -x 2 + 4.
Atbilde:
Tā kā a = -1. Parabola atvērsies uz leju t.i.; nebūs minimālās vērtības, tā paplašināsies līdz bezgalībai. Bet būs maksimālā vērtība, kas notiks virsotnē.
Lai atrastu virsotnes pozīciju, var izmantot iepriekšējo formulu. Virsotne atrodas pozīcijā (0,4).
Vērtība virsotnē (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
Tātad maksimālā vērtība ir 4 un minimālā vērtība ir bezgalības negatīva.
Funkcijas diapazons – (-∞, 4] un domēns ir R .
