Propozicionālā loģika ir matemātikas nozare, kas pēta loģiskās attiecības starp priekšlikumiem (vai apgalvojumiem, teikumiem, apgalvojumiem) kopumā un savienoti ar loģisku savienojumu palīdzību.

Šajā rakstā mēs esam detalizēti aplūkojuši ierosinājumu loģiku un ar to saistītās tēmas.

Satura rādītājs

• Kas ir loģika?
• Propozīcijas loģika
• Patiesības tabula
• 1. Noliegums
• 2. Savienojums
• 3. Disjunkcija
• 4. Ekskluzīvs Or
• 5. Implikācija
• 6. Divu nosacījumu jeb dubultās nozīmes

Kas ir loģika?

Loģika ir visas matemātiskās spriešanas un visas automatizētās spriešanas pamatā. Loģikas noteikumi nosaka matemātisko apgalvojumu nozīmi. Šie noteikumi palīdz mums saprast un pamatot tādus apgalvojumus kā:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Kas vienkāršā angļu valodā nozīmē Pastāv vesels skaitlis, kas nav divu kvadrātu summa .

Matemātiskās loģikas nozīme

Loģikas noteikumi piešķir precīzu nozīmi matemātiskiem apgalvojumiem. Šie noteikumi tiek izmantoti, lai atšķirtu derīgus un nederīgus matemātiskos argumentus. Papildus nozīmei matemātiskās spriešanas izpratnē, loģikai datorzinātnēs ir daudz pielietojumu, sākot no digitālo shēmu projektēšanas līdz datorprogrammu uzbūvei un programmu pareizības pārbaudei.

Propozīcijas loģika

Kas ir priekšlikums? Priekšlikums ir loģikas pamatelements. Tas ir definēts kā deklaratīvs teikums, kas ir patiess vai nepatiess, bet ne abi. The Patiesības Vērtība priekšlikuma ir True (apzīmēts kā T), ja tas ir patiess apgalvojums, un False (apzīmēts kā F), ja tas ir nepatiess apgalvojums. Piemēram,

1. Saule lec austrumos un riet rietumos.
2. 1 + 1 = 2
3. “b” ir patskanis.

Visi iepriekš minētie teikumi ir priekšlikumi, kur pirmie divi ir Valid (True) un trešais ir Invalid (False). Daži teikumi, kuriem nav patiesības vērtības vai kuriem var būt vairāk nekā viena patiesības vērtība, nav priekšlikumi. Piemēram,

1. Cik ir pulkstenis?
2. Ej ārā un Spēlē
3. x + 1 = 2

Iepriekš minētie teikumi nav priekšlikumi, jo pirmajiem diviem nav patiesības vērtības, bet trešais var būt patiess vai nepatiess. Lai pārstāvētu priekšlikumus, propozicionālie mainīgie tiek izmantoti. Pēc vienošanās šie mainīgie tiek attēloti ar maziem alfabētiem, piemēram,p,:q,:r,:s . Tiek saukta loģikas joma, kas nodarbojas ar priekšlikumiem propozīcijas aprēķins vai propozicionālā loģika . Tas ietver arī jaunu piedāvājumu izstrādi, izmantojot esošos. Tiek saukti priekšlikumi, kas konstruēti, izmantojot vienu vai vairākus priekšlikumus saliktie priekšlikumi . Priekšlikumi tiek apvienoti kopā, izmantojot Loģiskie savienojumi vai Loģiskie operatori .

Propozīcijas loģika

rinda pret kolonnu

Patiesības tabula

Tā kā mums ir jāzina priekšlikuma patiesuma vērtība visos iespējamos scenārijos, mēs ņemam vērā visas iespējamās priekšlikumu kombinācijas, kuras ir savienotas kopā ar loģiskiem savienojumiem, lai izveidotu doto salikto priekšlikumu. Šo visu iespējamo scenāriju apkopojumu tabulas formātā sauc par a patiesības tabula . Visizplatītākie loģiskie savienojumi -

1. Noliegums

Jap ir priekšlikums, tad noliegumsp ir apzīmēts ar eg p , kas tulkojot vienkāršā angļu valodā nozīmē- Nav tā, ka lpp vai vienkārši nē lpp . Patiesības vērtība -lpp ir pretējs patiesības vērtībai lpp . Patiesības tabula -lpp ir:

Piemērs, Noliegums šodien līst, ir Nav jau tā, ka šodien līst vai vienkārši Šodien nelīst.

2. Savienojums

Jebkuriem diviem priekšlikumiemp unq , to savienojumu apzīmē arpwedge q , kas nozīmēp unq . Savienojumspwedge q ir taisnība, ja abip unq ir patiesi, pretējā gadījumā nepatiesi. Patiesības tabulapwedge q ir:

Piemērs, Priekšlikumu konjunkcijap – Šodien ir piektdiena unq -Šodien līst,pwedge q ir Šodien ir piektdiena un šodien līst. Šis priekšlikums ir patiess tikai lietainās piektdienās un ir nepatiess jebkurā citā lietainā dienā vai piektdienās, kad nelīst.

3. Disjunkcija

Jebkuriem diviem priekšlikumiemp unq , to disjunkcija tiek apzīmēta arpvee q , kas nozīmēp vaiq . Disjunkcijapvee q ir Patiess, kad nup vaiq ir Patiess, pretējā gadījumā Nepatiess. Patiesības tabulapvee q ir:

Piemērs, Priekšlikumu disjunkcijap – Šodien ir piektdiena unq -Šodien līst,pvee q ir Šodien ir piektdiena vai šodien līst. Šis priekšlikums ir patiess jebkurā piektdienā vai lietainā dienā (tostarp lietainās piektdienās), un tas ir nepatiess jebkurā citā dienā, izņemot piektdienu, kad arī nelīst.

4. Ekskluzīvs Or

Jebkuriem diviem priekšlikumiemp unq , to izņēmuma vai apzīmē arpoplus q , kas nozīmē vai nup vaiq bet ne abi. Ekskluzīvais vaipoplus q ir Patiess, kad nup vaiq ir patiess un nepatiess, ja abi ir patiesi vai abi ir nepatiesi. Patiesības tabulapoplus q ir:

Piemērs, Ekskluzīvs vai no piedāvājumiemp – Šodien ir piektdiena unq -Šodien līst,poplus q ir Vai nu šodien ir piektdiena, vai arī šodien līst, bet ne abi. Šis ierosinājums ir patiess jebkurā dienā, kas ir piektdiena vai lietaina diena (izņemot lietainās piektdienas), un ir nepatiess jebkurā citā dienā, izņemot piektdienu, kad nelīst, vai lietainās piektdienās.

java matemātika

5. Implikācija

Jebkuriem diviem priekšlikumiemp unq , paziņojums, jap tadq sauc par implikāciju un to apzīmē arp ightarrow q . Ietekmēp ightarrow q ,p tiek saukts par hipotēze vai priekštecis vai priekšnoteikums unq tiek saukts par secinājums vai sekas . Sekas irp ightarrow q tiek saukts arī par a nosacīts paziņojums . Ietekme ir nepatiesa, kadp ir taisnība unq ir nepatiess, pretējā gadījumā tā ir patiesība. Patiesības tabulap ightarrow q ir:

Varētu brīnīties, kāpēc tā irp ightarrow q taisnība, kadp ir nepatiess. Tas ir tāpēc, ka sekas garantē, ka kadp unq ir patiesi, tad norāde ir patiesa. Bet sekas negarantē neko, kad priekšnoteikumsp ir nepatiess. Kopš tā laika nav iespējams uzzināt, vai norāde ir nepatiesap nenotika. Šī situācija ir līdzīga nostājai Nevainīgs, kamēr nav pierādīts, ka vainīgs, kas nozīmē, ka sekasp ightarrow q tiek uzskatīta par patiesu, līdz tiek pierādīta nepatiesa. Tā kā mēs nevaram saukt par implikācijup ightarrow q viltus kadp ir nepatiess, mūsu vienīgā alternatīva ir saukt to par patiesību.

Tas izriet no Sprādziena princips kurā teikts: nepatiess apgalvojums nozīmē jebko. Nosacījuma apgalvojumiem ir ļoti svarīga loma matemātiskajā spriešanā, tāpēc tiek izmantota dažāda terminoloģija, lai izteiktup ightarrow q , daži no tiem ir uzskaitīti zemāk.

Ja p, tad qp ir pietiekams qq, kad pa nepieciešamais nosacījums p ir qp tikai tad, ja qq, ja vien ≠pq neizriet no p

Piemērs, Ja ir piektdiena, tad šodien līst, ir tāds priekšlikumsp ightarrow q . Iepriekš minētais apgalvojums ir patiess, ja tā nav piektdiena (pieņēmums ir nepatiess) vai ja ir piektdiena un līst, un tas ir nepatiess, ja ir piektdiena, bet nelīst.

6. Divu nosacījumu jeb dubultās nozīmes

Jebkuriem diviem priekšlikumiemp unq , paziņojumsp ja un tikai tad (ja)q sauc par divnosacījumu un to apzīmē arpleftrightarrow q . Paziņojumspleftrightarrow q tiek saukts arī par a divējāda nozīme .pleftrightarrow q ir tāda pati patiesības vērtība kā(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Sekas ir patiesas, kadp unq ir vienādas patiesības vērtības, un citādi tas ir nepatiess. Patiesības tabulapleftrightarrow q ir:

Daži citi izplatīti izteiksmes veidipleftrightarrow q ir:

p ir nepieciešams un pietiekams q, ja p, tad q, un otrādi, ja q

Piemēram, šodien līst tad un tikai tad, ja šodien ir piektdiena. ir priekšlikums, kura forma irpleftrightarrow q . Iepriekš minētais apgalvojums ir patiess, ja nav piektdiena un nelīst vai ja ir piektdiena un līst, un tas ir nepatiess, ja nav piektdiena vai nelīst. Vingrinājums:

java daudzpavedienu veidošana

1) Apsveriet šādus apgalvojumus:

• P: Labi mobilie tālruņi nav lēti.
• J: Lēti mobilie tālruņi nav labi.
• L: P nozīmē Q
• M: Q nozīmē P
• N: P ir ekvivalents Q

Kurš no šiem parametriem L, M un N ir PAREIZS? (Gate 2014)

(A) Tikai L ir TRUE.

(B) Tikai M ir TRUE.

(C) Tikai N ir TRUE.

(D) L, M un N ir TRUE.

Risinājumu sk VĀRTI | GATE-CS-2014-(Set-3) | 11. jautājums

2) Kurš no šiem nav līdzvērtīgs p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Risinājumu sk VĀRTI | GATE-CS-2015 (1. komplekts) | 65. jautājums