Funkcija viens pret vienu vai One-One funkcija ir viena no funkciju veidi definēts virs domēna un kodēna un apraksta īpašu attiecību veidu starp domēnu un kodomēnu. Funkciju viens pret vienu sauc arī par injekcijas funkciju. Funkcija viens pret vienu ir matemātiska funkcija, kur katrs elements domēnā kartē uz unikālu elementu kodomēnā .

Šajā rakstā ir detalizēti izpētīts jēdziens “Viens pret vienu funkciju” vai “One-One Function”, tostarp tā definīcija un piemēri, kas palīdz viegli saprast šo jēdzienu. Mēs arī apspriedīsim dažas problēmas un sniegsim dažas prakses problēmas, kuras jūs varat atrisināt. Tātad, uzzināsim par šo svarīgo matemātikas jēdzienu, kas pazīstams kā viena pret vienu funkciju.

Satura rādītājs

• Kas ir viena pret vienu funkcija?
• Viens pret vienu funkciju piemēri
• Viens pret vienu funkciju īpašības
• Funkcija viens pret vienu un funkcija uz vienu
• Atrisināti piemēri funkcijai viens pret vienu

Kas ir viena pret vienu funkcija?

Viena pret vienu funkcija, kas pazīstama arī kā injekcijas funkcija, ir tāda, kurā dažādiem A elementiem ir dažādi elementi, kas saistīti ar B, vai dažādiem A elementiem ir dažādi attēli B.

Ja funkcijai ir dažādi attēli, tas nozīmē, ka tas ir iespējams tikai viens pret vienu, ja iepriekšējie attēli bija atšķirīgi, ja B kopai ir dažādi elementi, tas nozīmē, ka tas ir iespējams tikai tad, ja kopai ir dažādi elementi, kuriem tie bija priekšattēli.

10 miljoni

Viens pret vienu funkciju definīcija

Funkcija “f” no kopas “A” līdz kopai “B” ir viena pret vienu, ja divi elementi “A” nav kartēti ar vienu un to pašu elementu “B”.

Apskatīsim šīs divas diagrammas. Diagrammai A mēs saprotam, ka 10 kartes uz 1, 20 kartes uz 2 un 30 kartes uz 3.

Tomēr diagrammai B ir skaidrs, ka 10 un 30 kartēs uz 3 un pēc tam 20 kartes uz 1.

Tā kā mums ir elementi domēnā, kas atbilst atšķirīgām vērtībām katrā diagrammas A domēnā, funkcija padara vienu pret vienu, tādējādi mūsu diagramma B nav viens pret vienu.

Matemātiski to var izteikt kā

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Viens pret vienu funkciju piemērs

• Identitātes funkcija: Identitātes funkcija ir vienkāršs funkcijas viens pret vienu piemērs. Tas aizņem ievadi un atgriež tādu pašu vērtību kā izvade. Jebkuram reālam skaitlim x identitātes funkciju definē šādi:

f(x) = x

Katra atsevišķa ievade x atbilst atsevišķai izvadei f(x), padarot to par funkciju viens pret vienu.

• Lineāra funkcija: Lineāra funkcija ir tāda, kurā mainīgā lielākā jauda ir 1. Piemēram:

f(x) = 2x + 3

Šī ir funkcija viens pret vienu, jo neatkarīgi no izvēlētās x vērtības jūs iegūsit unikālu f(x) vērtību.

• Absolūtās vērtības funkcija: Absolūtās vērtības funkcija f(x)=∣x∣ arī ir funkcija viens pret vienu. Jebkuram reālajam skaitlim x absolūtās vērtības funkcija atgriež vērtību, kas nav negatīva, un dažādas x vērtības radīs dažādas absolūtās vērtības.

Pierādīsim vienu šādu funkciju viens pret vienu piemēru.

Piemērs: Pierādiet, ka funkcija f(x) = 1/(x+2), x≠2 ir viens pret vienu.

Risinājums:

Saskaņā ar funkciju viens pret vienu mēs to zinām

f(a) = f(b)

aizstāt a ar x un x ar b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

krusteniski reiziniet iepriekš minēto vienādojumu

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Tagad, tā kā a = b, funkcija tiek uzskatīta par funkciju viens pret vienu.

Rekvizīti Viens pret vienu Funkcijas

Uzskatīsim, ka f un g ir divas funkcijas viens pret vienu, īpašības ir šādas:

• Ja f un g abi ir viens pret vienu, tad f ∘ g seko injektivitātei.
• Ja g ∘ f ir viens pret vienu, tad funkcija f ir viens pret vienu, bet funkcija g var nebūt.
• f: X → Y ir viens-viens, tad un tikai tad, ja, ņemot vērā kādas funkcijas g, h : P → X, kad f ∘ g = f ∘ h, tad g = h. Citiem vārdiem sakot, funkcijas viens-viens ir tieši monomorfismi kopu kategoriju kopā.
• Ja f: X → Y ir viens un P ir X apakškopa, tad f^-1(f(A)) = P. Tādējādi P var izgūt no tā attēla f(P).
• Ja f: X → Y ir viens un P un Q ir X apakškopas, tad f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Ja gan X, gan Y ir ierobežoti ar vienādu elementu skaitu, tad f: X → Y ir viens, tad un tikai tad, ja f ir surjektīva vai uz funkcija.

Funkcijas viens pret vienu grafiks

Apskatīsim vienu no funkcijas viens pret vienu diagrammu

Iepriekš redzamais funkcijas f(x)= √x grafiks parāda funkcijas viens pret vienu grafisko attēlojumu.

Horizontālās līnijas pārbaude

Funkcija ir viens pret vienu, ja katra horizontālā līnija nešķērso grafiku vairāk nekā vienā punktā.

Kā piemēru izmantosim lineāro funkciju. Sauksim to par f(x), tāpēc f(x) ir apgriezta funkcija. Lai noteiktu, vai f(x) ir apgrieztā funkcija, jums jāparāda, ka tā ir funkcija viens pret vienu, jums jāparāda, ka tā iztur horizontālās līnijas pārbaudi. Tātad, ja mēs zīmējam horizontālu līniju un ja f(x) pieskaras horizontālajai līnijai vairāk nekā vienu reizi, tas nozīmē, ka f(x) nav funkcija viens pret vienu un tai nav apgrieztas funkcijas.

Iepriekš minētajā piemērā tas krusto horizontālo līniju tikai vienā punktā. Tātad f (x) ir funkcija viens pret vienu, kas nozīmē, ka tai ir apgriezta funkcija.

Funkcijas 'viens pret vienu' apgrieztā vērtība

Lai f ir viens pret vienu funkciju ar domēnu A un diapazonu B. Tad f apgrieztā vērtība ir funkcija ar domēnu B un diapazonu A, ko nosaka f^-1(y) =x tad un tikai tad, ja f(x)=y jebkuram y no B. Vienmēr atcerieties, ka funkcijai ir inverss tad un tikai tad, ja tā ir viens pret vienu. Funkcija ir viens pret vienu, ja lielākais eksponents ir nepāra skaitlis. Bet, ja lielākais skaitlis ir pāra skaitlis vai absolūtā vērtība, tā nav funkcija viens pret vienu.

Piemērs: f(x)=3x+2 atrodiet funkcijas apgriezto vērtību

Risinājums:

uzrakstiet funkciju y=f(x) formā

⇒ y=3x+2

ļauj apmainīties ar y un x mainīgajiem

⇒ x=3y+2

atrisināt y ar x

⇒ x-2=3g

sadaliet vienādojumu ar 3

⇒ (x-2)/3=3g/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

Viens pret vienu funkciju un uz vienu funkciju

Galvenās atšķirības starp One to One un Onto Functions ir norādītas šajā tabulā:

Šajā ilustrācijā ir sniegta skaidra atšķirība starp vienu un uz vienu funkciju:

Lasīt vairāk,

• Funkcijas
• Funkciju veidi
• Saistība un funkcija

Atrisinātas problēmas, izmantojot funkciju “Viens pret vienu”.

Atrisināsim dažas problēmas, lai ilustrētu vienas pret vienu funkcijas:

1. problēma: nosakiet, vai šī funkcija ir viens pret vienu: f(x) = 3x – 1

Risinājums:

1. risinājums. Lai pārbaudītu, vai tas ir viens pret vienu, mums ir jāparāda, ka nevienas divas atšķirīgas x vērtības nav saistītas ar vienu un to pašu y vērtību.

Pieņemsim, ka f(a) = f(b), kur a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Tā kā f(a) = f(b) vienīgais veids ir tad, ja a = b, šī funkcija patiešām ir viens pret vienu.

2. uzdevums: nosakiet, vai šī funkcija ir viens pret vienu: g(x) = x ²

Risinājums:

2. risinājums: izmantosim horizontālo līniju testu, attēlojot funkciju diagrammā. Ja kāda horizontāla līnija krusto grafiku vairāk nekā vienu reizi, tas nav viens pret vienu.

G(x) = x^2 grafiks ir parabola, kas atveras uz augšu. Jebkura horizontāla līnija šķērso grafiku tikai vienu reizi, tāpēc šī funkcija nav viena pret vienu.

Praktizējiet problēmas saistībā ar funkcijām viens pret vienu

1. problēma: Nosakiet, vai šī funkcija ir viens pret vienu:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²- 1
• h(x) =³√x

2. problēma: Atrodiet funkciju, kas ir viens pret vienu no reālo skaitļu kopas līdz reālo skaitļu kopai.

3. problēma: Dota funkcija g(x) = x²+ 1, nosakiet, vai tas ir viens pret vienu visā tā domēnā.

4. problēma: Aplūkosim funkciju h(x) = e^x. Vai tā ir viena pret vienu funkcija?

5. problēma: Atrodiet apgriezto funkciju f(x) = 4x – 7 un nosakiet tās apgabalu.

6. problēma: Nosakiet, vai funkcija p(x) = √x ir viens pret vienu.

7. problēma: Ņemot vērā q(x) = x/2, atrodiet funkcijas domēnu un diapazonu.

8. problēma: Pārbaudiet, vai funkcija r(x) = sin (x) ir viens pret vienu intervālā [0, π].

9. problēma: Apsveriet funkciju s(x) = |x|. Vai tā ir viena pret vienu funkcija?

10. problēma: Nosakiet, vai funkcija t(x) = 1/x ir viens pret vienu, un atrodiet tās domēnu.

Funkcijas viens pret vienu — FAQ

1. Kas ir viena pret vienu funkcija?

Funkcija 'viens pret vienu' ir matemātiska funkcija, kas kartē katru tā domēna elementu ar unikālu elementu savā kodēnā. Citiem vārdiem sakot, tas nesakārto divus dažādus domēna elementus ar vienu un to pašu elementu kodomēnā.

2. Kā es varu noteikt, vai funkcija ir viens pret vienu?

Varat izmantot horizontālo līniju testu. Ja neviena horizontāla līnija šķērso funkcijas grafiku vairāk nekā vienu reizi, tā ir funkcija viens pret vienu.

3. Kāda ir atšķirība starp funkciju “viens pret vienu” un funkciju “onto”?

Funkcija 'viens pret vienu' nodrošina, ka divi atšķirīgi domēna elementi nav saistīti ar vienu un to pašu elementu kodomēnā, savukārt funkcija onto, kas pazīstama arī kā surjektīva funkcija, nodrošina, ka katrs kodēna elements tiek kartēts vismaz ar viens elements domēnā.

4. Vai visas lineārās funkcijas ir viena pret vienu?

Nē, ne visas lineārās funkcijas ir viena pret vienu. Piemēram, f(x) = 2x ir viens pret vienu, bet g(x) = 2x + 1 nav, jo tas kartē divas dažādas x vērtības ar vienu un to pašu y vērtību (piemēram, g(1) = 3 un g(2) = 5).