VIDĒJĀ, DISPERSIJA UN STANDARTA NOVIRZE — DEFINĪCIJA UN FORMULA

Vidējā, dispersija un standarta novirze ir būtiski statistikas rādītāji. Variance kvantitatīvi nosaka datu punkta novirzi no vidējā, bet standarta novirze mēra datu sadalījumu. Galvenā atšķirība ir tajā, ka standarta novirze ir tajās pašās vienībās kā vidējā, bet dispersija ir kvadrāta vienībās. Iepazīstieties ar šiem jēdzieniem, izmantojot definīcijas, formulas un ilustratīvu piemēru.

Vidēji

Vidēji ir noteiktas datu kopas vidējais rādītājs. Apskatīsim piemēru zemāk

$2,4,4,4,5,5,7,9$

Šo astoņu datu punktu vidējais (vidējais) rādītājs ir 5:

$frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.$

$Formula: mu=frac{sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}$

Kur ? ir vidējais un x₁, x₂, x₃…., x_iir elementi. Ņemiet vērā arī to, ka vidējo dažreiz apzīmē ar $egin{masīvs}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (- 1)^2 = 1 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7-5)^2 = 2^2 = 4 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9-5)^2 = 4^2 = 16. end{masīvs}$

dispersija

dispersija ir visu skaitļu un vidējo atšķirību kvadrātu summa.
Novirze iepriekšējam piemēram. Vispirms aprēķiniet katra datu punkta novirzes no vidējā un katra rezultātu kvadrātā:

$Formula: sigma^{2}= frac { sum_{i=1}^{N} (x_{i}-mu)^{2}}{N}$

dispersija = $extup{Variācijas koeficients } =frac{ extup{Standarta novirze}}{Vidējā}*100$ = 4.

Kur ? ir vidējais, N ir kopējais elementu skaits vai sadalījuma biežums.

Standarta novirze

Standarta novirze ir dispersijas kvadrātsakne. Tas ir mērs, cik lielā mērā dati atšķiras no vidējā.

Standarta novirze (iepriekš minētajiem datiem) = = 2

Kāpēc matemātiķi izvēlējās kvadrātu un pēc tam kvadrātsakni, lai atrastu novirzi, kāpēc gan vienkārši neņemt vērtību starpību?
Viens no iemesliem ir tas, ka atšķirību summa kļūst par 0 saskaņā ar vidējā definīciju. Varētu būt absolūto atšķirību summa, taču ar absolūtām atšķirībām bija grūti pierādīt daudzas jaukas teorēmas. [Avots: MIT video lekcija 1:19]

Standarta novirzes vērtība ir 0, ja visi ievades ieraksti ir vienādi.
Ja visām ievades kopas vērtībām pievienojam (vai atņemam) skaitli, piemēram, 7, vidējais tiek palielināts (vai samazināts) par 7, bet standarta novirze nemainās.
Ja visas ievades kopas vērtības reizinām ar skaitli 7, gan vidējā, gan standartnovirze tiek reizināta ar 7. Bet, ja visas ievades vērtības reizina ar negatīvu skaitli, piemēram, -7, vidējo reizina ar -7, bet standartnovirze tiek reizināta ar 7.
Standarta novirze un dispersija ir rādītājs, kas norāda, cik skaitļi ir sadalīti. Lai gan dispersija sniedz aptuvenu priekšstatu par izplatību, standarta novirze ir konkrētāka, sniedzot precīzus attālumus no vidējā.
Vidējais, mediāna un režīms ir datu centrālās tendences mērs (grupētu vai negrupētu).

Pārbaudiet:

Izkliede un standarta novirze
Standarta novirzes reāli pielietojumi
Atšķirība starp dispersiju un standarta novirzi

Zemāk minētie jautājumi tika uzdoti iepriekšējā gada GATE eksāmenos Atsauces:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm

Vidējā, dispersija un standarta novirze — FAQ

Kāda ir atšķirība starp standarta novirzi un dispersiju?

Gan standarta novirze, gan dispersija mēra datu punktu izplatību datu kopā attiecībā pret vidējo. Galvenā atšķirība ir tā, ka dispersija mēra vidējo noviržu kvadrātā no vidējās vērtības, savukārt standarta novirze ir dispersijas kvadrātsakne, nodrošinot izkliedes mērījumu tajās pašās vienībās, kurās ir dati.

Kā aprēķināt vidējo, dispersiju un standarta novirzi?

Nozīme: saskaitiet visus skaitļus un izdaliet ar skaitļu skaitu.
Izkliede: aprēķiniet vidējo, no katra skaitļa atņemiet vidējo, rezultātu kvadrātā, summējiet šos rezultātus kvadrātā un izdaliet ar skaitļu skaitu mīnus viens.
Standarta novirze: ņemiet kvadrātsakni no novirzes.

Kāpēc vidējā vērtība, dispersija un standarta novirze ir svarīgas?

Šie statistikas pasākumi ir ļoti svarīgi, lai izprastu datu izplatīšanu. Vidējā vērtība nodrošina centrālo vērtību, savukārt dispersija un standarta novirze sniedz ieskatu datu mainīgumā vai izplatībā, norādot datu kopas konsekvenci vai nepastāvību.

Vai dispersija un standarta novirze var būt negatīvas?

Nē, dispersija un standartnovirze nevar būt negatīva. Novirze tiek aprēķināta kā vidējā kvadrātā atšķirību no vidējā vērtība, kā rezultātā tiek iegūta nenegatīva vērtība. Tā kā standarta novirze ir dispersijas kvadrātsakne, tā arī nevar būt negatīva.

Kā novirzes ietekmē vidējo, dispersiju un standarta novirzi?

Ārējās vērtības var būtiski ietekmēt vidējo vērtību, velkot to uz ārpuses vērtību, tādējādi precīzi neatspoguļojot datu kopas galveno tendenci. Variance un standarta novirze arī tiek ietekmēta, jo tās palielināsies, norādot uz lielāku datu izplatību novirzes(-u) dēļ.