Jebkuras skaitliskās vērtības kvadrātsakne ir vērtība, kas pašreizināšanas rezultātā iegūst sākotnējo skaitli. “√” ir radikāls simbols, ko izmanto, lai attēlotu jebkura skaitļa sakni. Ar kvadrātsakni mēs domājam jaudu 1/2 no šī skaitļa. Piemēram, pieņemsim, ka x ir jebkura vesela skaitļa y kvadrātsakne, tas nozīmē, ka x=√y. Reizinot vienādojumu, mēs iegūstam arī x2= y.
Kvadrātsakne no pozitīva skaitļa kvadrāta dod sākotnējo skaitli.
Lai saprastu jēdzienu, mēs zinām, ka kvadrāts 4 ir 16, un kvadrātsakne no 16, √16 = 4. Tagad, kā mēs redzam, 16 ir ideāls kvadrātveida skaitlis. Tādējādi ir viegli aprēķināt šādu skaitļu kvadrātsakni. Tomēr, lai aprēķinātu kvadrātsakni nepilnīgam kvadrātam, piemēram, 3, 5, 7 utt., Saknes aprēķināšana ir sarežģīts process.
Kvadrātsaknes funkcija ir funkcija 'viens pret vienu', kas kā ievadi izmanto pozitīvu skaitli un atgriež norādītā ievades skaitļa kvadrātsakni.
f(x) = √x
Kvadrātsakņu īpašības
Dažas no svarīgākajām kvadrātsaknes īpašībām ir šādas:
- Ideālam kvadrātveida skaitlim pastāv ideāla kvadrātsakne.
- Skaitlim, kas beidzas ar pāra skaitu nullēm, pastāv kvadrātsakne.
- Negatīvu skaitļu kvadrātsakne nav noteikta.
- Skaitlim, kas beidzas ar cipariem 2, 3, 7 vai 8, ideālā kvadrātsakne nepastāv.
- Skaitlim, kas beidzas ar cipariem 1, 4, 5, 6 vai 9, skaitlim būs kvadrātsakne.
Kā aprēķināt kvadrātsakni?
Perfekti kvadrātskaitļi ir veseli skaitļi, kas pēc būtības ir pozitīvi un kurus var viegli izteikt skaitļa reizinājuma veidā. Perfekti kvadrātveida skaitļi ir attēloti kā jebkura vesela skaitļa jaudas 2 vērtība. Perfekto kvadrātskaitļu kvadrātsaknes aprēķināšana ir salīdzinoši vienkāršāka. Galvenokārt tiek izmantotas četras metodes, lai atrastu skaitļu kvadrātsakni:
- Kvadrātsaknes atkārtotas atņemšanas metode
- Kvadrātsakne pēc primārās faktorizācijas metodes
- Kvadrātsakne pēc aplēses metodes
- Kvadrātsakne pēc garās dalīšanas metodes
Iepriekš minētās trīs metodes var izmantot perfektu kvadrātskaitļu kvadrātsaknes aprēķināšanai. Tomēr pēdējo metodi var izmantot abiem skaitļu veidiem.
Kvadrātsakņu atkārtotas atņemšanas metode
Metode balstās uz šādu darbību secību:
1. darbība: Atņemiet secīgos nepāra skaitļus no skaitļa, kuram mēs atrodam kvadrātsakni.
2. darbība: Atkārtojiet 1. darbību, līdz tiek sasniegta vērtība 0.
3. darbība: 1. darbības atkārtojumu skaits ir vajadzīgā kvadrātsakne no dotā skaitļa.
Piezīme: Šo metodi var izmantot tikai perfektiem kvadrātiem.
Piemēram, skaitlim 16 metode darbojas šādi:
16 – 1 = 15
15 – 3 =12
12–5 = 7
7-7 = 0
Procedūru atkārto 4 reizes. Tādējādi√16 = 4.
Kvadrātsakne pēc primārās faktorizācijas metodes
Jebkura skaitļa primārā faktorizācija ir šī skaitļa attēlojums pirmskaitļu reizinājuma formā. Metode balstās uz šādu darbību secību:
1. darbība: Sadaliet norādīto skaitli tā pirmfaktoros.
2. darbība: Līdzīgu faktoru pāris tiek veidots tā, lai abi faktori katrā no izveidotajiem pāriem būtu vienādi.
komplekti java
3. darbība: Ņem vienu faktoru no katra pāra.
4. darbība: Faktoru reizinājumu iegūst, ņemot vienu faktoru no katra pāra.
5. darbība: Šis iegūtais reizinājums ir dotā skaitļa kvadrātsakne.
Piezīme: Šo metodi var izmantot tikai perfektiem kvadrātiem.
Piemēram, skaitlim 64 metode darbojas šādi:
64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}
64 = 22×22×22
64 = (2 × 2 × 2)2
64 = (8)2
√64 = 8
Kvadrātsakne pēc aplēses metodes
Novērtējuma metodi izmanto, lai tuvinātu dotā skaitļa kvadrātsakni. Tas tuvina skaitļa kvadrātsakni līdz saprātīgam faktiskās vērtības minējumam. Izmantojot šo metodi, aprēķini ir vieglāki. Tomēr tas ir patiešām ilgs un laikietilpīgs process.
1. darbība: Atrodiet tuvāko ideālo kvadrātu, kas atrodas gan pirms, gan pēc dotajam skaitlim.
2. darbība: Atrodiet nākamos tuvākos veselos skaitļus un katru reizi noapaļojiet tos, lai iegūtu tuvāko atbildi.
Piemēram, skaitlim 15 metode darbojas šādi:
9 un 16 ir ideāli kvadrātskaitļi pirms un pēc, kas ir vistuvāk 15. Tagad mēs zinām,
√16 = 4 un √9 = 3. Tas nozīmē, ka skaitļa 15 kvadrātsakne ir starp 3 un 4. Tagad process ietver novērtējumu, vai skaitļa 15 kvadrātsakne ir tuvāka 3 vai 4.
Pirmais gadījums ir 3,5 un 4. Kvadrāts no 3,5 = 12,25 un kvadrātsakne no 4 = 16. Tāpēc veselā skaitļa 15 kvadrātsakne atrodas starp 3,5 un 4 un ir tuvāk 4.
Tālāk mēs atrodam kvadrātus 3,8 un 3,9, kas ir līdzvērtīgi 3,82= 14,44 un 3,92= attiecīgi 15,21. Tas nozīmē, ka √15 ir no 3,8 līdz 3,9. Tālāk novērtējot, mēs iegūstam, ka √15 = 3,872.
Kvadrātsakne pēc garās dalīšanas metodes
Long Division metode skaitļu kvadrātsaknes aprēķināšanai ietver lielu skaitļu sadalīšanu soļos vai daļās, tādējādi sadalot problēmu vieglāku darbību secībā.
10 1 miljons
Piemēram, skaitlim 180 metode darbojas šādi:
1. darbība: Virs katra skaitļa ciparu pāra tiek novietota josla, kas sākas ar vienības vietu.
2. darbība: Tālāk kreisais skaitlis tiek dalīts ar lielāko skaitli tā, lai kvadrāts būtu mazāks vai vienāds ar skaitli, kas atrodas vistālāk kreisajā pārī.
3. darbība: Tagad skaitlis zem nākamās joslas pa labi no atlikuma tiek samazināts. Iegūtā koeficienta pēdējais cipars tiek pievienots dalītājam. Tagad nākamais solis ir atrast skaitli pa labi no iegūtās summas, lai tas kopā ar summas rezultātu veidotu jaunu dalītāju jaunajai dividendei.
4. darbība: Iegūtais skaitlis koeficientā ir līdzvērtīgs dalītājā atlasītajam skaitlim.
5. darbība: To pašu procesu atkārto, izmantojot decimālzīmi un atlikušajai daļai pievienojot nulles pa pāriem.
6. darbība: Koeficients veido skaitļa kvadrātsakni.
Jautājumu paraugi
1. jautājums. Aprēķiniet kvadrātsakni no 144, izmantojot primārās faktorizācijas metodi?
Risinājums:
egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array} vietne, piemēram, coomeet144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}
144 = 22×22×32
144 = (2 × 2 × 3)2
144 = (12)2
√144 = 12
2. jautājums. Kā var vienkāršot kvadrātsakni?
Risinājums:
Dotā skaitļa primāro faktorizāciju var aprēķināt. Gadījumā, ja faktoru nevar grupēt, to grupēšanai izmanto kvadrātsaknes simbolu. Vienkāršošanai tiek izmantots šāds noteikums:
√xy = √(x × y), kur x un y ir pozitīvi veseli skaitļi.
Piemēram, √12 =
sqrt{2 × 2 × 3} = 23Daļskaitļu gadījumā tiek izmantots šāds noteikums:
frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}} Piemēram:
frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10} = √5
3. jautājums. Atrisiniet: √(x + 2) = 4
Risinājums:
Mēs zinām,
√(x + 2) = 4
Sagriežot abas puses kvadrātā, mēs iegūstam;
x + 2 = √4
x + 2 = ±4
x = ±4–2
Tāpēc mums ir,
x = 2 vai x = -6
4. jautājums. Vai negatīva skaitļa kvadrātsakne var būt vesels skaitlis? Paskaidrojiet.
Risinājums:
Mēs zinām, ka negatīvajiem skaitļiem nevar būt kvadrātsakne. Iemesls tam ir tāds, ka, reizinot divus negatīvus skaitļus, iegūtais rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tāpēc negatīva skaitļa kvadrātsakne būs kompleksā skaitļa formā.
5. jautājums. Aprēķināt kvadrātsakni no 25 ar atkārtotas atņemšanas metodi?
Risinājums:
Veicot iepriekš norādītās darbības, mums ir,
25 – 1 = 24
listnode java24–3 = 21
21-5 = 16
16–7 = 9
9-9 = 0
Tā kā process tiek atkārtots 5 reizes, mums ir, √25 = 5.
6. jautājums. Aprēķiniet kvadrātsakni no 484 ar garās dalīšanas metode?
Risinājums:
Izmantojot garās dalīšanas metodi, mums ir,
Tagad
Atlikusī daļa ir 0, tāpēc 484 ir ideāls kvadrātskaitlis,
√484 = 22
