Kopējās varbūtības likums ir svarīgs, lai noteiktu kāda notikuma varbūtību. Ja ir zināms, ka notikuma varbūtība ir 1, tad neiespējamam notikumam tā, visticamāk, ir 0. Pamatnoteikums varbūtības teorijā, kas ir savstarpēji saistīts ar robežvarbūtību un nosacītā varbūtība sauc par kopējās varbūtības likumu jeb kopējās varbūtības teorēmu.

Pēc vairākiem notikumiem zināms, ka ir jāzina visu iespēju iespējamība. The kopējās varbūtības teorēma ir Beja teorēmas galvenais pamats. Šajā rakstā mēs esam apsprieduši svarīgus jēdzienus, kas saistīti ar kopējo varbūtību, tostarp kopējās varbūtības likums , apgalvojumi, pierādījumi un daži piemēri.

Kopējās varbūtības likums

Doti n savstarpēji izslēdzoši notikumi A1, A2, …Ak tā, ka to varbūtību summa ir vienotība un to savienība ir notikumu telpa E, tad Ai ∩ Aj= NULL, visiem I nav vienāds ar j, un

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Tad Kopējās varbūtības teorēma jeb kopējās varbūtības likums, ir: kur B ir patvaļīgs notikums, un P(B/Ai) ir B nosacītā varbūtība, pieņemot, ka A jau ir noticis.

Kopējās varbūtības teorēmas pierādījums

Lai A1, A2, …, Ak ir nevienoti notikumi, kas veido izlases telpas nodalījumu, un pieņem, ka P(Ai)> 0, ja i = 1, 2, 3….k, tā, ka:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Tad jebkuram notikumam B mums ir,

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Tā kā krustojums un Savienība ir sadales. Tāpēc

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Tā kā visas šīs starpsienas ir nesavienojamas. Tātad mums ir,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

Tā ir saskaitīšanas teorēma par varbūtību nesaistītu notikumu savienībai. Izmantojot nosacīto varbūtību

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

Vai arī pēc reizināšanas likuma,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Šeit notikumi A un B tiek uzskatīti par neatkarīgiem notikumiem, ja P(B|A) = P(B), kur P(A) nav vienāds ar nulli(0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

kur P(B|A) ir nosacītā varbūtība, kas norāda notikuma B iestāšanās varbūtību, kad notikums A jau ir noticis. Tāpēc

kā java savienot virknes

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Piemērojot šo noteikumu, mēs iegūstam,

Tas ir kopējās varbūtības likums . Kopējās varbūtības likums tiek saukts arī par kopējās varbūtības teorēma vai alternatīvu likums.

Piezīme:

Kopējās varbūtības likums tiek izmantots, ja jūs nezināt notikuma iespējamību, bet zināt tā rašanos vairākos nesaistītos scenārijos un katra scenārija varbūtību.

Kopējās varbūtības teorēmas pielietojums

To izmanto saucēja novērtēšanai in Bayes teorēma . Bayes teorēma n notikumu kopai ir definēta kā

Ļaujiet E₁, UN₂,…, UN_nir notikumu kopa, kas saistīta ar paraugtelpu S, kurā visi notikumi E₁, UN₂,…, UN_nkuru rašanās varbūtība nav nulle. Visi notikumi E₁, UN₂,…, E veido S nodalījumu. Lai A ir notikums no telpas S, kuram jāatrod varbūtība, tad saskaņā ar Beijesa teorēmu,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

ja k = 1, 2, 3, …., n

Piemērs

1. Mēs izvelkam divas kārtis no sajaukto kāršu klāja ar nomaiņām. Atrodiet varbūtību iegūt otro kārti karali.

Paskaidrojums:- Ļaujiet, A – apzīmē notikumu, kurā pirmā kārts iegūst karali. B – attēlo notikumu, ka pirmā kārts nav karalis. E – apzīmē notikumu, ka otrā kārts ir karalis. Tad varbūtība, ka otrā kārts būs karalis vai nē, tiks attēlota kopējās varbūtības likumā kā:

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

Kur P(E) ir varbūtība, ka otrā kārts ir karalis, P(A) ir varbūtība, ka pirmā kārts ir karalis, P(E|A) ir varbūtība, ka otrā kārts ir karalis, ņemot vērā, ka pirmā kārts ir karalis, P(B) ir varbūtība, ka pirmā kārts nav karalis, P(E|B) ir varbūtība, ka otrā kārts ir karalis, bet pirmā izvilktā kārts nav karalis. Saskaņā ar jautājumu:

unix izveidot direktoriju

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

Tāpēc

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

Bieži uzdotie jautājumi par kopējās varbūtības likumu

Q.1: Kāda ir kopējās varbūtības izmantošana?

Atbilde:

Kopējās varbūtības likumu izmanto, lai aprēķinātu notikuma iespējamību, ņemot vērā jebkuru saistīto notikumu skaitu. Baja teorēmas izmantošana, lai atjauninātu hipotēzes iespējamību, ja ir jauni pierādījumi.

Q.2: Vai kopējā varbūtība vienmēr ir 1?

Atbilde:

Visu notikumu varbūtību summa vienmēr ir 1.

Q.3: Vai kopējā varbūtība var būt lielāka par 1?

Atbilde:

Nē, kopējā varbūtība nevar būt lielāka par 1.