Pieņemsim, ka ir divi salikti apgalvojumi, X un Y, kas tiks pazīstami kā loģiskā ekvivalence tad un tikai tad, ja abu patiesības tabulas kolonnās ir vienas un tās pašas patiesības vērtības. Ar simbola = vai ⇔ palīdzību mēs varam attēlot loģisko ekvivalenci. Tātad X = Y vai X ⇔ Y būs šo apgalvojumu loģiskā ekvivalence.
Ar loģiskās ekvivalences definīcijas palīdzību mēs esam noskaidrojuši, ka, ja saliktie apgalvojumi X un Y ir loģiskā ekvivalence, šajā gadījumā X ⇔ Y ir jābūt Tautoloģijai.
Loģiskās ekvivalences likumi
Šajā likumā mēs izmantosim simbolus 'UN' un 'OR', lai izskaidrotu loģiskās ekvivalences likumu. Šeit UN tiek norādīts ar simbola ∧ palīdzību un VAI tiek norādīts ar simbolu ∨. Pastāv dažādi loģiskās ekvivalences likumi, kas aprakstīti šādi:
Idempotentais likums:
Idempotenta likumā mēs izmantojam tikai vienu apgalvojumu. Saskaņā ar šo likumu, ja apvienosim divus vienus un tos pašus apgalvojumus ar simbolu ∧(un) un ∨(vai), tad rezultējošais apgalvojums būs pats apgalvojums. Pieņemsim, ka ir salikts apgalvojums P. Idempotenta likuma apzīmēšanai tiek izmantots šāds apzīmējums:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Šī likuma patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | P | P ∨ P | P∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Šajā tabulā ir vienādas patiesības vērtības kolonnās P, P ∨ P un P ∧ P.
Tādējādi mēs varam teikt, ka P ∨ P = P un P ∧ P = P.
Komutatīvie likumi:
pothineni auns
Abi apgalvojumi tiek izmantoti, lai parādītu komutatīvo likumu. Saskaņā ar šo likumu, ja mēs apvienosim divus apgalvojumus ar simbolu ∧(un) vai ∨(vai), tad rezultējošais apgalvojums būs vienāds pat tad, ja mainīsim apgalvojumu pozīciju. Pieņemsim, ka ir divi apgalvojumi, P un Q. Šo apgalvojumu piedāvājums būs nepatiess, ja abi apgalvojumi P un Q ir nepatiesi. Visos citos gadījumos tā būs taisnība. Komutatīvā likuma apzīmēšanai izmanto šādu apzīmējumu:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Šo apzīmējumu patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | J | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Šajā tabulā ir vienādas patiesības vērtības kolonnās P ∨ Q un Q ∨ P.
Tādējādi mēs varam teikt, ka P ∨ Q ? Q ∨ P.
Tāpat kā mēs varam pierādīt P ∧ Q ? Q ∧ P.
Asociatīvās tiesības:
Trīs apgalvojumi tiek izmantoti, lai parādītu asociatīvo likumu. Saskaņā ar šo likumu, ja mēs apvienosim trīs apgalvojumus ar iekavu palīdzību ar simbolu ∧(un) vai ∨(vai), tad rezultējošais apgalvojums būs vienāds arī tad, ja mainīsim iekavu secību. Tas nozīmē, ka šis likums ir neatkarīgs no grupējuma vai asociācijas. Pieņemsim, ka ir trīs apgalvojumi P, Q un R. Šo apgalvojumu piedāvājums būs nepatiess, ja P, Q un R ir nepatiesi. Visos citos gadījumos tā būs taisnība. Lai norādītu asociatīvo likumu, tiek izmantots šāds apzīmējums:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Šo apzīmējumu patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | J | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Šajā tabulā ir vienādas patiesības vērtības kolonnās P ∨ (Q ∨ R) un (P ∨ Q) ∨ R.
Tādējādi mēs varam teikt, ka P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Tāpat kā mēs varam pierādīt P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Izplatīšanas likums:
Trīs apgalvojumi tiek izmantoti, lai parādītu sadales likumu. Saskaņā ar šo likumu, ja mēs apvienojam paziņojumu ar simbolu ∨(OR) ar diviem citiem apgalvojumiem, kas ir savienoti ar simbolu ∧(AND), tad rezultējošais paziņojums būs vienāds pat tad, ja mēs atsevišķi apvienosim apgalvojumus ar simbolu ∨(OR) un savienotos priekšrakstus apvienojot ar ∧(AND). Pieņemsim, ka ir trīs apgalvojumi P, Q un R. Lai norādītu sadales likumu, tiek izmantots šāds apzīmējums:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Šo apzīmējumu patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | J | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Šī tabula satur vienādas patiesības vērtības P ∨ (Q ∧ R) un (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) kolonnās.
Tādējādi mēs varam teikt, ka P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Tāpat kā mēs varam pierādīt P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Identitātes likums:
Lai parādītu identitātes likumu, tiek izmantots viens paziņojums. Saskaņā ar šo likumu, ja mēs apvienosim paziņojumu un patieso vērtību ar simbolu ∨(vai), tad tas ģenerēs patieso vērtību. Ja mēs apvienosim paziņojumu un False vērtību ar simbolu ∧(un), tad tas ģenerēs paziņojumu pats. Līdzīgi mēs to darīsim ar pretējiem simboliem. Tas nozīmē, ka, ja mēs apvienosim paziņojumu un patieso vērtību ar simbolu ∧(un), tad tas ģenerēs paziņojumu pats, un, ja mēs apvienosim paziņojumu un nepatiesu vērtību ar simbolu ∨(or), tas ģenerēs Viltus vērtība. Pieņemsim, ka ir salikts apgalvojums P, patiesa vērtība T un nepatiesa vērtība F. Lai norādītu identitātes likumu, tiek izmantots šāds apzīmējums:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Šo apzīmējumu patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | T | F | P∨T | P∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Šī tabula satur vienādas patiesības vērtības P ∨ T un T kolonnās. Tādējādi mēs varam teikt, ka P ∨ T = T. Tāpat šajā tabulā ir tādas pašas patiesības vērtības P ∨ F un P kolonnās. mēs varam teikt, ka P ∨ F = P.
Tāpat kā mēs varam pierādīt P ∧ T ? P un P ∧ F ? F
Papildinājuma likums:
Papildinājuma likumā tiek izmantots viens paziņojums. Saskaņā ar šo likumu, ja mēs apvienosim paziņojumu ar tā komplementa paziņojumu ar simbolu ∨(vai), tad tas ģenerēs patieso vērtību, un, ja mēs apvienosim šos apgalvojumus ar simbolu ∧(un), tas ģenerēs nepatiesu. vērtību. Ja mēs noliegsim patieso vērtību, tad tā ģenerēs nepatiesu vērtību, un, ja mēs noliegsim nepatiesu vērtību, tā ģenerēs patieso vērtību.
mysql lietotāju saraksts
Lai norādītu komplementa likumu, tiek izmantots šāds apzīmējums:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Šo apzīmējumu patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Šī tabula satur vienādas patiesības vērtības P ∨ ¬P un T kolonnās. Tādējādi mēs varam teikt, ka P ∨ ¬P = T. Tāpat šajā tabulā ir arī tādas pašas patiesības vērtības P ∧ ¬P un T kolonnās. F. Tādējādi mēs varam teikt, ka P ∧ ¬P = F.
Šajā tabulā ir vienas un tās pašas patiesības vērtības ¬T un F kolonnās. Tādējādi mēs varam teikt, ka ¬T = F. Tāpat šajā tabulā ir tādas pašas patiesības vērtības ¬F un T kolonnās. Tādējādi mēs varam teikt, ka ¬F = T.
Dubultās noliegšanas likums vai involūcijas likums
Viens apgalvojums tiek izmantots, lai parādītu dubultās noliegšanas likumu. Saskaņā ar šo likumu, ja mēs noliegsim noliegtu apgalvojumu, tad rezultējošais apgalvojums būs pats apgalvojums. Pieņemsim, ka ir apgalvojums P un noliedzošs apgalvojums ¬P. Lai norādītu dubultās noliegšanas likumu, tiek izmantots šāds apzīmējums:
¬(¬P) ? P
Šo apzīmējumu patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Šajā tabulā ir vienādas patiesības vērtības ¬(¬P) un P kolonnās. Tādējādi varam teikt, ka ¬(¬P) = P.
No Morgana likuma:
Abi apgalvojumi tiek izmantoti, lai parādītu De Morgana likumu. Saskaņā ar šo likumu, ja mēs apvienosim divus apgalvojumus ar simbolu ∧(AND) un pēc tam veicam šo kombinēto apgalvojumu noliegumu, tad rezultējošais apgalvojums būs vienāds pat tad, ja apvienosim abu apgalvojumu noliegumu atsevišķi ar simbolu ∨( VAI). Pieņemsim, ka ir divi salikti apgalvojumi, P un Q. De Morgana likuma apzīmēšanai tiek izmantots šāds apzīmējums:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Šo apzīmējumu patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | J | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Šajā tabulā ir vienādas patiesības vērtības ¬(P ∧ Q) un ¬ P ∨ ¬Q kolonnās. Tādējādi mēs varam teikt, ka ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Tas pats, ko mēs varam pierādīt ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Absorbcijas likums:
Abi apgalvojumi tiek izmantoti, lai parādītu absorbcijas likumu. Saskaņā ar šo likumu, ja mēs apvienojam apgalvojumu P ar simbolu ∨(OR) ar to pašu apgalvojumu P un vienu citu apgalvojumu Q, kas ir savienoti ar simbolu ∧(AND), tad rezultējošais apgalvojums būs pirmais apgalvojums P. Tas pats rezultāts tiks ģenerēts, ja apmainīsimies ar simboliem. Pieņemsim, ka ir divi salikti apgalvojumi, P un Q. Lai norādītu uz absorbcijas likumu, tiek izmantots šāds apzīmējums:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Šo apzīmējumu patiesības tabula ir aprakstīta šādi:
| P | J | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Šī tabula satur vienādas patiesības vērtības P ∨ (P ∧ Q) un P kolonnās. Tādējādi varam teikt, ka P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Tāpat arī šajā tabulā ir tādas pašas patiesības vērtības P ∧ (P ∨ Q) un P kolonnās. Tādējādi varam teikt, ka P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Loģiskās ekvivalences piemēri
Ir dažādi loģiskās ekvivalences piemēri. Daži no tiem ir aprakstīti šādi:
1. piemērs: Šajā piemērā mēs noteiksim ekvivalences īpašību apgalvojumam, kas aprakstīts šādi:
p → q ? ¬p ∨ q
Risinājums:
Mēs to pierādīsim ar patiesības tabulas palīdzību, kas aprakstīta šādi:
java regex priekš
| P | J | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Šajā tabulā ir vienādas patiesības vērtības p → q un ¬p ∨ q kolonnās. Tādējādi mēs varam teikt, ka p → q ? ¬p ∨ q.
2. piemērs: Šajā piemērā mēs noteiksim ekvivalences īpašību apgalvojumam, kas aprakstīts šādi:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Risinājums:
| P | J | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Šī tabula satur vienādas patiesības vērtības kolonnās P ↔ Q un (P → Q) ∧ (Q → P). Tādējādi mēs varam teikt, ka P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
3. piemērs: Šajā piemērā mēs izmantosim līdzvērtīgu īpašību, lai pierādītu šādu apgalvojumu:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q )
Risinājums:
Lai to pierādītu, mēs izmantosim dažus no iepriekš aprakstītajiem likumiem, un no šī likuma mums ir:
notīrīt kešatmiņu npm
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Tagad mēs izmantosim komutatīvo likumu iepriekš minētajā vienādojumā un iegūsim sekojošo:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Tagad šajā vienādojumā izmantosim sadales likumu un iegūsim sekojošo:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Tagad šajā vienādojumā izmantosim sadales likumu un iegūsim sekojošo:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Tagad šajā vienādojumā izmantosim komplementa likumu un iegūsim sekojošo:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Tagad mēs izmantosim identitātes likumu un iegūsim:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Tagad šajā vienādojumā izmantosim komutācijas likumu un iegūsim sekojošo:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Visbeidzot, vienādojums (1) kļūst par šādu:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Visbeidzot, mēs varam teikt, ka vienādojums (1) kļūst par p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)