Matricas LU sadalīšana ir noteiktas kvadrātveida matricas faktorizācija divās trīsstūrveida matricās, vienā augšējā trīsstūrveida matricā un vienā apakšējā trīsstūra matricā, lai šo divu matricu reizinājums iegūtu sākotnējo matricu. To 1948. gadā ieviesa Alans Tjūrings, kurš arī radīja Tjūringa mašīnu.

LU dekompozīcijas metodei matricas faktorizēšanai kā divu trīsstūrveida matricu reizinājumam ir dažādi pielietojumi, piemēram, vienādojumu sistēmas risinājums, kas pats par sevi ir daudzu lietojumu, piemēram, strāvas atrašana ķēdē un diskrētu dinamisku sistēmu problēmu risināšana, sastāvdaļa. ; matricas apgrieztās vērtības atrašana un matricas determinanta atrašana.

Kas ir L U sadalīšanās?

Kvadrātveida matricu A var sadalīt divās kvadrātveida matricās L un U tā, lai A = L U kur U ir augšējā trīsstūrveida matrica, kas izveidota Gausa eliminācijas metodes piemērošanas rezultātā uz A, un L ir apakšējā trīsstūrveida matrica ar diagonāliem elementiem. vienāds ar 1.

Par A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

lateksa saraksti

Mums ir L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} un U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Tā, lai A = L U t.i.,left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Šeit vērtība l_{divdesmitviens}, iekšā_vienpadsmitu.c. var salīdzināt un atrast.

Kas ir Gausa eliminācijas metode?

Gausa eliminācija, kas pazīstama arī kā Gausa-Jordanas eliminācija, ir metode, ko izmanto lineārajā algebrā, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas un atrastu matricas apgriezto vērtību. Tas nosaukts matemātiķa Kārļa Frīdriha Gausa un arī matemātiķa Vilhelma Džordana vārdā, kuri devuši nozīmīgu ieguldījumu tās attīstībā.

Saskaņā ar Gausa eliminācijas metodi:

1. Jebkurai nulles rindai jāatrodas matricas apakšā.
2. Katras rindas pirmajam ierakstam, kas nav nulle, ir jāatrodas iepriekšējās rindas pirmā ieraksta, kas nav nulle, labajā pusē. Šī metode samazina matricu līdz rindas ešelona formai.

LU sadalīšanās metode

Lai ražotu jebkuru kvadrātveida matricu divās trīsstūrveida matricās, t.i., viena ir apakšējā trīsstūrveida matrica, bet otra ir augšējā trīsstūrveida matrica, mēs varam izmantot šādas darbības.

• Ņemot vērā lineāro vienādojumu kopu, vispirms pārveidojiet tos matricas formā A X = C, kur A ir koeficientu matrica, X ir mainīgā matrica un C ir skaitļu matrica vienādojumu labajā pusē.
• Tagad samaziniet koeficientu matricu A, t.i., matricu, kas iegūta no mainīgo koeficientiem visos dotajos vienādojumos tā, lai “n” mainīgajiem būtu nXn matrica, lai izveidotu rindu ešelonu, izmantojot Gausa eliminācijas metodi. Šādi iegūtā matrica ir U.
• Lai atrastu L, mums ir divas metodes. Pirmais ir pieņemt atlikušos elementus kā dažus mākslīgus mainīgos, izveidot vienādojumus, izmantojot A = L U, un atrisināt tos, lai atrastu šos mākslīgos mainīgos. Otra metode ir tāda, ka atlikušie elementi ir reizinātāja koeficienti, kuru dēļ attiecīgās pozīcijas kļuva par nulli U matricā. (Šo metodi ir nedaudz sarežģīti saprast ar vārdiem, taču tā būs skaidra zemāk esošajā piemērā)
• Tagad mums ir A (nXn koeficientu matrica), L (nXn apakšējā trīsstūrveida matrica), U (nXn augšējā trīsstūrveida matrica), X (nX1 mainīgo matrica) un C (nX1 skaitļu matrica labajā pusē). vienādojumu otrā puse).
• Dotā vienādojumu sistēma ir A X = C. Mēs aizstājam A = L U. Tādējādi mums ir L U X = C. Mēs ievietojam Z = U X, kur Z ir matrica vai mākslīgie mainīgie un vispirms atrisiniet L Z = C un pēc tam U X = Z, lai atrastu X vai mainīgo vērtības, kas bija nepieciešama.

LU sadalīšanās piemērs

Izmantojot LU sadalīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Risinājums: šeit mums ir A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

un

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

tā, lai A X = C. Tagad mēs vispirms apsveram

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

un pārveidojiet to rindas ešelona formā, izmantojot Gausa eliminācijas metodi. Tātad, darot

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

mēs saņemam

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Tagad, darot

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

Mēs saņemam

rinda java

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Ņemiet vērā, ka starp tām vienmēr ir jāpatur zīme “-”, aizstājiet zīmi “+” ar divām “-” zīmēm) Tādējādi mēs iegūstam L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

un U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Ņemiet vērā, ka L matricā,

l_{21} = 4

ir no (1),

l_{31} = 3

ir no (2) un

l_{32} = -2

ir no (3)) Tagad mēs pieņemam, ka Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

un atrisināt L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Tātad, mums ir

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

Atrisinot, mēs saņemam

z_1 = 1

,

z_2 = 2

un

z_3 = 5

watchcartoononline.io alternatīvas

. Tagad mēs atrisinām U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Tāpēc mēs saņemam

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

,

-10x_3 = 5 .

Tādējādi dotās lineāro vienādojumu sistēmas risinājums ir

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

un līdz ar to matrica X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Vingrinājums par LU Dekompozīcija

Matricas LU dekompozīcijā

| 2 2 |
| 4 9 |

, ja U diagonālie elementi abi ir 1, tad L apakšējā diagonāles ieraksts l22 ir (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Risinājumu skatiet VĀRTI | GATE-CS-2015 (1. komplekts) | 65. jautājums .

Bieži uzdotie jautājumi par LU sadalīšanos

Kas ir LU dekompozīcijas metode?

LU sadalīšana, saīsinājums no Lower-Upper decomposition, ir matricas faktorizācijas paņēmiens, ko izmanto, lai sadalītu kvadrātveida matricu apakšējās trīsstūrveida matricas (L) un augšējās trīsstūrveida matricas (U) produktā. To parasti izmanto, lai vienkāršotu lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu un determinantu aprēķināšanu.

Kāpēc LU dekompozīcija ir unikāla?

LU sadalīšana ir unikāla, jo tā nodrošina veidu, kā unikāli faktorizēt kvadrātveida matricu A apakšējās un augšējās trīsstūrveida matricās (L un U), ļaujot efektīvi atrisināt lineārās sistēmas un veikt determinantu aprēķinus.

Kā tiek aprēķināta LU sadalīšanās?

LU dekompozīcija tiek aprēķināta, izmantojot Gausa elimināciju, kur jūs pārveidojat kvadrātveida matricu A apakšējās (L) un augšējās (U) trīsstūrveida matricās, veicot rindu darbības, vienlaikus sekojot līdzi izmaiņām atsevišķās matricās. Šis process ir iteratīvs un turpinās, līdz A pilnībā sadalās. Metode ar visiem LU sadalīšanas posmiem ir dota rakstā.

Kad LU sadalīšanās nav iespējama?

LU sadalīšana var nebūt iespējama, ja matrica A ir vienskaitlī (neinvertējama) vai ja tai ir nepieciešama pagriešana, lai nodrošinātu stabilitāti, bet šarnīra elements kļūst par nulli, izraisot sadalīšanu ar nulli sadalīšanas procesa laikā.

Vai ir kādas alternatīvas LU dekompozīcijai?

Jā, LU dekompozīcijas alternatīvas ietver Cholesky sadalīšanās simetriskām pozitīvām noteiktām matricām, QR dekompozīcija vispārējām matricām un uz īpašvērtībām balstītas metodes, piemēram, spektrālā sadalīšana un vienskaitļa vērtību dekompozīcija (SVD) dažādām matricas darbībām un lietojumiem.

Vai LU dekompozīcija var tikt piemērota nekvadrātveida matricām?

LU sadalīšanu parasti piemēro kvadrātveida matricām. Taisnstūra matricām biežāk tiek izmantota QR dekompozīcija. Tomēr tādas variācijas kā LUP sadalīšana var apstrādāt arī taisnstūrveida matricas, kur P ir permutācijas matrica.