logo

TechCodeview

Apgrieztās trigonometriskās identitātes

Apgrieztās trigonometriskās identitātes: Matemātikā apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir pazīstamas arī kā loka funkcijas vai antitrigonometriskās funkcijas. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir trigonometrisko pamatfunkciju apgrieztās funkcijas, t.i., sinusa, kosinusa, pieskares, kosekanta, sekanta un kotangenta. To izmanto, lai atrastu leņķus ar jebkuru trigonometrisko attiecību. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas parasti izmanto tādās jomās kā ģeometrija, inženierija utt. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas tiek attēlotas šādi:

Ja a = f(b), tad apgrieztā funkcija ir



b = f-1a)

kā virkni pārvērst par int

Apgriezto apgriezto trigonometrisko funkciju piemēri ir grēks-1x, cos-1x, tātad-1x utt.

Satura rādītājs



Apgriezto trigonometrisko identitāšu domēns un diapazons

Nākamajā tabulā ir parādītas dažas trigonometriskās funkcijas ar to domēnu un diapazonu.

Funkcija Domēns Diapazons
y = bez-1x[-vienpadsmit][-p/2, p/2]
y = cos-1x[-vienpadsmit][0, p]
y = cosec-1x R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1x R - (-vienpadsmit)[0, π] – {π/2}
y = tā-1x R (-p/2, p/2)
y = bērnu gultiņa-1x R (0, p)

Apgriezto trigonometrisko funkciju īpašības

Tālāk ir norādītas apgriezto trigonometrisko funkciju īpašības:

1. īpašums:



  1. bez-1(1/x) = kosek-1x, ja x ≥ 1 vai x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sek-1x, ja x ≥ 1 vai x ≤ -1
  3. tātad-1(1/x) = bērnu gultiņa-1x, ja x > 0

2. īpašums:

  1. bez-1(-x) = -sin-1x, ja x ∈ [-1 , 1]
  2. tātad-1(-x) = -tan-1x, ja x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, par |x| ≥ 1

3. īpašums

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, ja x ∈ [-1 , 1]
  2. sek-1(-x) = π – sek-1x, par |x| ≥ 1
  3. bērnu gultiņa-1(-x) = π – bērnu gultiņa-1x, ja x ∈ R

4. īpašums

  1. bez-1x + cos-1x = π/2, ja x ∈ [-1,1]
  2. tātad-1x + bērnu gultiņa-1x = π/2, ja x ∈ R
  3. cosec-1x + sek-1x = π/2, ja |x| ≥ 1

5. īpašums

  1. tātad-1x + tā-1y = tā-1( x + y )/(1 – xy), ja xy <1
  2. tātad-1x - tā-1y = tā-1(x – y)/(1 + xy), ja xy> -1
  3. tātad-1x + tā-1y = π + iedegums-1(x + y)/(1 – xy), ja xy>1 ; x, y>0

6. īpašums

  1. 2iedegums-1x = grēks-1(2x)/(1 + x2), par |x| ≤ 1
  2. 2iedegums-1x = cos-1(1-x2)/(1 + x2), ja x ≥ 0
  3. 2iedegums-1x = tā-1(2x)/(1 – x2), par -1

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas identitātes

Tālāk ir norādītas apgriezto trigonometrisko funkciju identitātes:

  1. bez-1(sin x) = x ar nosacījumu -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x ar nosacījumu, ka 0 ≤ x ≤ π
  3. tātad-1(iedegums x) = x ar nosacījumu -π/2
  4. bez-1x) = x ar nosacījumu -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos (cos-1x) = x ar nosacījumu -1 ≤ x ≤ 1
  6. tik tā-1x) = x, ja x ∈ R
  7. cosec (kosek-1x) = x ar nosacījumu -1 ≤ x ≤ ∞ vai -∞
  8. sek (sek-1x) = x, ja 1 ≤ x ≤ ∞ vai -∞
  9. gultiņa (gultiņa-1x) = x ar nosacījumu -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2grēks-1x = grēks-12x√(1–x2)
  15. 3sin-1x = grēks-1(3x - 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3- 3x)
  17. 3 iedegums-1x = tā-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. bez-1x + grēks-1y = bez-1{ x√(1 – g2) + y√(1 – x2)}
  19. bez-1x – grēks-1y = bez-1{ x√(1 – g2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – un2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1–x2)(1 – un2)}
  22. tātad-1x + tā-1y = tā-1(x + y/1 – xy)
  23. tātad-1x - tā-1y = tā-1(x – y/1 + xy)
  24. tātad-1x + tā-1un +iedegums-1z = tā-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Cilvēki arī skatās:

Problēmu paraugi par apgrieztām trigonometriskām identitātēm

1. jautājums: mēģiniet bez -1 x = sek -1 1/√(1-x 2 )

Risinājums:

Ļaujiet bez-1x = y

⇒ sin y = x , (jo sin y = perpendikulārs/hipotenūza ⇒ cos y = √(1- perpendikulārs2)/hipotenūza )

⇒ cos y = √(1 – x2), šeit hipotenūza = 1

⇒ sek y = 1/cos y

⇒ s y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sek-11/√(1–x2)

⇒ bez-1x = sek-11/√(1–x2)

Līdz ar to pierādīts.

2. jautājums: mēģiniet -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/x

Risinājums:

Ļaujiet tā-1x = y

⇒ iedegums y = x, perpendikulārs = x un bāze = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (jo hipotenūza = √(perpendikulāri2+ bāze2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ tā-1x = cosec-1√(x2+ 1)/x

Līdz ar to pierādīts.

3. jautājums: novērtējiet sevi kā -1 x)

Risinājums:

Ļaujiet cos-1x = y

⇒ cos y = x , bāze = x un hipotenūza = 1 tāpēc sin y = √(1 - x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ dzeltenbrūns y = √(1 – x2)/x

⇒ y = tā-1√(1–x2)/x

⇒ cos-1x = tā-1√(1–x2)/x

Tāpēc iedegums (cos-1x) = iedegums (iedegums-1√(1–x2)/x ) = √(1 – x2)/x.

4. jautājums: tā -1 √(sin x) + bērnu gultiņa -1 √(sin x) = y. Atrodi cos un.

Risinājums:

Mēs zinām, ka iedegums-1x + bērnu gultiņa-1x = /2 tāpēc, salīdzinot šo identitāti ar vienādojumu, kas dots jautājumā, mēs iegūstam y = π/2

Tādējādi cos y = cos π/2 = 0.

5. jautājums: tā -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2) iedegums -1 x, x> 0. Atrisiniet x.

Risinājums:

tātad-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2) iedegums-1x

⇒ 2 iedegums-1(1 – x)/(1 + x) = iedegums-1x …(1)

Mēs to zinām, 2tan-1x = tā-12x/(1 – x2).

Tāpēc (1) vienādojuma LHS var uzrakstīt kā

tātad-1[ { 2 (1 - x)/(1 + x)}/{ 1 - [(1 - x) (1 + x)]2}]

= tā-1[ {2(1-x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= tā-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= tā-1(1-x2)/(2x)

Tā kā LHS = RHS tādēļ

tātad-1(1-x2)/(2x) = iedegums-1x

⇒ (1–x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Tā kā x ir jābūt lielākam par 0, tāpēc x = 1/√3 ir pieņemama atbilde.

6. jautājums: mēģiniet to darīt -1 √x = (1/2) cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Risinājums:

Ļaujiet tā-1√x = y

⇒ dzeltenbrūns y = √x

⇒ tā2y = x

Tāpēc

RHS = (1/2)cos-1(1-tātad2y)/(1 + iedegums2un)

= (1/2) cos-1(cos2un bez2y)/(cos2un + bez2un)

= (1/2) cos-1(cos2un bez2un)

= (1/2) cos-1(maksā 2 g.)

= (1/2) (2 g.)

= un

= tā-1√x

= LHS

Līdz ar to pierādīts.

7. jautājums: tā -1 (2x)/(1 – x 2 ) + gultiņa -1 (1-x 2 )/(2x) = π/2, -1

Risinājumi:

tātad-1(2x)/(1 – x2) + gultiņa-1(1-x2)/(2x) = π/2

⇒ tā-1(2x)/(1 – x2) + tā-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2 iedegums-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ tā-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = iedegums ∏/4

⇒ (2x)/(1–x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 vai x = -1 – √2

Bet saskaņā ar jautājumu x ∈ (-1, 1) tāpēc dotajam vienādojumam atrisinājumu kopa ir x ∈ ∅.

8. jautājums: tā -1 1/(1 + 1,2) + iedegums -1 1/(1 + 2,3) + … + tātad -1 1/(1 + n(n + 1)) = dzeltenbrūns -1 x. Atrisiniet par x.

Risinājums:

tātad-11/(1 + 1,2) + iedegums-11/(1 + 2,3) + … + iedegums-11/(1 + n(n + 1)) = dzeltenbrūns-1x

⇒ tā-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + iedegums-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + tā-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = dzeltenbrūns-1x

⇒ (tātad-12 – tātad-11) + (tātad-13 - tātad-12) + … + (tātad-1(n + 1) – tātad-1n) = tā-1x

⇒ tā-1(n + 1) – tātad-11 = tā-1x

⇒ tā-1n/(1 + (n + 1).1) = iedegums-1x

⇒ tā-1n/(n + 2) = iedegums-1x

⇒ x = n/(n + 2)

9. jautājums: Ja 2tan -1 (bez x) = tā -1 (2 s x), pēc tam atrisiniet x.

Risinājums:

2iedegums-1(bez x) = tā-1(2 sek. x)

⇒ tā-1(2sin x)/(1 – grēks2x) = tā-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – grēks2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2x

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 vai sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 vai tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 vai x = π/4

Bet pie x = π/2 dotais vienādojums neeksistē, tāpēc x = π/4 ir vienīgais risinājums.

10. jautājums: pierādi, ka gultiņa -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Risinājums:

Tāpēc pieņemsim, ka x = 2y

LHS = bērnu gultiņa-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= gultiņa-1[{√(cos2un + bez2y + 2sin y cos y) + √(cos2un + bez2y — 2sin y cos y)}/{√(cos2un + bez2y + 2sin y cos y) – √(cos2un + bez2y – 2sin un cos y)} ]

= gultiņa-1[{√(cos y + sin y)2+ √ (cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √ (cos un – grēks un)2}]

= gultiņa-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y - cos y + sin y)]

= gultiņa-1(2cos y)/(2sin y)

= gultiņa-1(gultiņa un)

= un

= x/2.

Apgrieztās trigonometriskās identitātes prakses problēmas

1. uzdevums: atrisiniet x vienādojumā sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

2. problēma: pierādiet, ka iedegums -1 (1) + tā -1 (2) + tā -1 (3) = lpp

3. problēma: novērtējiet cos⁡ (bez -1 (0,5))

4. problēma: ja iedegums -1 (x) + iedegums -1 (2x) = π/4, pēc tam atrodiet x

Bieži uzdotie jautājumi par apgrieztajām trigonometriskajām identitātēm

Kas ir apgrieztās trigonometriskās funkcijas?

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir trigonometrisko pamatfunkciju (sinuss, kosinuss, tangenss, kosekants, sekants un kotangenss) apgrieztās funkcijas. Tos izmanto, lai atrastu leņķus, kas atbilst dotajām trigonometriskajām attiecībām.

Kāpēc apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir svarīgas?

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir būtiskas dažādās jomās, piemēram, ģeometrijā, inženierzinātnēs un fizikā, jo tās palīdz noteikt leņķus no trigonometriskām attiecībām, kas ir ļoti svarīgi daudzu praktisku problēmu risināšanai.

Kādi ir apgriezto trigonometrisko funkciju domēni un diapazoni?

Katrai apgrieztajai trigonometriskajai funkcijai ir noteikti domēni un diapazoni:

s iekšā -1 (x) : domēns [-1, 1] un diapazons [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : domēns [-1, 1] un diapazons [ 0, π]

tātad -1 (x) : domēns R un diapazons (- π/2, π/2)

Vai aprēķinos var izmantot apgrieztās trigonometriskās funkcijas?

Jā, apgrieztās trigonometriskās funkcijas bieži tiek izmantotas aprēķinos, lai veiktu integrāciju un diferenciāciju. Tie ir īpaši noderīgi, lai integrētu funkcijas, kas ietver trigonometriskas izteiksmes.