Implikācijas paziņojumu var attēlot formā 'ja....tad'. Simbols ⇒ tiek izmantots, lai parādītu nozīmi. Pieņemsim, ka ir divi apgalvojumi, P un Q. Šajā gadījumā apgalvojumu 'ja P, tad Q' var uzrakstīt arī kā P ⇒ Q vai P → Q, un tas tiks nolasīts kā 'P nozīmē Q'. Šajā implikācijā apgalvojums P ir hipotēze, kas pazīstama arī kā premisa un priekštecis, un apgalvojums Q ir secinājums, ko sauc arī par konsekvenci.
Implikācijai ir arī svarīga loma loģiskajā argumentā. Ja ir zināms, ka apgalvojumu implikācija ir patiesa, tad ikreiz, kad tiek izpildīts priekšnoteikums, arī secinājumam ir jābūt patiesam. Šī iemesla dēļ implikācija ir pazīstama arī kā nosacījuma paziņojums.
Daži seku piemēri ir aprakstīti šādi:
char + int java
- 'Ja GOA laiks ir saulains, tad mēs dosimies uz pludmali.'
- 'Ja klubam ir atlaižu sistēma, tad mēs dosimies uz šo klubu.'
- 'Ja, dodoties pludmalē, ir saulains laiks, mēs būsim iedeguši.'
Loģisko nozīmi var izteikt dažādos veidos, kas aprakstīti šādi:
- Ja p, tad q
- Ja p, q
- q kad p
- Q tikai tad, ja P
- q ja vien ~ lpp
- q ikreiz, kad lpp
- p ir pietiekams nosacījums q
- q sekot lpp
- p nozīmē q
- Nepieciešams p nosacījums ir q
- q ja p
- q ir nepieciešams p
- p ir q nepieciešams nosacījums
Tagad mēs aprakstīsim visu iepriekš aprakstīto implikāciju piemērus, izmantojot pieņēmumu P un secinājumu Q. Šim nolūkam pieņemsim, ka P = ir saulains un Q = es došos uz pludmali.
P ⇒ J
- JA būs saulains TAD iešu uz pludmali
- JA būs saulains, iešu uz pludmali
- Es iešu uz pludmali, KAD būs saulains laiks
- Uz pludmali iešu TIKAI TAD, JA būs saulains laiks
- Es došos uz pludmali, JA nebūs saulains
- Es iešu uz pludmali, KAD būs saulains
- Ir saulains IR PIETIEKAMS NOSACĪJUMS, LAI Došos uz pludmali
- Došos uz pludmali SEKO ir saulains laiks
- Ir saulains laiks NOTEIKTĀ, ka es došos uz pludmali
- NEPIECIEŠAMS NOSACĪJUMS, LAI ir saulains, es došos uz pludmali
- Es iešu uz pludmali, JA būs saulains laiks
- Došos uz pludmali IR NEPIECIEŠAMS JO ir saulains
- Ir saulains IR NEPIECIEŠAMS NOSACĪJUMS, LAI Došos uz pludmali
Ja ir nosacīts apgalvojums 'ja p, tad q', tad šis apgalvojums P ⇒ Q būs nepatiess, ja priekšnoteikums p ir patiess un secinājums q ir nepatiess. Visos citos gadījumos tas nozīmē, ja p ir nepatiess vai Q ir patiess, apgalvojums P ⇒ Q būs patiess. Mēs varam attēlot šo apgalvojumu ar patiesības tabulas palīdzību, kurā nepatiesais tiks attēlots ar F, bet patiesais tiks attēlots ar T. Apgalvojuma 'ja P, tad Q' patiesuma tabula ir aprakstīta šādi:
| P | J | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Nav nepieciešams, lai telpas un secinājums būtu saistīti viens ar otru. Pamatojoties uz P un Q formulējumu, patiesības tabulas interpretācija ir atkarīga.
Piemēram:
- Ja Džeks ir izgatavots no plastmasas, tad Okeāns ir zaļš.
- Paziņojums: Džeks ir izgatavots no plastmasas
- Paziņojums: Okeāns ir zaļš
Iepriekšminētajiem diviem apgalvojumiem nav nekādas jēgas, jo Džeks ir cilvēks, un viņš nekad nevar būt izgatavots no plastmasas, un cits apgalvojums, ka Okeāns ir zaļš, nekad nenotiks, jo okeāns vienmēr ir zils un Okeāna krāsu nevar mainīt. Kā redzam, abi apgalvojumi nav saistīti viens ar otru. No otras puses, apgalvojuma P ⇒ Q patiesuma tabula ir derīga. Tātad runa nav par to, vai patiesības tabula ir pareiza vai nē, bet tas ir iztēles un interpretācijas jautājums.
Tātad P ⇒ Q mums nav nepieciešams nekāda veida savienojums starp premisu un konsekvenci. Pamatojoties uz P un Q patieso vērtību, to nozīme ir atkarīga tikai.
Šie apgalvojumi arī būs nepatiesi, pat ja mēs uzskatām abus apgalvojumus par mūsu pasauli, tātad
False ⇒ False
Tātad, aplūkojot iepriekš minēto patiesības tabulu, mēs redzam, ka, ja P ir nepatiess un Q ir nepatiess, tad P ⇒ Q ir patiess.
Tātad, ja Džeks ir izgatavots no plastmasas, tad Okeāns būs zaļš.
Tomēr premisa p un secinājums q būs saistīti, un abiem apgalvojumiem ir jēga.
Neskaidrība
Netiešajā operatorā var būt neskaidrības. Tātad, kad mēs izmantojam imly operatoru (⇒), šobrīd mums vajadzētu izmantot iekavas.
Piemēram: Šajā piemērā mums ir neskaidrs apgalvojums P ⇒ Q ⇒ R. Tagad mums ir divi neviennozīmīgi apgalvojumi ((P ⇒ Q) ⇒ R) vai (P ⇒ (Q ⇒ R)), un mums ir jāparāda, vai šie apgalvojumi ir līdzīgi vai nē.
Risinājums: Mēs to pierādīsim ar patiesības tabulas palīdzību, kas aprakstīta šādi:
| P | J | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
Iepriekš redzamajā patiesības tabulā redzams, ka P ⇒ (Q ⇒ R) un (P ⇒ Q) ⇒ R patiesības tabula nav līdzīga. Tādējādi tie abi radīs dažādus rezultātus vai rezultātus.
Vairāk par Implikāciju
Tālāk ir aprakstīti vēl daži seku piemēri.
- Ja būs saulains laiks, tad iešu uz skolu.
- Ja dabūšu labu darbu, tad pelnīšu naudu.
- Ja saņemšu labas atzīmes, tad mani vecāki būs priecīgi.
Visos iepriekš minētajos piemēros mēs esam apmulsuši, jo nezinām, kad norāde tiks uzskatīta par patiesu un kad tā tiks uzskatīta par nepatiesu. Lai atrisinātu šo problēmu un saprastu implikācijas jēdzienu, mēs izmantosim hipotētisku piemēru. Šajā piemērā mēs pieņemsim, ka Marijs spēlēs badmintonu ar savu draugu Džeku, bet viņa draugs Džeks vēlas mazliet motivēt Mariju, tāpēc viņš ievilina viņu ar paziņojumu:
'If you win then I will buy a ring for you'
Ar šo apgalvojumu Džeks nozīmē, ka, ja uzvarēs laulība, viņš acīmredzot nopirks gredzenu. Ar šo paziņojumu Džeks apņemas sevi izdarīt tikai tad, kad Marry uzvar. Nekādā gadījumā viņš neko neizdarīja, kad Marija zaudēja. Tātad mača beigās var būt tikai četras iespējas, kas aprakstītas šādi:
- Precēties uzvar – nopērc gredzenu.
- Precēties uzvar - nepērc gredzenu.
- Precēties zaudē – nopērc gredzenu.
- Precēties zaudē — nepērc gredzenu.
Tomēr Džeks neizteica nekādus paziņojumus saistībā ar noteikumu (B). Viņš arī neminēja noteikumu numuru (C) un (D) savā paziņojumā, tāpēc, ja Marry ir vaļīgs, tad tas ir pilnībā atkarīgs no Džeka, vai nopirkt viņai gredzenu vai nē. Faktiski apgalvojumi (A), (C) un (D) var notikt kā iznākums apgalvojumam, ko Džeks saka precēties, bet (B) rezultāts nebūs. Ja notiks iznākums (B), tikai tad Džeks tiks pieķerts melos. Visos pārējos trijos gadījumos, t.i., (A), (C) un (D), viņš būs runājis patiesību.
Tagad mēs izmantosim vienkāršāku paziņojumu, lai mēs varētu simboliski definēt Džeka paziņojumu šādi:
P: you win Q: I will buy a ring for you
Šajā nozīmē mēs izmantojam loģisko simbolu ⇒, ko var nolasīt kā “nozīmē”. Mēs veidosim Jack's Compound paziņojumu, novietojot šo bultiņu no P uz Q šādi:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Noslēgumā mēs esam novērojuši, ka implikācija būs nepatiesa tikai tad, ja P ir patiess un q ir nepatiess. Saskaņā ar šo paziņojumu, Marry uzvar spēlē, bet diemžēl Džeks nepērk gredzenu. Visos citos gadījumos/rezultātos apgalvojums būs patiess. Attiecīgi patiesības tabula implicēšanai ir aprakstīta šādi:
| P | J | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Implikācijas atbilstošo loģisko vienādojumu saraksts ir aprakstīts šādi:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Ietekmes piemēri:
Ir dažādi seku piemēri, un daži no tiem ir aprakstīti šādi:
1. piemērs: Pieņemsim, ka ir četri apgalvojumi: P, Q, R un S kur
P: Džeks mācās skolā
J: Džeks māca
R: Džeks guļ
S: Džekam ir slikti
Tagad mēs aprakstīsim dažus simboliskus apgalvojumus, kas ir saistīti ar šiem vienkāršajiem apgalvojumiem.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Šeit mums jāparāda šo simbolisko apgalvojumu interpretācijas attēlojums vārdos.
Risinājums:
| P → R | Ja Džeks mācās skolā, tad Džeks māca. |
| S → ~P | Ja Džeks ir slims, tad viņš neiet skolā. |
| ~Q → (S ∧ R) | Ja Džeks nemāca, tad viņš ir slims un guļ. |
| (P ∨ R) → ~Q | Ja Džeks mācās skolā vai guļ, tad viņš nemāca. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Ja Džeks neguļ un nav slims, tad viņš māca vai nē skolā. |
2. piemērs: Šajā piemērā mums ir implikācija P → Q. Šeit mums ir arī vēl trīs salikti apgalvojumi, kas dabiski ir saistīti ar šo implikāciju, kas ir pretrunā pozitīvai, apgrieztai un pretējai. Saistība starp visiem šiem četriem apgalvojumiem ir aprakstīta ar tabulas palīdzību, kas aprakstīta šādi:
| Ietekme | P → Q |
| Sarunāties | Q → P |
| Apgriezti | ~P → ~Q |
| Kontrapozitīvs | ~Q → ~P |
Tagad mēs apsvērsim implikācijas piemēru, kurā ir apgalvojums: “Ja jūs labi mācāties, jūs saņemat labas atzīmes”. Šis apgalvojums ir formā P → Q, kur
P: Tu labi mācies
J: Jūs saņemat labas atzīmes
Tagad mēs izmantosim P un Q paziņojumus un parādīsim četrus saistītos paziņojumus, piemēram:
Ietekme: Ja labi mācies, saņem labas atzīmes.
Sarunāties: Ja iegūsti labas atzīmes, tu labi mācies.
Apgriezti: Ja jūs slikti mācāties, jūs nesaņemat labas atzīmes.
Kontrapozitīvs: Ja jūs nesaņemat labas atzīmes, jūs slikti mācāties.
Visu iepriekš minēto saistīto apgalvojumu patiesības vērtības ir aprakstītas ar patiesības tabulas palīdzību, kas aprakstīta šādi
| P | J | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
Iepriekš redzamajā tabulā redzams, ka implikācijai (P → Q) un tās kontrapozitīvam (~Q → ~P) kolonnās ir vienāda vērtība. Tas nozīmē, ka tie abi ir līdzvērtīgi. Tātad mēs varam teikt, ka:
P → Q = ~Q → ~P
Līdzīgi mēs varam redzēt, ka gan apgrieztajam, gan apgrieztajam ir līdzīgas vērtības savās kolonnās. Bet tas neko nemainīs, jo apgrieztais ir pretējs pozitīvs. Līdzīgi sākotnējā implikācija var iegūt no kontrapozitīvā kontrapozitīvā. (Tas nozīmē, ja mēs noraidīsim P un Q un pēc tam pārslēdzam bultiņas virzienu, un pēc tam mēs atkārtosim šo procesu, tas nozīmē, ka noliegsim ~P un ~Q un atkal mainīsim bultiņas virzienu, šajā gadījumā mēs iegūsim atpakaļ, kur mēs sākām).