A Hiperbola ir gluda līkne plaknē ar diviem zariem, kas viens otru atspoguļo, atgādinot divus bezgalīgus lokus. Tas ir konusveida griezums, kas izveidots, krustojot taisnu riņķveida konusu ar plakni tādā leņķī, ka tiek krustotas abas konusa puses.

Sīkāk uzzināsim par hiperbolu, tostarp tās vienādojumu, formulas, rekvizītus, grafikus un atvasināšanu.

Hiperbola

Satura rādītājs

• Kas ir hiperbola?
• Hiperbolas definīcija
• Hiperbolas vienādojums
• Hiperbolas daļas
• Hiperbolas ekscentriskums
• Hiperbolas standarta vienādojums
• Hiperbolas labā puse
• Hiperbolas vienādojuma atvasināšana
• Hiperbolas formula
• Hiperbolas grafiks
• Konjugētā hiperbola
• Hiperbolas īpašības
• Hiperbolas palīgapļi
• Taisnstūra hiperbola
• Hiperbolas parametriskais attēlojums
• Hiperbolas 11. klase
• Atrisināti piemēri par hiperbolu
• Prakses problēmas ar hiperbolu

Kas ir hiperbola?

Hiperbola ir to punktu lokuss, kuru attālumu starpība no diviem fokusiem ir fiksēta vērtība. Šo starpību iegūst, atņemot tuvākā fokusa attālumu no tālākā fokusa attāluma.

Ja P (x, y) ir punkts uz hiperbolas un F, F’ ir divi fokusi, tad hiperbolas vieta ir

PF – PF' = 2a

Piezīme: Attēlam skatiet atvasinājumā pievienoto diagrammu.

Hiperbolas definīcija

Analītiskajā ģeometrijā hiperbola ir konusa griezuma veids, kas izveidots, kad plakne leņķī griežas cauri abām dubultā taisnā riņķveida konusa pusēm. Šis krustojums rada divas atsevišķas, neierobežotas līknes, kas ir viens otra spoguļattēli, veidojot hiperbolu.

Hiperbolas vienādojums

Hiperbolas vienādojums tā standarta formā ir atkarīgs no tā orientācijas un no tā, vai tā ir centrēta izcelsmē vai citā punktā. Šeit ir divas primārās formas hiperbolām, kuru centrā ir izcelsme: viena atveras horizontāli un otra vertikāli:

x ² /a ² - un ² /b ² = 1

Šis vienādojums attēlo hiperbolu, kas atveras pa kreisi un pa labi. Punkti (±a,0) ir hiperbolas virsotnes, kas atrodas uz x ass.

Hiperbolas daļas

Hiperbola ir konusa griezums, kas tiek izveidots, kad plakne nogriež dubultu taisnu apļveida konusu tādā leņķī, ka abas konusa puses ir savienotas. To var aprakstīt, izmantojot tādus jēdzienus kā perēkļi, virziens, taisnās zarnas taisnās zarnas un ekscentriskums.

Hiperbolas ekscentriskums

Hiperbolas ekscentriskums ir punkta attāluma no fokusa attiecība pret tā perpendikulāro attālumu no virziena. To apzīmē ar burtu ' Tas ir '.

• Hiperbolas ekscentricitāte vienmēr ir lielāka par 1, t.i., e>1.
• Hiperbolas ekscentriskumu var viegli atrast pēc formulas:

e = √[1 + (b ² /a ² )]

kur,

• a ir puslielās ass garums
• b ir daļēji mazās ass garums

Lasīt vairāk: Ekscentriskums

Hiperbolas standarta vienādojums

Hiperbolas standarta vienādojumi ir:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

VAI

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Hiperbolai ir divi standarta vienādojumi. Šie hiperbolas vienādojumi ir balstīti uz tās šķērsenisko asi un konjugācijas asi.

datu bāze

• Hiperbolas standarta vienādojums ir [(x²/a²) - (un²/b²)] = 1, kur X-ass ir šķērsass un Y-ass ir konjugētā ass.
• Turklāt vēl viens hiperbolas standarta vienādojums ir [(y²/a²)- (x²/b²)] = 1, kur Y ass ir šķērsass un X ass ir konjugētā ass.
• Hiperbolas standarta vienādojums ar centru (h, k) un X asi kā šķērsasi un Y asi kā konjugāta asi ir,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Turklāt vēl viens standarta vienādojums hiperbolai ar centru (h, k) un Y asi kā šķērsasi un X asi kā konjugāta asi ir

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Hiperbolas labā puse

Hiperbolas taisnā zarna ir līnija, kas iet caur jebkuru no hiperbolas perēkļiem un ir perpendikulāra hiperbolas šķērsasij. Latus taisnās zarnas galapunkti atrodas uz hiperbolas, un tās garums ir 2b²/a.

Hiperbolas vienādojuma atvasināšana

Apskatīsim punktu P uz hiperbolas, kura koordinātas ir (x, y). No hiperbolas definīcijas mēs zinām, ka atšķirība starp punkta P attālumu no diviem fokusiem F un F’ ir 2a, t.i., PF’-PF = 2a.

Lai fokusu koordinātas ir F (c, o) un F ‘(-c, 0).

Tagad, izmantojot koordinātu attāluma formulu, mēs varam atrast punkta P (x, y) attālumu līdz fokusiem F (c, 0) un F ‘(-c, 0).

√[(x + c)²+ (un – 0)²] – √[(x – c)²+ (un – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ un²] = 2a + √[(x - c)²+ un²]

Tagad, sadalot abas puses kvadrātā, mēs iegūstam

(x + c)²+ un²= 4a²+ (x – c)²+ un²+ 4a√[(x – c)²+ un²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ un²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ un²]

Tagad, sadalot abās pusēs kvadrātā un vienkāršojot, mēs iegūstam

[(x²/a²) - (un²/(c²– a²))] = 1

Mums ir, c²= a²+ b², tāpēc, aizstājot to iepriekš minētajā vienādojumā, mēs iegūstam

x²/a²- un²/b²= 1

Tādējādi tiek iegūts hiperbolas standarta vienādojums.

Līdzīgi mēs varam iegūt citas hiperbolas standarta vienādojumus, t.i., [y²/a²– x²/b²] = 1

Hiperbolas formula

Lai atrastu dažādus hiperbolas parametrus, tiek plaši izmantotas šādas hiperbolu formulas, kas ietver hiperbolas vienādojumu, lielāko un mazo asi, ekscentriskumu, asimptotus, virsotni, perēkļus un puslatus taisnās zarnas.

kur,

• (x₀, un₀​) ir centra punkts
• a ir daļēji galvenā ass
• b ir daļēji mazā ass.

Hiperbolas grafiks

Hiperbola ir līkne, kurai ir divas neierobežotas līknes, kas ir viena otras spoguļattēli. Hiperbolas grafiks parāda šo līkni 2-D plaknē. Mēs varam novērot dažādas hiperbolas daļas hiperbolu grafikos standarta vienādojumiem, kas norādīti zemāk:

Hiperbolas vienādojums	Hiperbolas grafiks	Hiperbolas parametri
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Centra koordinātas: (0, 0) Virsotnes koordinātas: (a, 0) un (-a, 0) Fokusu koordinātas: (c, 0) un (-c, 0) Šķērsass garums = 2a Konjugāta ass garums = 2b Latus taisnās zarnas garums = 2b2/a Asimptotu vienādojumi: y = (b/a) x un y = -(b/a) x Ekscentriskums (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Centra koordinātas: (0, 0) Virsotnes koordinātas: (0, a) un (0, -a) Fokusu koordinātas: (0, c) un (0, -c) Šķērsass garums = 2b Konjugāta ass garums = 2a Latus taisnās zarnas garums = 2b2/a Asimptotu vienādojumi: y = (a/b) x un y = -(a/b) x Ekscentriskums (e) = √[1 + (b2/a2)]

Konjugētā hiperbola

Konjugētā hiperbola ir 2 hiperbolas, kurās vienas hiperbolas šķērseniskās un konjugētās asis ir attiecīgi otras hiperbolas konjugāta un šķērsass.

Konjugētā hiperbola no (x²/a²) - (un²/b²) = 1 ir,

(x ² /a ² ) - (un ² /b ² ) = 1

kur,

• a ir daļēji galvenā ass
• b ir daļēji mazā ass
• Tas ir ir parabolas ekscentriskums
• a ² = b ² (Tas ir ² – 1)

Hiperbolas īpašības

• Ja hiperbolas un tās konjugāta ekscentricitātes ir e₁un e₂tad,

(1 un ₁ ² ) + (1/e ₂ ² ) = 1

• Hiperbolas un tās konjugāta perēkļi ir koncikliski un veido kvadrāta virsotnes.
• Hiperbolas ir vienādas, ja tām ir vienādas taisnās zarnas.

Hiperbolas palīgapļi

Papildu aplis ir aplis, kas ir novilkts ar centru C un diametru kā hiperbolas šķērsasi. Hiperbolas vienādojuma palīgaplis ir,

x ² + un ² = a ²

Taisnstūra hiperbola

Hiperbolu ar 2a vienību šķērsasi un vienāda garuma 2b vienību konjugāto asi sauc par taisnstūrveida hiperbolu . t.i., taisnstūra hiperbolā,

2a = 2b

⇒ a = b

Taisnstūra hiperbolas vienādojums ir šāds:

x ² - un ² = a ²

Piezīme: Taisnstūra hiperbolas ekscentriskums ir √2.

Hiperbolas parametriskais attēlojums

Hiperbolas palīgapļu parametriskais attēlojums ir:

x = a sec θ, y = b tan θ

Cilvēki arī Lasa

• Koniskā daļa
• Parabola
• Aplis
• Elipse

Hiperbolas 11. klase

11. matemātikas klasē hiperbolu izpēte ir daļa no analītiskās ģeometrijas konusveida sekcijām. Hiperbolu izpratne šajā līmenī ietver to definīcijas, standarta vienādojumu, īpašību un dažādu ar tiem saistīto elementu izpēti.

11. klases mācību programma parasti ietver šo vienādojumu un īpašību atvasināšanu, hiperbolu skicēšanu, pamatojoties uz dotajiem vienādojumiem, un ar hiperbolas elementiem un pozīcijām saistītu problēmu risināšanu. Šo jēdzienu apguve nodrošina spēcīgu analītikas pamatu ģeometrija , sagatavojot studentus tālākām studijām matemātikā un ar to saistītās jomās.

kā atrast bloķētus numurus operētājsistēmā Android

Kopsavilkums – hiperbola

Hiperbola ir konusveida sekcijas veids, kas veidojas, plaknei krustojot konusu tādā leņķī, ka veidojas divas atsevišķas līknes. Hiperbolu raksturo tās spoguļsimetrija, un tā sastāv no diviem atvienotiem zariem, katrs izliekts prom no otra. To var matemātiski definēt koordinātu plaknē, izmantojot standarta vienādojumu, kas mainās atkarībā no tā orientācijas — gan horizontālā, gan vertikālā — un no tā, vai tā centrs atrodas sākuma punktā vai citā punktā.

Standarta veidlapas ir x ² /a ² - un ² /b ² = 1 hiperbolai atverei horizontāli un un ² /a ² – x ² /b ² = 1 vienai atvērumam vertikāli, ar variācijām, lai pielāgotos centram, kas pārvietots uz (h,k). Galvenās hiperbolu iezīmes ietver virsotnes, katra zara tuvākos punktus centram; perēkļi, punkti, no kuriem attālumiem līdz jebkuram hiperbolas punktam ir nemainīga atšķirība; un asimptotes, līnijas, kurām zari tuvojas, bet nekad nepieskaras.

Hiperbolu īpašības padara tās nozīmīgas dažādās jomās, tostarp astronomijā, fizikā un inženierzinātnēs, lai modelētu un analizētu hiperboliskās trajektorijas un uzvedību.

Atrisināti piemēri par hiperbolu

1. jautājums: nosakiet hiperbolas x ekscentriskumu ² /64 – un ² /36 = 1.

Risinājums:

Hiperbolas vienādojums ir x²/64 – un²/36 = 0

Salīdzinot doto vienādojumu ar hiperbolas x standarta vienādojumu²/a²- un²/b²= 1, mēs iegūstam

a²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Mums ir,

Hiperbolas ekscentriskums (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √ (100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Tādējādi dotās hiperbolas ekscentriskums ir 1,25.

2. jautājums: ja hiperbolas vienādojums ir [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, atrod galvenās ass, mazās ass un taisnās zarnas garumus.

Risinājums:

Hiperbolas vienādojums ir [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Salīdzinot doto vienādojumu ar hiperbolas standarta vienādojumu, (x – h)²/a²– (un – k)²/b²= 1

Šeit x = 4 ir galvenā ass un y = 3 ir mazā ass.

a²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Galvenās ass garums = 2a = 2 × (5) = 10 vienības

Mazās ass garums = 2b = 2 × (3) = 6 vienības

Latus taisnās zarnas garums = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 vienības

3. jautājums: atrodiet virsotni, asimptotu, galveno asi, mazo asi un virzienu, ja hiperbolas vienādojums ir [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Risinājums:

Hiperbolas vienādojums ir [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Salīdzinot doto vienādojumu ar standarta hiperbolas vienādojumu, (x – h)²/a²– (un – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Hiperbolas virsotne: (h + a, k) un (h – a, k) = (13, 2) un (-1, 2)

Hiperbolas galvenā ass ir x = h x = 6

Hiperbolas mazā ass ir y = k y = 2

Hiperbolas asimptotu vienādojumi ir

y = k − (b/a)x + (b/a)h un y = k+ (b/a)x – (b/a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 un y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 - 0,57x + 3,43 un y = 2 + 0,57x - 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x un y = -1,43 + 0,57x

Hiperbolas virziena vienādojums ir x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

4. jautājums. Atrodiet tās hiperbolas ekscentriskumu, kuras taisnās zarnas taisnās zarnas ir puse no tās konjugētās ass.

Risinājums:

Latus taisnās zarnas garums ir puse no tā konjugētās ass

Pieņemsim, ka hiperbolas vienādojums ir [(x²/a²) - (un²/b²)] = 1

Konjugāta ass = 2b

Latus taisnās zarnas garums = (2b²/a)

No dotajiem datiem (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Mums ir,

Hiperbolas ekscentriskums (e) = √[1 + (b²/a²)]

Tagad ekscentricitātes formulā aizstājiet a = 2b

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Tādējādi nepieciešamā ekscentricitāte ir √5/2.

Prakses problēmas ar hiperbolu

P1. Atrodiet standarta formas vienādojumu hiperbolai ar virsotnēm (-3, 2) un (1, 2) un fokusa attālumu 5.

P2. Nosakiet hiperbolas centru, virsotnes un fokusus ar vienādojumu 9x ² - 4 gadi ² = 36.

P3. Dota hiperbola ar vienādojumu (x – 2) ² /16 – (un + 1) ² /9 = 1, atrodiet tā centra, virsotņu un fokusu koordinātas.

P4. Uzrakstiet hiperbolas vienādojumu ar horizontālo galveno asi, kuras centrs atrodas (0, 0), virsotne atrodas (5, 0) un fokuss ir (3, 0).

Hiperbola — FAQ

Kas ir hiperbola matemātikā?

Punkta atrašanās vietu plaknē, kurā attāluma attiecība starp fiksētu punktu un attālumu no fiksētas līnijas ir lielāka par 1, sauc par hiperbolu.

Kas ir hiperbolas standarta vienādojums?

Hiperbolas standarta vienādojums ir

(x ² /a ² ) - (un ² /b ² ) = 1

Kas ir hiperbolas ekscentriskums?

Hiperbolas ekscentriskums ir punkta attāluma no fokusa attiecība pret tā perpendikulāro attālumu no virziena. Hiperbolai ekscentricitāte vienmēr ir lielāka par 1.

Kas ir hiperbolas ekscentriskuma formula?

Hiperbolas ekscentriskuma formula ir e = √(1 + (b ² /a ² ))

Kas ir Foci no hiperbolas?

Hiperbolai ir divi perēkļi. Hiperbolai (x²/a²) - (un²/b²) = 1, fokusus nosaka ar (ae, 0) un (-ae, 0)

Kas ir hiperbolas šķērsass?

Hiperbolai (x²/a²) - (un²/b²) = 1, šķērsass atrodas gar x asi. Tās garums ir norādīts ar 2a. Līniju, kas iet caur hiperbolas centru un perēkļiem, sauc par hiperbolas šķērsasi.

Kas ir hiperbolas asimptoti?

Hiperbolai paralēlas līnijas, kas bezgalībā sastopas ar hiperbolu, sauc par hiperbolas asimptotiem.

Cik asimptotu ir hiperbolai?

Hiperbolai ir 2 asimptoti. Asimptotes ir līnijas tangenss hiperbolai, kas satiekas ar hiperbolu bezgalībā.

Kāpēc lieto Hyperbola?

Hiperbolas tiek pielietotas dažādās jomās, piemēram, astronomijā, fizikā, inženierzinātnēs un ekonomikā. Tos cita starpā izmanto satelītu trajektorijās, radio pārraides modeļos, artilērijas mērķēšanā, finanšu modelēšanā un debesu mehānikā.

Kāda ir atšķirība starp parabolu un hiperbolu standarta formā?

Standarta formā parabolas vienādojums ietver terminus, kas palielināti līdz pakāpēm 1 un 2, savukārt hiperbolas vienādojums ietver terminus, kas palielināti līdz pakāpēm 2 un -2. Arī parabolu raksturo viens fokusa punkts, savukārt hiperbolai ir divi.

Kas ir hiperbolas diagrammas pamata vienādojums?

Hiperbola grafika pamata vienādojums ir:

(x–h)²/a²– (un – k)²/b²= 1

Or

(un – k)²/b²– (x–h)²/a²= 1

Kādi ir hiperbolas veidi?

Hiperbolas var iedalīt trīs veidos, pamatojoties uz to orientāciju: horizontālās, vertikālās un slīpās hiperbolas.

Kā jūs identificējat hiperbolas vienādojumu?

Hiperbolas vienādojums parasti ietver terminus ar abiem x un un mainīgie, ar atšķirību starp kvadrātiem x un un koeficienti, un šo terminu koeficienti ir attiecīgi pozitīvi un negatīvi.

Kāda ir B formula hiperbolā?

Hiperbolas vienādojuma standarta formā B apzīmē konjugāta ass garumu, un tā formula ir B = 2 b , kur b ir attālums no centra līdz virsotnēm pa konjugāta asi.

Kā uzzīmēt hiperbolu?

Lai uzzīmētu hiperbolu, parasti sāciet ar centra punkta uzzīmēšanu, pēc tam atzīmējiet virsotnes, fokusus, asimptotes un citus galvenos punktus, pamatojoties uz doto vienādojumu vai īpašībām. Visbeidzot, ieskicējiet hiperbolas līknes, izmantojot šos punktus kā vadlīnijas.