Šajā rakstā mēs pētīsim Furjē transformācijas analīzi vai Furjē transformāciju ķēdes analīzē. Furjē transformācija būtībā ir matemātiska darbība, kas sadala signālu tā frekvenču komponentos. Vienkāršiem vārdiem sakot, tas pārveido signālu no laika domēna uz frekvences domēnu. Laika domēns attēlo signālu kā laika funkciju, savukārt frekvences domēns attēlo signālu kā frekvences funkciju.

Furjē transformācija

Furjē transformācija ir pārsteidzošs spēcīgs instruments dažādu veidu ķēžu uzvedības analīzei, jo tas ļauj mums redzēt, kā ķēde reaģē dažādās frekvencēs. Tas ir noderīgi dažāda veida uzdevumiem, piemēram:

• Analizējot ķēdes reakciju uz patvaļīgiem ieejas signāliem: To var viegli izmantot, lai izstrādātu shēmas, kas spēj apstrādāt lielu ieejas signālu klāstu, piemēram, audio signālus vai video signālus.
• Ķēdes rezonanses frekvenču identificēšana: Rezonanses frekvences ir frekvences, kurās ķēde pastiprina signālus. Šo informāciju var izmantot, lai izstrādātu shēmas, kurām jādarbojas noteiktās frekvencēs, piemēram, kā filtrus vai oscilatorus.
• Filtru projektēšana nevēlamu frekvences komponentu noņemšanai no signāla: Filtrus galvenokārt var izmantot, lai noņemtu signāla troksni vai traucējumus vai lai no konkrēta signāla iegūtu noteiktus frekvences komponentus.
• Izpratne par ķēdes stabilitāti: Stabila ķēde ir tāda, kas vienkārši nesvārstās vai neatšķirsies. Furjē transformāciju var izmantot, lai analizētu ķēdes stabilitāti, tikai aplūkojot ķēdes frekvences reakciju.

Furjē transformācija tiek izmantota arī daudzās citās jomās, tostarp signālu apstrādē, attēlu apstrādē un kvantu mehānikā.

Šajā rakstā mēs apspriedīsim šādas tēmas, kas saistītas ar Furjē transformāciju ķēdes analīzē:

• Furjē transformāciju veidi
• Furjē transformācijas īpašības
• Furjē transformācijas pielietojumi ķēdes analīzē

Mēs arī apspriedīsim piemērus, kā arī ilustrācijas, lai palīdzētu pareizi izprast jēdzienus.

Izpratne par evolūcijas iemeslu

Furjē transformāciju 19. gadsimta sākumā pirmo reizi izstrādāja labi pazīstamais franču matemātiķis Žans Batists Džozefs Furjē. Viņu ļoti interesēja siltuma vadīšanas vienādojuma atrisināšana, kas ir daļējs diferenciālvienādojums. Furjē saprata, ka viņš varētu atrisināt vienādojumu, vienkārši sadalot sākotnējo temperatūras sadalījumu tā veidojošajos sinusos un kosinusa viļņos.

Furjē transformācija kopš tā laika ir izmantota daudzām problēmām fizikā un inženierzinātnēs, kas ietver ķēdes analīzi. Ķēdes analīzē Furjē transformāciju var izmantot, lai analizētu ķēdes reakciju uz patvaļīgiem ieejas signāliem.

Furjē transformācijas efekti

Furjē transformācijai ir daudz svarīgu efektu ķēdes analīzē. Pirmkārt, tas ļauj mums analizēt ķēdes reakciju uz patvaļīgiem ievades signāliem. Otrkārt, tas ļauj mums noteikt ķēdes rezonanses frekvences. Pēc tam trešajā, tas ļauj mums izstrādāt filtrus, kas tiek izmantoti, lai no signāla noņemtu nevēlamus frekvences komponentus.

Furjē transformācijas formula

Signāla x(t) Furjē transformāciju apzīmē ar X(f) un definē šādi:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Šeit f ir frekvence hercu parametrā.

Furjē transformācijas formulā izmantotais apzīmējums ir šāds:

• x(t) ir laika domēna signāls.
• X(f) ir frekvences domēna signāls.
• j ir iedomāta vienība.
• e −j2πft ir sarežģīta eksponenciāla funkcija.

Furjē transformācijas veidi

Galvenokārt ir divu veidu Furjē transformācijas:

• Nepārtraukta Furjē transformācija (CFT)
• Diskrētā Furjē transformācija (DFT) .

Nepārtrauktā Furjē transformācija (CFT)

CFT ir definēts nepārtraukta laika signāliem, kas būtībā ir signāli, kas jebkurā laikā var iegūt jebkuru vērtību.

Signāla x(t) nepārtraukto Furjē transformāciju (CFT) var definēt šādi:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

kur f ir frekvence hercos.

CFT formulā izmantotais apzīmējums ir:

• x(t) ir laika domēna signāls.
• X(f) ir frekvences domēna signāls.
• j ir iedomātā vienība.
• e −j2πft ir kompleksā eksponenciālā funkcija.

CFT atvasināšana

CFT var viegli iegūt no periodiska signāla Furjē sērijas. Periodiskā signāla x(t) Furjē sēriju ar periodu T nosaka:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

Šeit Cn ir signāla Furjē koeficienti.

CFT var iegūt, vienkārši ņemot Furjē rindas robežu, periodam T tuvojoties bezgalībai. Šajā robežā Furjē koeficienti kļūst par nepārtrauktām frekvences funkcijām, un Furjē sērija kļūst par CFT.

Diskrētā Furjē transformācija (DFT)

DFT ir definēts diskrēta laika signāliem, kas ir signāli, kas var iegūt tikai noteiktas vērtības noteiktā laikā.

Diskrētā laika signāla x[n] diskrēto Furjē transformāciju (DFT) var definēt šādi:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Šeit k ir frekvences indekss un N ir konkrētā signāla signāla garums.

DFT formulā izmantotais apzīmējums ir:

if-else paziņojums java

• x[n] ir diskrēta laika signāls.
• X[k] ir frekvences domēna signāls.
• j ir iedomātā vienība.
• e −j2πkn/N
• ir sarežģīta eksponenciāla funkcija.

DFT atvasināšana

Vienkārši izsakoties, CFT pamatā ir definēts nepārtraukta laika signāli , kamēr DFT ir definēts diskrēta laika signāli . DFT ķēžu analīzē galvenokārt izmanto Furjē transformācijas veidu, jo lielākā daļa elektronisko shēmu darbojas ar diskrēta laika signāliem.

Diskrētā laika signāla DFT x[n] apzīmē ar X[k] un definē šādi:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Šeit k ir frekvences indekss un N ir signāla garums.

DFT var iegūt no CFT, vienkārši atlasot CFT diskrētās frekvencēs:

X[k] = X(f = k/N)>

Furjē transformācijas piemēri ar diagrammu

Apskatīsim šādu shēmas piemēru:

Vienkārša RC ķēde

Šeit ieeja ķēdē ir kvadrātveida vilnis, un izeja ir filtrēts kvadrātveida vilnis. Kur ieejas kvadrātviļņa Furjē transformācija ir impulsu virkne harmonisko frekvencēs. Izejas kvadrātviļņa Furjē transformācija ir novājinātu impulsu virkne harmoniskajās frekvencēs.

Šeit ir šāda diagramma, kurā parādītas ieejas un izejas signālu Furjē transformācijas:

Furjē transformācijas ievades izvade

Īpašības

Furjē transformācijai ir vairākas svarīgas īpašības, tostarp:

• Reāla signāla Furjē transformācija ir konjugāta simetriska.
• Lineāras signālu kombinācijas Furjē transformācija ir atsevišķu signālu Furjē transformāciju lineāra kombinācija.
• Laika nobīdīta signāla Furjē transformācija ir frekvences nobīdes signāls.
• Frekvences nobīdīta signāla Furjē transformācija ir laika nobīdes signāls.

Raksturlielumi

Signāla Furjē transformācijai ir šādas īpašības:

• Signāla Furjē transformācijas lielums atspoguļo signāla frekvences komponentu amplitūdu.
• Signāla Furjē transformācijas fāze atspoguļo signāla frekvences komponentu fāzi.

Lietojumprogrammas

Furjē transformācijai ir daudz pielietojumu ķēdes analīzē, tostarp:

• Analizējot ķēdes doto reakciju uz patvaļīgiem ieejas signāliem.
• Ķēdes rezonanses frekvenču noteikšana.
• Filtru projektēšana nevēlamo frekvenču komponentu noņemšanai no signāla.

Priekšrocības un trūkumi

Dažas Furjē transformācijas priekšrocības un trūkumi ir:

virknes pārvēršana par veselu skaitli

Priekšrocības:

• Furjē transformācija ir visspēcīgākais instruments ķēžu frekvences reakcijas analīzei.
• To var izmantot, lai izstrādātu filtrus, lai noņemtu nevēlamus frekvences komponentus no signāla.

Trūkumi:

• Furjē transformācija var būt daudz sarežģītāka, lai to saprastu un izmantotu.
• Furjē transformācijas aprēķināšana var būt skaitļošanas ziņā dārgāka.

Atšķirība starp Laplasa transformāciju un Furjē transformāciju

Būtībā Furjē transformācija lielākoties ir līdzīga Laplasa transformācijai, taču ir dažas galvenās atšķirības. Tā kā Furjē transformācija ir definēta nepārtraukta laika signāliem, tas nozīmē, ka Laplasa transformācija ir definēta gan nepārtraukta laika, gan diskrēta laika signāliem. Turklāt Furjē transformācija nav labi piemērota pārejošu signālu analīzei, savukārt Laplasa transformācija tajā ir noderīga.

Forward un apgrieztā Furjē transformācija

Furjē transformācija var pārveidot signālu no laika domēna uz frekvences domēnu. Apgrieztajai Furjē transformācijai jāpārvērš signāls no frekvences domēna laika domēnā.

Apgrieztā Furjē transformācija ir definēta šādi:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Forward sinusa transformācija un Furjē kosinusa transformācija

Priekšējā sinusa transformācija un tiešā kosinusa transformācija būtībā ir divi Furjē transformācijas varianti. Priekšējā sinusa transformācija ir definēta šādi:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Priekšējā kosinusa transformācija ir definēta šādi:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Priekšējā sinusa transformācija un tiešā kosinusa transformācija ir ļoti noderīga, lai analizētu signālus attiecīgi ar pāra un nepāra simetriju.

Secinājums

Kopumā Furjē transformācija ir vissvarīgākais rīks ķēdes analīzei. Tas dod mums atļauju saprast, kā shēmas reaģē uz dažādām frekvencēm, kas ir svarīgāks elektronisko shēmu projektēšanai un analīzei. Furjē transformācijai ir dažāda veida pielietojumi ķēdes analīzē, tostarp ķēdes reakcijas uz patvaļīgiem ieejas signāliem analīzē, noteiktas ķēdes rezonanses frekvenču identificēšanā, filtru projektēšanā, lai no signāla noņemtu nevēlamus frekvenču komponentus un izprastu ķēdes stabilitāti. ķēde.

Furjē transformācija tiek izmantota arī daudzās citās jomās, kas ietver signālu apstrādi, attēlu apstrādi un kvantu mehāniku. Tas ir ļoti daudzpusīgs un jaudīgs rīks ar plašu pielietojumu klāstu.

Šeit ir dažas papildu pārdomātas domas par Furjē transformācijas nozīmi ķēdes analīzē:

kā piekļūt icloud fotoattēliem

• Furjē transformācija vienkārši ļauj mums analizēt lineāras un nelineāras ķēdes.
• Furjē transformāciju var izmantot, lai analizētu dažāda veida ķēdes laika vai frekvenču domēnā.
• Furjē transformāciju var izmantot, lai analizētu shēmas ar vairākām ieejām un izejām.
• Furjē transformāciju var izmantot, lai analizētu ķēdes ar atgriezeniskās saites cilpām.

Furjē transformācija ir spēcīgs rīks, ko var izmantot, lai analizētu plašu ķēdes problēmu klāstu. Tas ir būtisks instruments jebkuram ķēdes inženierim.

bieži uzdotie jautājumi

1. Kāda ir atšķirība starp Furjē transformāciju un Laplasa transformāciju?

Laplass tiek izmantots gan CFT, gan DFT, bet ne Furjē transformācijai

2. Kāpēc Furjē transformācija ir svarīga ķēdes analīzē?

Furjē transformācija ir svarīgāka ķēdes analīzē tikai tāpēc, ka tā ļauj mums analizēt ķēžu frekvences reakciju. Frekvences reakcija

3. Kādi ir Furjē transformācijas pielietojumi ķēdes analīzē?

Furjē transformāciju var izmantot dažādiem ķēdes analīzes uzdevumiem, piemēram:

Ķēdes reakcijas uz patvaļīgiem ieejas signāliem analīze.

Ķēdes rezonanses frekvenču noteikšana.

Filtru projektēšana nevēlamu frekvenču komponentu noņemšanai no signāla.

Izpratne par ķēdes stabilitāti.